Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(б) Следовательно, каждому линейному оператору в данном линейном пространстве соответствует бесчисленное множество подобных матриц А, А', А"„..., каждая из кол торых описывает оператор А в своем базисе. Две подобные матрицы связаны друг с другом соотношением А'=С 'АС, где неособенная матрица С хараитеризует линейное преобразование соответствукяцих базисов. Обратим внимание на то, что определители всех подобных матриц между собой равны. Нетрудно также доказать, что и следы подобных матриц одинаковы.(Следом матрицы называют сумму всех ее диагональных элементов а„+ а„+ ... + +а„„=Хаго) Иными словами, определитель и след матрицы преобразования являются инвариантами. Уже при изучении двумерных тензоров мы установили, что обычно существует некоторая преимущественная система координат, в которой матрица компонентов тензора имеет простейший вид.
Перейдем теперь к решению аналогичной задачи в общем случае комплексного линейного пространства а измерений, ф Пусть дан оператор А, который каждому вектору х рассматриваемого пространства ставит в соответствие новый вектор у. Если при действии этого оператора на некоторый вектор х получается вектор, отличающийся от первоначального численным множителем Ах =Лх, то ненулевой вектор х называется собственным вектором оператора А, а число Л вЂ собственн значением '. Каждый линейный оператор может иметь несколько различных собственных векторов х„ х„ .... Понятно, что если х — собственный вектор, то и ах (где а — любое число) тоже является собственным вектором; но такие два коллинеарных вектора не считаются существенно различными.
г Замегнм, что в случае действительною векторного пространства собственные чйсла Л являются действнтельнымн. Чтобы определить собственные векторы оператора А, учтем, что при действии А на такой вектор х должно выполняться равенство (7), т. е. (А — И)х = О. (7') Поскольку х ~ О, то отсюда следует, что матрица А — Ы особенная, и ее определитель равен нулю: а„— Х ам а» ° . а,„ а„а„— Х а„... а,„ =О, (8) а„, а„, а„, ...
а„„вЂ” », Это — характеристическое уравнение оператора А. Его левая часть Р())=) +С„,)."-+...+С,)+С, (О) называется характеристическим полиномом. Его коэффициенты С„, и С, выражаются так: С„,=бр А, С»=де1А. Как известно из алгебры, в поле комплексных чисел уравнение и-й степени Р(Х) =О имеет а корней, часть из которых могут быть кратными. Таким образом, любой линейный оператор в а-мерном комплексном пространстве имеет п собственных значений )„Х„..., Х„. Поступая так же, как при нахождении главных направлений плоского тензора (см.
гл. 1), мы для каждого собственного значения Х» найдем соответствующий собственный вектор х». При этом можно доказать, что если собственные значения Х„Х„..., Х» попарно различны, то соответствующие нм собственные векторы х„х„..., х» линейно независимы, Отсюда следует, что если все и корней характеристического полинома Р (Х) различны, то оператор в комплексном пространстве имеет п линейно независимых собственных векторов. Такой оператор называют оаераовром иростой структуры. Матрицу оператора простой структуры А всегда можно привести к диагональному виду, для этого следует в качестве базиса а-мерного пространства выбрать его соб- ственные векторы.
В этом случае мы получим: Ах, = л.гх„ л Ах»=...Х,х„ Л-ь Ах„=... Х„х„. л Поэтому матрица оператора А принимает форму: Следует заметить, что различие собственных чисел является достаточным, но не необходимым условием для простоты структуры оператора. Возможны отдельные случаи, когда оператор имеет и линейно-независимых векторов, хотя некоторым из них соответствуют одинаковые собственные значения. Ясно, что в «собственном» базисе матрицы таких операторов также будут диагональными; только вдоль диагонали будут встречаться одинаковые числа Х,=Х„. Однако в подавляющем большинстве случаев операторы с кратными собственными числами не имеют простой структуры и их матрицы не могут быть приведены к диагональному виду. Отсюда ясно, что операторы простой структуры являются частным видом линейных операторов.
(Оказывается, что специальным выбором базиса можно несколько упростить и матрицы операторов непростой структуры, сводя их к треугольной ', квазидиагональной ' т Треугольной называется матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю: ат ама» 0 а„а»э о о а » Квэзндиагональной называется матрица, у которой вдоль главной диагонали стоят квадратные блоки, илн «нодматрицы», а все остальные элементы равны нулю: л,:оо оо тг!00 О О "":;"-- 0 0 00~ 00 ~А»»,'00 00 Оогд оо оо,' 186 или канонической (жордановой) ' форме.) Но соответствую. шая теория довольно сложна, и мы ограничимся рассмотрением наиболее простых и важных для математической физики классов линейных операторов сначала в комплексном пространстве, а затем — в действительном.
В заключение этого параграфа приведем без доказательства еще два важных свойства матриц: 1. Пусть Р(Л) есть характеристический полипом матрицы А, тогда Р(А)=-0 (теорема Гамильтона — Кели). 2. Если Л„Л„..., 1, являются собственными значениями матрицы А, то собственными значениями некоторого матричного многочлена Р(А) являются числа Р(Л,), Р(Л,),, Р(Л.). Отсюда вытекает, что след степени матрицы равен сумме степеней собственных значений матрицы-основания: ср Ан Лт+ Лы+ +Лт й 4. Линейные преобразования в унитарном пространстве Пусть в комплексном евклидовом пространстве задан некоторый линейный оператор А. Можно доказать, что в этом пространстве всегда существует (и притом только л один) сопряженный ему оператор А+, удовлетворяющий условию (Ах, у)=(х, А+у), (10) где х и у — произвольные два вектора унитарного пространства.
На основании первой аксиомы скалярного произведения в комплексном пространстве можно определение (10) записать в эквивалентном виде: (у, Ах) =- (х, А р)'. (10') л л Операция сопряжения, т. е. переход от А к А+, обладает г Канонической называется квадратичная матрица, у которой каждый диагональный блок имеет форму; Ла 1 О О Ла1 о о л где размерность подматрицы равна кратности собственного числа Ла вытеищощими из определений (10) или (1О') следующими простыми свойствами: (А+)+ = А, (ХА)' = Х'А+, (А+) ' = (А ')', (А+В)+=А++В+, (А В)+=В+ А+. рассмотрим матрицы сопряженных операторов в некотором ортонормированном базисе е„е„..., е„.
Пусть л л А=-(ам(~ и А'=))ас4'1. Применяя операторы А и А+ к базисяым векторам е,, легко убеждаемся, что а,';, =- а„ь т. е. матрицы А и А+ являются эрмитово-сопряженными: А+ =А'. Операция эрмитового сопряжения й определенной степени напоминает переход от данного числа а к его комплексно-сопряженному о*. Среди комплексных чисел те, для которых я =гг*, являются действительными. Аналогичное положение имеет место у линейных операторов. Если линейный оператор 5 равен своему сопряженному оператору: 5=3+, (1 1) то он называется гпмосопряжеииим (или эрмитоаым).
Очевидно, что матрица самосопряжеиного оператора является ар ми тово й, т. е, ам=а~;. (В действительном пространстве матрица самосопряженного оператора симметрична.) Можно доказать следующие утверждения. л 1. Любой линейный оператор А может быть представлен так: А =-5,+ 15„ л л где 5, и 5,— самосопряженные операторы, (Отсюда вытекает, что среди всех линейных операторов самосопряжениые операторы играют такую же роль, какую играют действительные числа среди всех комплексных,) л 2, Если 5, и 5,— самосопряженные линейные операл Л торы, то их произведение 5, 5, будет самосопряженным тогда и только тогда, когда операторы 5, и 5, между собой коммутируют. 188 л л 3.
Если самосопряженные операторы Я, и Я, коммутнруют, то все их и собственных векторов совпадают. (Справедлива также обратная теорема.) Выбрав в качестве базиса единую систему собственных векторов, мы обе самосопряженные матрицы Я, и 5, одновременно приведем к диагональному виду. Поскольку самосопряженные операторы широко используются в квантовой механике, то познакомимся подробнее с их свойствами. 1, Собственные значения самосопряженного оператора действительны.
В самом деле, пусть х †собственн вектор, а Х— соответствующее собственное значение эрмитового операл л -> -> тора Я, т. е. Ях=Хх. Тогда согласно (1О) (Ях, х) =- л л = (х, 5+х). Но в 'силу самосопргженности 5+ =5, пол -~ этому, подставляя вместо Ях равную ему величину Хх, получаем: (Хх, х) =(х, Хх). Поскольку мы рассматриваем комплексное евклидово про- странство, то, вынося Х за скобки, имеем: Л(х, х) = Х*(х, х), откуда что и доказывает действительность числа Х, л 2. Если 5 — самосопряженный оператор в п-мерном унитарном пространстве, то все его л собственных век- торов взаимно ортог он альн ы.
Если выбрать в качестве базиса указанные взаимно ортогональные собственные векторы, то матрица оператора примет диагональный вид, Итак, в комплексном евклидовом пространстве векторы самосопряженных операторов, являю цихся обобщением понятия симметричных преобразований действительного пространства, образуют и-мерную систему ортонормиро- ванных векторов, Аналогичным свойством обладает другой класс комп- лексных операторов — унитарные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
