Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Оялядеяеттяе- бееятузтечттячтг стержня. Пусть температура тонкого тсплопроводного стержня бесконечной длины в начальный момент была распределена по закону; Т ( т, = 7 (х). (71) Определим температуру в каждой точке стержня в любой последующий момент времени Г > О.
Ясно, что это частный случнй задачи Ксшн, которая сводвтся к определению функции Т (х, т), удовлетворяющей уравнению ВТ даТ Вт Вхз ( й где т=- — Г) и начальному условию (71), ср С физической точки зрения эта задача аналогична. рвосьютрен- ной в 6 1 этой главы с тем отличием, что здесь нет граничных усло- вий.
Ясно поэтому, что, разделяя переменные по методу Фурье, можно представить решение уравнения (72) в виде; Т (х, т) = (А соа Лх-(- В з( п Лх) е ~~. (73) В случае стержня конечной длины 1 мы определяли из граничных условий дискретное множество возможных значений параметра Л: и Лв=-и —, Полагая, что интеграл (74) сходящийся н дифференцируемый по х и т (зто обычно имеет место), можно быть уверенным в том, что функция Т(х, т) удовлетворяет уравнению (72). Но решение еще должно удовлетворять начальному условию: ! т е= ~ [А (Л) саз Лх+В(Л)шп Лх[с(Л=[(х). (75) о Отсюда видно, что задача свелась к разложению произвольной функции [(х) в пи тег р а л Фу рье, являющийся обобщением понятия ряда Фурье.
В теории интеграла Фурье доказывветоя, что любая непрерыв. ная функция [(х), удовлетворяющая условию о [ ) (х) [ с(х ~ со, -с может быть представлена в виде интеграла от гармонических функций соа Лх и з|п Лх, частота которых Л пробегает непрерывную совокупность значений: сс [(х) = ~ [! (Л) соз Лх+)а (Л) шп Лх[ с(Л, о (76) где сс сс [ (Л)= — ~ )(х) сов Лхс(х, [ (Л)= — ~ [(х) а|и Лис(х, (77) ! !' ! с"- яде каждому значку н соответствуют некоторые коэффициенты А„ н В„.
Чем длиннее стержень, тем гуще множество значений Л„(раси стояние между Ла и Ло ьт равно — и стремится к нулю, когда (- со). Поэтому для бесконечного отержня Л может иметь любое значение от 0 до со. Таким образом, каждому значению Л соответствует частное решение: Т (х, т) =[А (Л) соз Ля+В (Л) шп Лх[ е"|" т. (73) Общее решение получается из частных решений (73'), не суммиро. ванием, а интегрированием по параметру Л: Ю Ю Т (х, т) = ~ Т с(Л= ~ [А (Л) соз Лх-|-В (Л) з|п Лх) е ~ тЖ.
(74) е о Подставляя значения Фу рье-п реоб р а во за ни й [ (Л) и [ (Л) в интеграл (76), получаем: +З сс н.)--)т[- [~о-чс - [~а~ и+ ! о -сс -о )(х)= — ~ ИЛ ~ 7(Ц(создхсоз Ц+з)п Лаз!пЦ)!4. 1 Г о -о Учитывая, что выражение в круглых скобках есть косинус разности, приходим к иному выражению для интеграла Фурье: В З )(х) = — ! ИЛ ~ 7(о) соз Л(с — х)оз. 1 Р (78) о Таким образом.
если в качестве коэффициентов А(Л) и В(Л) в (74) выбрать соответственно А(Л)=!.(Л), В(Л)=7,(Л), то интеграл Т (х, г) = — ~ [/с (Л) соз Лх-)-7, (Л) з)п Лх) е ~ т!(Л (79) о являетси решением рассматриваемой задачи. Другая, эквивалентная форма этого решения получается из (78): ч Ю Т(х,т)= — ~ е ~!(Л ~ )(з) сов Л!з — х)оз. (80) о й Последний интеграл можно еще преобразовать, меняя поридок интегрирования: Т(х, т)= — ~ г!В)ов ~ е ~ т соз Л(З вЂ” х)ИЛ. (80') ч о Обозначив $ — х=о„можно внутренний интеграл свести к известному в математике определенному интегралу: О чз К (т, о) = — ~ е ть соз ЛобЛ= = е (8!) н,) 2 Р'пт о Заменяя обратно о через з — х и подставляя (81) в (80'), получаем окончательно: Т(х, т)= Т (1-х!ч — — 7(ч) е зт еф, (82) ! 2 Риз,) ! 1 — и ! Чтобы понять физический смысл 1 ~7 полученного решении, допустим, ( о что в начальный момент времени (т=О) температура бесконечного стержня была равна нулю всюду, кроме окрестности точки х=О, х где Т = Те (рис.
38). Можно себе представить, что в момент Ри. 88 т=О элементу длины 2И стержня сообщили некоторое количество тепла Це=2ИсрТе, которое вызвало повышение температуры на этом участие до значения Т,. Следовательно, формула (82) принимает вид: -а -ь Будем теперь уменьшать И, устремляя его к нулю, считая количество тепла Яе неизменным, т.
е. введем понятие м г повея но го точечного источника тепла напряжении Ме, помещенного в момент времени т=О в точке х=О. При этом распределение температур в стержне будет определяться формулой: Т(х, т)= — 1пп — ~ е 2ср р пт ь о 2И или Т(х т)= 0е (83) 2ср Ргпт В частности, если гсе=сР, то темпеРатУРа любой точки стеРжнЯ т в произвольный момент времени Г= — (а — коэффициент темпера- а туропроводностн) может быть найдена по формуле: хг Т(х,г)= е ". 1 (84) 2 Ргпот Графически решение для различных моментов времени представлено на рисунке 39. Заметим, что величина О ср ') Т (х, ()г(х й есть общее количество тепла. полученное стержнем к моменту времени Е: Ф Г)(т)= р ~Т(х, )) х= й х* е ааг ох ср 2 а' поз Но последний (справа) интеграл есть интеграл Пуассона: й Х ~е- Ю Рве. 39 Поэтому получаем, что Я(Г) СР=>ее=сопя(, что согласуется с законам сохранения энергии.
Глава Ш. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ й 1. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнение Бесселя Как показано было в ч. 1, уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет следующий вид: 1 д Г дик ! дзи деи Л() = — — ~р — ~+ — —,+ — =О. (1) р др ( др 1 рздч>з да' Будем искать решение этого уравнения методом Фурье, имея в виду, что искомая функция (>'(р, ср, г) зависит от трех переменных.
Положим, что (>' (р, >р > г) = У (р> г) Ф «р) (2) и подставим это произведение в (1). Тогда >В д / дРХ ! „д໠— — (р — ~1+ —,УФ+Ф вЂ”,=О. р др(, др ) р' да' рз Если полученное равенство умножить на —, и член, зависящий от ср, перенести вправо, то придем к равенству: р д Г др.> рздэ Ф" — — р — + — — т= —. (> др ( др ) '>> да Ф(Ч>) ' Но равенство двух функций от различных аргументов возможно тогда и только тогда, когда обе они равны одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через тз, получаем два уравнения: р д У д>> т рэ дз>> — — (р — 1+ — — та=О Рдр( др) Рдаа (з) Ф" + таФ (ср) = О. (4) Поскольку (3) является уравнением в частных производных, то применим к нему метод Фурье с целью разделения переменных.
Итак, пусть У(р, г)=)с(р)Е(г), (5) 13! Деля (3) на р* и подставляя в него (5), приходим опять к равенству: г и — (Р Й') — —, Йс+ )кс" = О. ойр р Делим далее на произведение )к2 и переносим вправо член, зависящий от г: е, т* г — — (рй') — — = — —. Ф Ир и' х(х) ' Мы получили равенство двух функций от различных аргументов. Приравнивая обе части этого равенства постоянной Х~, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: 1 д г У21 — — (рк)+ Р— ~ Л =- О. (6) Я" — Х'2 = О. (7) Ясно, что совокупность уравнений (4), (6) и (7) эквивалентна исходному уравнению Лапласа (1) и позволяет в принципе определить функции Ф(ф), )т (р), Е(г), а следовательно, и искомую функцию У, которая согласно (2) и (5) равна: У(р, ц, г)=-й(р) Ф(ц)2(г).
(8) Поскольку дифференциальные уравнения (4) и (7) являются хорошо известными линейными и однородными уравнениями второго порядка, то их общие решения можно сразу же написать: Ф (<р) =- А соз т р+ В з(п т е, (9) 2 (г) = С сй Хг+ Р зЬ Хг, (10) Таким образом, задача сводится к решению дифференциального уравнения (6) с переменными коэффициентами. Его, очевидно, можно представить так: д2о 1 лу, а' —,+ — +~)* — ) г=-О.
ег' р е (, я') (6') Если ввести новую независимую переменную к=Ар, то (6') несколько упрощается и принимает форму так называемого уравнения Бесселя: ЕЧ1 1 КРà — + — +~1 — ) я=о. ех' х йх 1, х' ) (1 1) Интегралы этого уравнения )г,(х) называются цилиндрическими функциями или функциями бесселя.
Перейдем теперь к рассмотрению методов определения решения уравнении (11), 132 2 2. Решение уравнения Бесселя, Функции Бесселя Запишем уравнение Бесселя в виде: у" + — '. у'+[1 — ",)у=О (Рй) и будем искать его решение в форме ряда: О М у = х',~~ а,х« =,)'., а„х" +'. «=о «о Первая и вторая производные этого ряда запишутся так: у' = ~'„, а«((о+а) х"+'-', (13 ) «=о у" = ~~.", а«(Ф+ з) (Ф+ з — 1) х«+* '. (13") «=о о«1 1 Умножим (13) на (! —,) и (13') — на — „и полученные выражения вместе с (!3") подставим в (!2): ~ а х«" +.~~Р ~а«х«+' *[(я+з)(Ф+з — 1)+(я+з) — ъ«1=0.
«=о «=о (13) Произведя сокращение на х' ' и упрощения в квадратных скобках, преобразуем это тождественное равенство следующим образом: ~~~ ~а«х" +' = — ~~~~ ~а«х" [()о + з)' — т«1. «=о «=о Ряд слева начинается с х', а ряд справа †х в нулевой степени. Отсюда следует, что коэффициенты перед хо и х' равны нулю: а, (зо — т«) = О, (14) а, [(1+ з)о — о«1 = О. (14') Что касается коэффициентов прн более высоких степенях х, то они должны удовлетворять рекуррентному равенству: а,, = — а«[(Ф+ з)' — т'1, (15) где («=-2, 3, Из (14) вытекает, что з=-~т и а,=0. Положим сначала, что з=-+т, тогда согласно (15) «(4+2~) ' (15') где й= 2, 3, .... Поскольку а,=-О, то и все последующие нечетные коэффициенты а„а„а„... также 4 Рис.
40 равны нулю. Что касается четных козффициентов, то их легко выразить через а по формуле (15'): ао ви 2(2+2и) 2 (1+ Ои иг 4 (4+ 2и) 2и 2 (1+и) (2+и) ' а ( — ')"о 2ава)(1+т) (2+и) ... (а+и) Подставляя (16) в (13), получаем частное решение уравнения Бесселя (12): Ф ( — 1)" кия+и ~=о 2' .Ь) (1+и) (2+и) " (а+и) С помощью признака сходимости Даламбера можно показать, что ряд (17) сходится при любых значениях х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
