Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 21
Текст из файла (страница 21)
представляет собой много- член, условие ограниченности выражаемой им функции выполняется на всем отрезке — ! (х(1. Это может иметь место, если согласно формуле (16) обратится в нуль какой-нибудь коэффициент; тогда и все последующие коэффициенты автоматически станут нулевыми. Остается заметить, что при а,эьО коэффициент а,, исчезает только в том случае, если постоянная Х равна !42 произведению двух последовательных целых чисел 1 и 1+1: (18') у, = а, + а,х'+...
+ а,х', а прн нечетном 1 оно имеет вид: у, = а,х+ а,х'+... + а,х'. (19') Коэффициенты .а„и в том, н в другом случае определяются через произвольно выбранные а, нлн а, по формуле: ь(а+1) — (((+!) '"+' (ь+»(ь+() (1б') Многочлены (18') н (19'), у которых соответствующие коэффициенты а, или а, выбраны таким образом, чтобы в точке х=1 значения этих многочленов были равны 1, принято называть полиномами Лежандра и обозначить через Р,(х).
Резюмируя, можно сказать, что уравнение Лежандра (12) только при Х=1(1+1) имеет ограниченные на отрезке — 1(х(1 решения, которые с точностью до постоянного множителя являются полиномамн Лежандра Р, (х). й 3. Полиномы Лежандра Познакомимся подробнее со свойствами различных полиномов Лежандра. Прежде всего найдем полнномы наименьших степеней 1=0, 1, 2, 3.
При 1=0 мы имеем миогочлен нулевой степени, которым является коэффициент а,. Но чтобы Х =1(1+ 1). (20) Только при выполнении равенства (20) можно получить конечные решения уравнения Лежандра (12). При четном 1 следует выбрать частное решение у,(х), которое в этом случае будет представлять собой миогочлен 1-й степени. Если же 1 нечетно, то в многочлеп 1-й степени обратится ряд, определяющий у,(х). Таким образом, удовлетворяющее условию (20) уравнение Лежандра (1 — х') у" — 2ху'+1(1+ 1) у = 0 (12') имеет ограниченное решение, которое представляет собой многочлен 1-й степени. При четном 1 это решение имеет вид: Р„(1)=1, нужно принять а„=1.
Итак, Р (х) 1. При 1=1 получаем многочлен первой степени, он имеет вид а,х. Чтобы при х=1 этот многочлен был равен 1, необходимо принять а,=1. Следовательно, Р,(х) =х. При 1= — 2 у многочлена второй степени а,+а,х' коэффициент а, согласно (16') должен быть равен — За,. Поэтому Р,(х) =а,— За,х'. Чтобы при этом Р,(1) =-1, постоянную а, нужно выбрать равной — '/м так что , (х) =- —,' (Зх* — !), При 1=3 у многочлена третьей степени а,х+а,х' коэффициент а,, выражается через а, по формуле (!6') так: 12 — 34 5 а = — а = — а.
3-2 э 3 Таким образом, Р, (х) = а, (х — — х') . В точке х=! Р,(1) =- — — а,. 2 Чтобы Р,=1, надо принять а,= — '/,, Следовательно, Р, (х) = — (бх' — Зх). Вычисление полиномов Лежандра более высоких степеней таким методом довольно громоздко. Удобнее для этой цели пользоваться так называемой формулой Родриго: 1 Ф Р,(х) = — ° —, (х' — 1)', (21) 344 (Рекомендуем читателю с помощью этой формулы вычислить Р,(х) для всех 1 от 0 до 5.) Графики нескольких низших полиномов Лежандра приведены на рисунке 43.
Полиномы Лежандра обладают важным свойством ортогональности, выражающимся аналитически в том, что интеграл от произведения двух различных полииомов равен нулю: 1 ~ Р,(х) Р„(х) дх.==О, — 1 если !' чь1. Досих пор мы говорили о решении простого уравнения Лежандра (12), являю- Рис. 4з щегося частным случаем обобщенного уравнения Лежандра (11). Оказывается, что конечными решениями (11) являются так называемые присоединенные полиномы Лежандра Р, '' (х), определяемые следующей формулой Родриго: — лп Р', ' (х) =(1 — х') ' — Р,(х). (22) Обратим внимание, что при гп >! имеет место тождество Р', '(х) =О, Поэтому каждому значению 1 соответствует 1+ 1 присоединенных полиномов Лежандра Р,'"' (х), где т =О, 1, 2, ...,!.
В качестве примера найдем все присоединенные поли- номы, соответствующие 1= 2, Параметр т в этом случае может принимать значения О, 1, 2, т. е. возможны три полинома: Р7'(х)=Р,(х), Р'," и Р',"(х). Найдем каждый из них, Из предыдущего мы знаем, что Р',7~ = Р,(х) = — (Зхз — 1). Далее, по формуле (22) находим: Ра'(х) = (1 — х')'" „†„ ~ — (Зх' — 1)~ = Зх)/ 1 — х', 1, а Г! Р,"'(х) =(1 — х') —, [ — (Зх' — 1)~ =,З(1 — х'). ~Ь~ 145 $4.
Сферические и шаровые функции Вернемся к задаче, сформулированной в 9 1. Поскольку уравнение (11) получилось из (9') заменой независимой переменной созО= — х, то ясно, что уравнение (9') имеет конечные решения только в том случае, когда 1=1(1+ 1). Это уравнение принимает при этом форму: И>и 6Л т> — + —.— — + ~~1(1+ 1) ' 1 и= О. (9) Ив >1з 6ИЕ ! мп'61 Интеграл этого уравнения имеет вид («(О) — — Р', ' (соз О). (2З) Таким образом, чтобы найти функцию (7(«, О, «р) = - )с («) )«(0) Ф(<э), осталось еще найти )с(«), являющееся решением «раднального> уравнения (5). Раскроем в этом уравнении скобки и заменим Х произведением 1(1+1): «%" + 2«й' — 1(1+ 1) й =-О, (5') Это — дифференциальное уравнение типа Эйлера. Поэтому будем искать его решение в виде: 11 =- «'.
(24) Подставив в (5') )т и его производные й'=з«> ' и )с"= = з(з — 1) «' ', получим: з(з — 1)«'+2з«' — 1(1+1) «'=О. Сокращая на «' н произведя сложение общих членов, приходим к соотношению: з (э+ 1) =1(1+ 1), откуда я« =1, и == — (1+ 1).
Следовательно, общее решение уравнения (5') имеет вид: )с = С,«'+ С,«и+'>. Так как нас интересуют только конечные решения для всех внутренних точек шара (в том числе и центра, где «=О), то необходимо положить С,.=О. Тогда )с = С,«'. (25) Следовательно, в соответствии с равенством (7), конечными решеннямн уравнения (6) являются сфер ические функции: 1«) '(О, ~Г)=)«(О) ср(«р) = Ргь(созО)еь ' '>. (26) 146 Ясно, что для каждого ! имеется 21+ 1 сферических функций, соответствующих лс=О, 1, ..., й Произведение радиальной функции Я =г' на любую сферическую функцию У'с'"'(О, ср) согласно (2) является частным ограниченным решением уравнения Лапласа: У'~ '(г, О, ср)=гс)г) '(О, со)=г'Рс™ (созО) еьс в. (27) Функции (с', '(г, О, со) называют шаровыми.
Общее решение уравнения (1) имеет вид: в У(г, О, ср)= ~~", 2'„Сс г'Р) '(созО)(Ае' о-1-Ве-' о). (28) с=о =о В следующем параграфе рассмотрен пример решения уравнения (1) для конкретной физической задачи. О 5. Стационарное распределение температуры в шаре Пусть на поверхности шара радиуса .а температура поддерживается постоянной, равной 7(О).
Найдем установившееся распределение температуры Т(г, О, ср) внутри шара. Задача сводится к решению уравнения Лапласа: !хТ= О (29) при граничном условии Т1, о=с (О). Приступая к его решению, прежде всего учтем, что вследствие независимости температуры на поверхности от долготного угла ср не может зависеть от этой координаты и температура внутренних точек шара, т. е. Т=Т(г, О). Поэтому уравнение Лапласа (1) упрощается и принимает вид: Отсюда следует, что параметр лс равен нулю и Т =- )с (г) )г(О), причем )с (О) удовлетворяет простому уравнению Лежандра (12). Следовательно, шаровые функции (27) принимают вид; Т,(г, О) = г'Р,(сов О), (3!) и общее решение (28) запишется так: Т (г, О) =-,'Е С,г'Р, (соз О).
с о 147 Дело свелось, следовательно, к. такому выбору коэффициентов этого ряда, чтобы при г- а последний член сходился к ~(О): Т~,—,= ~~",С,а'Р,(созО)=~(9). 1=О (33) где коэффициенты Фурье — Лежандра определяются по формуле: 1 ~, = — ~ )(х) Р,(х)о(х, (35) Сопоставляя (33) в (34), заключаем, что (35) где ~, = — ~ ~ (9) Р, (соз 9). з1п 9 дО. (35') о Подставляя (36) в (33), получаем окончательное решение задачи в виде функционального ряда: Т(г„О)=~~' ~, ( — ) Р,(созО).
Г=О (37) Глава Ч. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА До сих пор мы решали дифференциальные уравнения в частных производных методом разделения переменных. Другим распространенным в математической физике методом решения таких уравнений является метод функций Грина, Он состоит в том, что сначала находят некоторое специальное решение задачи того же типа, а затем через него в квадратурах выражают интеграл исходной задачи. Ниже мы подробнее ознакомимся с сущностью этого метода на конкретных примерах. 14$ Ранее было отмечено, что полиномы Лежандра образуют ортогональное семейство функций и что поэтому любую функцию ) (х) можно разложить в ряд по этому семейству: 1' (х) = ~о )', Р, (х), (34) ф 1.
Метод Грина решения краевых задач Пусть нужно найти функцию <~ (х, у, г), удовлетворяющую в области )г уравнению Лапласа: лч =О (1) и удовлетворяющую на границе втой области условию: р(з=г(х', у', г'). (2) Ряс. 44 Возьмем внутри области )г некоторую точку М, и окружим ее маленькой сферой з объема о и радиуса г, (рис. 44). Применим теперь формулу Грина (51, ч. 11) к области )г'=1' — о, ограниченной двумя поверхностями Я и з: ,''г'(фд фд ) 1" 3 Ф(ф дн Ч дн) (3) 5 Поскольку эта формула справедлива для произвольных функций ч~ и ф, то выберем в качестве ю искомую функцию <р(х, у, г), удовлетворяющую условиям (1) и (2), а под ф будем понимать так называемую функиию 1 рина 6, которая определяется равенством: 6 (х, у, г) = — + Н (х, у, г), (4) где г †расстоян произвольной точки от М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
