Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 26
Текст из файла (страница 26)
+а . 176 л Оператором, обратным к А, называют оператор А л л удовлетворяющий условию А 'А = АА ' =1. Не для всякого оператора существует обратный. Операторы, имеющие соответствующие обратные операторы, называются невы- рожденными. Ясно, что для невырожденных операторов имеет смысл возведение в целую отрицательную степень: А "=(А а) = А 'А '...А '. л раа Поскольку каждый линейный оператор А характеризуется в некотором базисе е, определенной матрицей А, то матрицы также образуют некоммутативную алгебру, в которой сумме, произведению и степени операторов соответствуют суммы, произведения и степени их матриц. Вырожденным операторам, не имеющим обратных операторов„соответствуют особые матрицы, определители которых равны нулю.
Если оператор А преобразует вектор х в вектор у, то уназываетсяобразомвекторах, а х — прообразом вектора у. Совокупность Тл всех образов называется облистью значений линейного оператора А. Она образует некоторое подпространство линейного векторного пространства Тг. Размерность подпространства Тл называют л рангом оператора А и обозначают лл. л Для каждого оператора А можно, вообще говоря, выделить из всего множества векторов линейного пространства Й некоторое подмножество Мл таких векторов х, л что Ах=-О. Подмножество Мл образует в Тг под п рол странство, называемое ядром оператора А, размерл ность тл ядра называется де4>ентом оператора А. Можно показать, что сумма размерностей подпространств Т„и М„равна размерности линейного пространства К, т.
е. сумма ранга и дефекта оператора равна и: гл+тл-— -и. л Другими словами, каждый линейный оператор А разбивает все множество векторов пространства й на два не- пересекаю7цихся (т. е. не имеющих 'общих элементов) под- множества: Т„.+М, = р. л В частности, если оператор А невырожден, то его дефект равен нулю и Мв — — О. В этом случае ранг оператора гв равен размерности и пространства К. Пусть, например, линейное пространство Д представляет собой множество всевозможных радиус-векторов рел ального трехмерного пространства, а оператор А пров. цирует эти радиус-векторы на плоскость ХО)', Ясно, что векторы, коллинеарные осн Л, образуют одномерное подпространство Мв.
Проекции же векторов образуют двумерное множество Тд, так что г„+та=3. Матричное исчисление широко используется в современной теоретической физике. Поэтому перейдем к более подробному изучению соответствующих операторам матриц и действиям над ними. $2. Матричная алгебра Матрицей порядка и х т называют математическую величину А, характеризуемую пхт числами, расположенными в виде прямоугольной таблицы из и строк и т столбцов: ам а„... а,„ а„,а„... а,„ А =1а7э1'= а„, а„, ... а„ В физике обычно встречаются квадратныв матрицы по- рядка п7еп: аг ...а,„~ стовбцевыв матрицы порядка ах 1; ч'— = И 11= 177 н строчные матрицы порядка 1хп: Матрицы А и В одинакового порядка равны между собой 1А =В), если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.
ам — — Ьт. Суммой матриц А и В (одинакового порядка) называется матрица С= — А+В, у которой каждый элемент равен сумме соответствующих элементов слагаемых мат'рицы: см — — а,„+ Ьы. Произведением матрицы А на число Х называют матрицу В=ХА, элементы которой йм — — Хам. Произведением матрицы А порядка и хт на матрицу В порядка тх1 называют матрицу С=А В, у которой элемент ст равен сумме произведений всех элементов ~'-й строки матрицы А на соответствующие элементы й-го столбца матрицы В: (2) сы — ч...а,.,б,„. ! Заметим, что произведение матриц определенно лишь тогда, когда число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В.
Матрицу А, получаемую из А заменой строк столбцами и наоборот; называют транспонироеанной матрицей ам=ам Если А=А, то матрица А называется симметричной (ам=ам). Если же А= — А, то матрицу А называют антисимметричной (ат= — аы); все ее диагональные элементы равны нулю (а„к=О). Отметим, что имеет место тождественное равенство (АВ) = В А.
Легко видеть, что матрица А, транспонированная по отношению к матрице А порядка пхт, имеет порядчяс тхп. Б частности, строчная матрица Ф н столбцевая матрица Ч' являются взаимно транспонированными. Ясно, что квадратную и-рядную матрицу А=— 1а,е1 можно умножать на столбцевую матрицу Ч"=)(Щ порядка пх 1 только справа, а на строчную Ф = ) ф;1 — слева; 17а при этом в первом случае получается матрица-столбец, а во втором — матрнца-строка. Символически это изображают так: ахП=П, ( ) х с:з = сз. Очевидно, что при умножении матрицы-строки порядка (1 х и) на матрицу-столбец порядка (и х 1) получается матрица порядка 1х1, т.
е. попросту число: Ф.Ч" =(Ф„Ф„", Ф„)х = ФМ.+Ф»Ф»+" +ФА. М При перемножении двух квадратных матриц порядка пхо получается квадратная матрица того же порядка: ) )~П=П- Среди квадратных матриц особую роль играют диагональ- ные мшприцы, у которых отличны от нуля только эле. менты с одинаковыми индексами: а„ О ... О О О ...
а„„ Ясно, что соответствующий диагональной матрице опера- тор А «растягивает» векторы базиса е„ е„ ..., е„ соот- ветственно в Л„ Л„ ..., Л„ раз: е,' = Ле,. В частности, если Л»=Л,=... =Л„=с, то такой ска- Произведение матриц, как и операторов, вообще говоря, некоммутативно: АВ эь ВА. л яр ной матрице с с 00 ...0 00 ... 0 1 Ф и 0= 00 0 1. Важной характеристикой всякой матрицы А является ее определитель бе1А.
Всякая неособенная матрица А (для нее йе1 А чьО) имеет обратную матрицу А-': Аг1 Ам н„1 тг 7 А '= ЛЫ Аы 4лл Ы Ы ''' й где д = бе1 А, А у †алгебраическ дополнение ее элемента а» . Очевидно, что А А-' = А-' А = У. I' Легко убедиться, что определитель произведения двух квадратных матриц С=А В равен произведению определителей сомножителей: <$е1С=бе(А <$е18. Если матрица А содержит комплексные элементы, то вводят понятие комплексно-сопряженной по отношению к А матрицы А*, элементы которой а";» отличаются от соответствующих элементов аы только комплексным сопряжением: а)» = (пм)' Ясно, что если А'=А, то матрица А является действительной. л соответствует лянейное преобразование подобия Л, равномерно «растягивающее» в с раз (или «сжимающее» вЂ” при с С 1) все базисные векторы. Наконец, единичному и нулевому операторам соответствуют матрицы: Матрица А+, получаемая из А путем транспонирования ее н комплексного сопряжения называется эрмитоеосопряженной матрицей по отношению к матрице А: а~+» = аь, Если А+ =А, то матрица А называется эрмитоеой или самосопряженной.
Такие матрицы широко используются в квантовой механике. Важным понятием матричной алгебры является ранг матрицы. Рангом матрицы А называется наивысший порядок г отличных от нуля миноров, составленных из элементов А. Ясно, что в случае квадратных матриц порядка л нх ранг может принимать значения от 0 (для нулевой»ыгрицы) до л для иеособенных матриц, определитель которых отличен от нуля. и 3. Исследование линейных преобразований с помощью матриц. Характеристический многочлен Выберем в л-мерном линейном пространстве )«неко-> торый базис е„е„..
„е„н рассмотрим в е к т о р н у ю матрицу-столбец: е, е, компонентами которой являются базисные векторы, Пусть в результате линейного преобразования А каждый вектор е««старого» базиса превратится в соответствующий век+ тор е««нового» базиса: Ае;=е,'. Тогда это преобразование в матричной форме примет следующий вид: АЧ'=Ч"„ где А †матри линейного оператора А, а Ч" †векто-я 1ет столбцевая матрица нового базиса: е,' ге„'~ Понятно, что обратное преобразование, превращающее новый базис Ч" в старый Ч", записывается аналогично: А 'Ч" =Ч'.
Будем далее развивать матричную символику с целью изучения лияейных преобразований. Координаты произвольного вектора х в п-мерном пространстве можно объедияить в единую матрицу-строку: Ф = (х„х„..., х„). Поскольку векторы базиса образуют векторную матрицу- столбец Ч", то произвольный вектор х=Хх;е; можно рассматривать как произведение строчной матрицы Ф на столбцевую матрицу Ч': х = (х, ... х„). (4) е„т В ином базисе е'„..., е„', связанном с исходным преобразованием А, тот же вектор будет определяться матричным равенством: (4') х =- (х',...
х„') . е„' 182 Выясним теперь, как связаны координаты х; вектора в новом базисе ~~' с координатами х; того же вектора в старом базисе Ч~. Приравняв правые части (4) и (4') и подставив в (4') вместо матрицы ф ее значение из (3'), получим: Ф' Ч' = Ф. А '. Ч'. Отсюда Ф'=Ф А '. Транспонируя это матричное равенство, приходим к соотношению: Ф'=А '.Ф, иля (в развернутом виде): х', 1 х,1 = — А ' хп у Итак, в то время как базисные векторы е; преобразуются с помощью матрицы А, координаты векторов преобразуются с помощью обратной транспонированной матрицы А '. Всякий линейный оператор А характеризуется в каждом базисе своей матрицей, поэтому необходимо еще установить аналитическую связь между матрицами, определяющими один и тот же оператор в различных базисах.
/ е' е, и Ч"'= Пусть базисы Ч = связаны между собой матрицей преобразования С: Ч" = СЧ'. Пусть, кроме того, существует некоторый линейный опел ратор А, матрица которого в базисе Ч" имеет вид А =) аы), а в базисе Ч' он принимает вид А'=(|а,'~). Задача сводится к установлению зависимости между А' и А, 163 Оказывается (доказательство приводить ие будем), что А' = С-'АС,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
