Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Нетрудно убедиться, что так оно и есть. Можно еще доказать, что во всяком линейном прост- ранстве существуют ортогональные базисы. При этом векторы-ортогонального базиса можно еще н о р м и р о- вать, т. е. выбрать их такими, чтобы каждый имел еди- ничную длину. Следовательно, векторы ортогонального базиса удовлетворяют равенству: ( ! при (=-л, ) О при (чьй.

(4) Благодаря наличию условия (4) очень просто выражается скалярное произведение (х, у) двух векторов: л л х= ~х,е, н у= ~у;ео с з с (х, у)=х,у,+х,у,+... +х„у,=Хх,у,, (5) Если же в евклидовом пространстве базис является аффин- ным, то выражение будет более сложным: л ч (х, у) = ~~'., ~ дмх,у„, (б) ь где коэффициенты Юм(е;, е„) можно рассматривать как элементы так называемой фундаментальной и-ридной симметричной матрицы умам .

а1л (7) Юы й'иь ° » ° Кл» (где у;э=ум), характеризующей базис пространства. В случае ортонормнрованиого базиса фундаментальная матрица принимает простейший вид: 100 ...0 010 ... 0 001 ... 0 (7') 000 ... 1 Далее легко проверить, что в ортонормированном базисе координаты любого вектора х = — ~ч' т,е, суть скалярные произведения этого вектора на соответствующие базисные векторы: (8) х;=(х, ег). Отсюда ясно, что координаты вектора совпадают с его проекциями на базисные векторы (оси координат). Заметим, что такое утверждение не имеет места в аффинном базисе. В ортоиормироваином базисе согласно (5) квадрат вектора равен сумме квадратов его координат: (х)'=(х, х)=х,'+х,'+...

+х„' = ~х(. (5') Отсюда для длины вектора получаем формулу: (х~=)7х,'+х,'+... + х'„, й 4. Комплексное линейное пространство До сих пор мы имели дело только с пространствами над полем действительных чисел. В квантовой механике особое значение имеют линейные пространства над полем комплексных чисел — комплексные векторные пространства. Все афф и нные свойства действительного пространства, рассмотренные в з 1„справедливы и для комплексного пространства.

Незначительные изменения появляются только при введении метр ическ их понятий. Комплексное пространство У называется евклидовым (или унитарным), если каждой паре векторов х, у из У поставлено в соответствие комплексное число (х, у), называемое скалярным произведением, я выполняются следующие аксиомы: > > "+ 1) (х, у)=(у, х) * (значок * означает комплексное сопряжение), 2) (Хх, у) =1(х, у), 3) (х,+х„у) =(х„у)+(х„у), 4) (х, х) есть действительное положительное число.

Легко видеть, что эта система аксиом отличается от системы аксиом действительного евклидова пространства только первой аксиомой, согласно которой при перестановке векторных сомножителей скалярнде произведение меняется иа комплексно-сопряженное. Это отличие не ведет к глубоким различиям, но некоторые особенности появляются.

Так, в то время как в действительном пространстве (х, Ху) = Х(х, у), в комплексном евклидовом > > > пространстве (х, Ху) =Х *(х, у). Основные метрические понятия для унитарного пространства вводятся совершенно аналогично тому, как они вводятся для действительного евклидова пространства, Длиной вектора называют величину (х(= + р' (х, х). Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то иет смысла определять угол между векторами: рассматривают только случай, когда векторы ортогональны.

Векторы х и у называют ортогональными, если (х, у)=0. Очевидно, что н (у, х)=(х, у) *=О. Вся теория действительного евклидова пространства легко переносится на унитарное пространство. Если, например, векторы х и у характеризуются в и-мерном унитарном пространстве комплексными координатами (х„х„..., х„) и (у„у„..., у„), то скалярное произведенйе этих векторов равно (х, у) = ~ х;у,'. ! В частности, для скалярного квадрата имеем: х'=(х, х) =~х . Глава П.

аФФинные ПРеОЕРлзовлнкя и подчиняется условиям: А (х, + х,) = А (х,) + А (х,), А (Хх) = ХА (х). (2) С геометрической точки зрения линейные преобразования замечательны тем, что сохраняют аффинные свойства пространства. Среди линейных преобразований особую роль играют простейшие операторы: а) единичный, или 172 й 1.

Линейные операторы и операции над ними Ранее мы уже встречались с понятием линейного оператора (аффинора) в обычном евклидовом пространстве. Сейчас приведем общее определение аффинного преобразования, или линейного оператора, в произвольном (действительном или комплексном) и-мерном пространстве Л. л Линейным оператором А в пространстве Л называют правило или закон, который каждый вектор х из Л переводит в вектор у из этого же пространства у=А (х) (1) Нетрудно убедиться„что всегда существует линейный оператор А (и притом только один), переводящий базис е,, е, в базис е,'...е„'. Положим, что векторы е,' выражаются через векторы старого базиса е; с помощью соотношений: е';= а„е, +......, +а,„е„, > + е,', = а„,е, +.......

+ а„„е„, нли (в сокращенной записи): -> > ес' = 2' ,аием ь (з) Легко видеть, что преобразование (3) удовлетворяет условиям (2) и является поэтому аффннным. С точки зрения алгебры отличительной особенностью этих преобразований является линейность функций, связывающих старые н новые базисные векторы. Коэффициенты ам определяют 173 л тождественный оператор 1, ставящий в соответствие кажи -+ дому вектору этот же самый вектор, т. е. /х=х; б) ну- левой оператор О, который любому вектору х сопостав- ляет нулевой вектор — Ох=О; в) оператор подобия Л, сопоставляющнй всякому вектору х новый вектор, отли- чающийся от х одним и тем же численным множите-ь лем — Лх=)х (где 1=сопя(). Познакомимся теперь с количественной характеристи- кой различных линейных операторов, Пусть е„е„..., е„— некоторый базис в и-мерном пространстве Я и А — линейный оператор в Р.

В резуль- тате действия аффинора А на базисные векторы е, полу- чатся некоторые векторы е,', которые можно рассматри- вать как новый базис: .+ л-+ е) = Аео а-рядную матрицу." и 1п а„а„... а,„ А= (4) а„,а„... а„„ »» которая называется матрицей линейного оператора А. Таким образом, в заданном базисе е„е„..., г, каж» дому линейному оператору А соответствует определенная матрица А=(ал(1 И обратно — каждой матрице А л отвечает некоторый линейный оператор А, определяемый формулами (3) или (3'). Иными словами, аффинные преобразования можно описывать с помощью матриц и матричное исчисление является наиболее удобным алгебраическим аппаратом для изучения линейных операторов в векторных пространствах конечного числа измерений.

Подчеркнем, что линейный оператор имеет инвариантный смысл — он превращает вектор х в определенный вектор у, независимо от выбора базиса, однако вид соответствующей матрицы при изменении базиса меняется. Линейные операторы можно складывать и умножать. Суммой двух операторов А и В называется оператор л л л С=А+В, результат действия которого на произвольный вектор х равен сумме результатов действия на этот век»»» тор операторов А н В: л» -» л-» Сх=Ах+Вх. Легко видеть, что операция сложения ассоциативна и л коммутативна.

Любой оператор А можно умножить иа числа Х из поля Р, » Произведением оператора А на число Х называется опел ритор Р = ) А, действие которого на произвольный вектор х равно умноженному на число Х результату дейстл вня на этот вектор оператора А: !74 Таким образом, множество линейных операторов образует линейное пространство. Оказывается, однако, что для элементов этого линейного пространства имеет смысл еще операция умножения двух операторов. л л Оператор Сиазывается произведением оператора В на л -Ф 'оператор А, если для любого вектора х л+ л л Сх = В (А х). л л Произведение линейных операторов В и А также являет- ся линейным оператором (ч.= ВА, Легко проверить, что, вообще говоря, произведение ~л операторов некоммутативно: ВА Ф АВ.

Можно сказать, что линейное пространство линейных операторов обра- зует некоммутативную алгебру. Тем не менее среди мно- жества операторов могут встретиться такие пары комму- тируюи(их операторов, произведение которых перестано- вочно: лл лл Р6= 6Р. л В частности, единичный вектор / коммутирует с любым другим оператором. Встречаются еще антикоммутирую- и(ие операторы, которые при перестановке меняют знак произведения: Р6 = — 6Р. Очевидно, что операторы можно возводить в произвольную целую степень: А" =АА...А. л раз Умея находить сумму и произведение линейных опеаторов, можно найти любой полипом от оператора А. ак, если Р(()=-а,г +а,1 '+... +а„ есть некоторый многочлен т-й степени переменной то под полиномом Р(А) понимают линейный оператор Р (А) = а,А" + а,А -' +...

Характеристики

Список файлов книги