Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Функция Н (х, у, г) удовлетворяет в области )г уравнению Лапласа; ЛН=О (5) и принимает на поверхности 5 =Я (х', у', г') значения: Н(х', у', г')=Н(г')= — —,, (5) где г' — расстояние точек поверхности 5 от точки М,. Так как 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, отличных от М,(г=О), то согласно (4) и (5), функция ф=О(х, у, г) является решением уравнения Лапласа Лф=О в области )г', причем на поверхности Я в соответствии с (4) и (6): ф)з=б(х', у', г') =О, (7) нли (М,)= — —,' У/(') — ",~ Д~. (16) Так как М,— произвольная точка области У, то эта формула представляет собой решение рассматриваемой задачи, если известна функция Грина 6, Иными словами, задача свелась к определению функции Н(х, у, г), удовлетворяющен условиям (5) и (6): Л//=0 и Н(,= —— го Ясно, что, вообще говоря, последние не намного проще исходных условий (! ) и (2).
Однако для некоторых типов областей У и ограничивающих их поверхностей 5 функция Грина может быть легко построена и в этих случаях искомое решение сводится к вычислению интеграла в правой части (16). Ниже приводятся два примера, когда удается определить функцию Грина для задачи Дирихле. й 2. функция Грина для шара Пусть область У является шаром радиуса а, а точка М, лежит внутри шара на оси Х, имея координаты (х„0,0).
, га-' Построим точку М*, ( —, О, О), которую назовем с о п р я- ' Х, ж е н н о й относительно ограничивающей шар сферы (рис. 45). Нетрудно убедиться, что для каждой точки /У, лежащей на сфере, отношение )/УМ", ~/~ л1М, ( есть величина постоянная. Действительно, треугольники ОМ,/т' и Ой/М," 1ОМ,~ ~ОМ~ подобны это следует из того, что — = — = — "' ~~у! )ож*,~ ' /)' Поэтому отношение длин и оставшихся третьих сторон ! л/М, ! к ! ЖМ; ) также равно х,/а, т. е.
не зависит от положения /у на сфере. Теперь можно утверждать, что для произвольной точ- ки М внутри шара функция ! а 1 б (М).= — — —— г хО l' (где г = (ММ,), г'= (ММ;() является функцией Грина. 152 Чтобы проверить зто, достаточно показать, что Н (М) = а 1 = — — — „удовлетвоко г" ряет внутри шара )г уравнению КН=О, а на поверхности шара 1 Н(з = — —. г Так как г' = =1ММ;( для любой точки внутри шара есть величина, отличная от нуля, то во всей области )г Рис. 45 Что касается второго условия, то ясно, что Н~з=Н(М)= — ' о 1!Ч54 ! Но 1 !о'Л% 1 а 1 М54о 1 хо или 1 хо ! хо 1 !!УМ'.~ " (ми,~ Следовательно, 1 НЬ= —.
г 153 Таким образом, функция (17) является функцией Грина для рассматриваемой задачи. Чтобы теперь мы могли воспользоваться общей фордй мулой (16), вычислим еще производную — на сфере: да й!..=А [(-') — ЫЬ) 1.—. где Я вЂ” радиус-вектор любой точки М шара, отсчитываемый от центра. На рисунке 45 ясно, что го=)со+х',— — 2йх,созу, Поэтому о !! — хо сои т — ( — ) = — (!4о+ х — 2Нх соз у)-мо = о о го Полагая, что )г = а, получаем: '()1~ а — хо сов у (18) д)с ( « / !я=а (ах+хо о— 2ахо сов у)о«о Если вместо х, подставить ао(х„мы найдем значение производной— дй «" й=а' ахо — а' сов у дЬ' («о)я=а ао ао !о/о ' хо (ао+ —, — 2 — сов у ) хо хо После упрощений, приходим к выражению: д ( ! 1 хо хо — асову (Рй) дк («'/я=о а' (а'+хо — 2ах, сов у)о!о ' Объединяя (18) и (19), определяем входящую в (16) производную: — = — (а'+ х, — 2ах, соз у)-о/в.
(20) дй ! ао — хо Подставим теперь это выражение в (16), получаем решение задачи Дирихле для шара в виде квадратуры (искомую функцию вместо оу обозначим через У): У (М,) = — ф, ' —,, 1(14') с(Я. (21) (а'-)-хо — 2ахо сов у)ио В общем случае, когда точка М, обладает произвольными сферическими координатами «„О„су„, это решение удобнее представить в сферической системе координат (ЙЯ = = ао з!п 0 о(0 с(о)о): оа а (1 (Мо) 4 ~ ~ о о о«о ~(0 с«)з!пОс(04(о)о, (22) 4п (а + «о — 2а«о сов у) где нетрудно показать, сову=сов ОсозО +5!ПОз!ПО сов(оо — ор ), (23) Интеграл (22) называется интегралом Пуассона для шара.
В том случае, когда задача Дирихле является плоской и область определения функции () представляет собой круг радиуса а, интеграл Пуассона принимает более простой вид: 2а а +«о — 2а«о сов (Во — ~Р) (54 Интересно заметить, что ранее (гл. 11, $ 3) мы решили аналогичную задачу методом Фурье и получили решение для круга в виде ряда. Можно легко показать, что эти два решения эквивалентны.
В 3. Функция Грина для полупространстаа Пусть нужно найти функцию и(х, у, г), удовлетворяющую в полупространстве г) 0 уравнению Лапласа Ли =0 и принимающую на плоскости ХОг' (г=О) заданное значение: где г=(ММ,( есть расстояние произвольной точки М от некоторой фиксированной М,(х„у„г,). Что касается функции Н(М), то она по-прежнему удовлетворяет двум 1 условиям ЬН=О и Н~,,= —,, здесь Н =)УМ,— расстояние от М, до любой точки Н(х', у') на плоскости г=О.
Поскольку 6(Н) =О, то решением задачи является функция: и(Мд=и(Хо, у~ Зд= чя 1(Х у) дл оо. (26) 1 Г дб Ясно, что дС ~ до да ~(з дг я=о' Поэтому и (Хо Ум За) 4я ~~1(Х1 У) ~ д ) 1(Хоу. (27) В качестве функции Н(М) =-Н(х, у, г) выберем величину Н(х, у, г) =- — —., 1 (28) где г'=~ ММ;,~ есть расстояние от текущей точки М до точки М, "(х„у„,г,), сопряженной точке М, (рис. 46).
155 и~,,=~(х, у). Как и в случае конечной области 1', представляем функцию Грина для произвольной точки верхнего полу- пространства (г ) 0) в виде двух слагаемых: О(М)=1+Н(М), (26) Несложно убедиться, что функция (28) удовлетворяет и - уравнению Лапласа ЛО=О и граничному усло- вию И(,=Н(Л))- = Н(х, у,О) 1 1 е е э г' г (30) поскольку = !М;Л) (=!М,Л( !=г'. ,%~ Подставляя (28) в (26) Рис. 46 и записывая получен- ное выражение в развернутом виде, находим для функции Грина следующее выражение: 6(х, у, г)— 1 У (х — хе)*+ (и — ио)'+ (г — го)' (20) г' (х — хе)'+(у — уо) +(о+го)' Дифференцируя зту функцию по г, получаем: до ого дг !(х — хо)о+(у — уе)о.~-ге)о(о Подставляя (30) в (27), приходим к окончательному выражению: и (х„у„г,) = = — „' ) )1(х, У)1(х — х,)'+(У вЂ” Уо)о+гД-о(ог(хг(У, (31) являющемуся решением рассматриваемой задачи.
Часть третья ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Глава Ь Элементы линейнОЙ АлГеБРы В физике, как и других науках, часто приходится рассматривать различные совокупности объектов, объединенных некоторым общим признаком. С точки зрения математики такая совокупность образует множество, а каждый ее объект назь1вают элементом множества. В зависимости от числа содержащихся в них элементов множества бывают конечные и бесконечные. Множество считается заданным, если о любом предмете можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Обычно множества определяются либо заданием- всех их элементов, либо путем указания характеристического свойства, коим обладают только элементы данного множества.
Так, точки окружности образуют бесконечное множество, элементы которого (точки) объединены тем свойством, что все они равноудалены от центра. Линейная алгебра рассматривает множества, в которых возможны определенные алгебраические операции. Если указан закон, по которому каждой паре элементов а и Ь, взятых в определенном порядке из множества М, однозначным образом ставится в соответствие третий элемент с, также принадлежащий этому множеству, то говорят, что в множестве М определена алгебраическая операци я, которую называют сложением (или умножением): а+Ь =с (или аЬ=с).
Обратим внимание на то, что алгебраические операции обладают следующими свойствами: !) операцию можно осуществить над любой парой элементов данного множества; 2) операция определяется однозначно, т. е, для каждой пары элементов она выполняется единственным способом и результат оказывается также единственным; 157 3) получающийся в итоге операции над двумя элемен.
тами множества новый элемент обязательно принадлежит к тому же множеству, Если результат алгебраической операции не зависит от порядка участвующих в ней элементов, т. е. а-(-Ь = = Ь+а (или аЬ = Ьа), то операция называется коммутаптивной (перестановочной); в противном случае алгебраическая операция некожмутативна. Операции еще подразделяют на ассоциативные (сочетательные), если (а+Ь)+ +с=а+(Ь+с), и иеассог(иативные, если результат операции над тремя элементами зависит от последовательности ее выполнения между парами элементов. Среди множеств, в которых возможны алгебраические операции, современнвя алгебра изучает прежде всего следующие: Гррллы †множест с одной ассоцизтивной операцией (не обязвтельио коммутзтивной).
Кольца †множест с двумя алгебраическими вссоцивтивными операциями (сложением и умножением), связанные дистрибутивным (рвспределительным) свойством: о(Ь+с) =оЬ-1-ос. ??оля — коммутзтивные кольца, в котором есть нулевой и единичный элементы О н 1, причем для каждого ненулевого элемента а существует обратный элемент о-', т. е.
ао-'=!. Легко убедиться в том, что нвждое из множеств чисел — рационзльных, действительных, комплексных — сбрззует поле. По определению алгебраическая операция есть действие над элементами одного и того же множества. Однако для решения многих практических задач пришлось обобщить понятие операции, применяя ее к элементам из разных множеств. Так, пусть дано множество векторов, характеризующих электрическое поле, созданное точечнь!м зарядом а, т. е. векторное поле Е (г). Если величину заряда изменить в а раз (а — любое действительное число), то векторы напряженности Е в каждой точке также изменят свою длину в а раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
