Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 18
Текст из файла (страница 18)
э=о Иэ теории рядов Фурье иррестио, что ййпэтически любую фуикцюо )(ф) можно разложить в ряд по сияусаЯ'И йосииусам: в ((ф) = ~к~~ ~()а соэ лф+!лм' эмг лф), (49) и О гдв ф' и Я' — козффициеиты Фурье при соответечарющих косинусах и синусах ряда, причем 2Л !л = ~ !(ф) сов лфоф, ю 1!' о 2л )ю=Я )(ф)э' лфнр. о Нулевые козффициеиты определяются следующими формулами: 2л (у!=О, Ф'= — „у(ф)8ф Сопоставляя равеиства (48) и (49), замлючаем, что для выполнения краевого условия (48) иужио положитьс Мэо" =(а )Уэо" =Ь'". Таким образом, решение задачи Дирихле для круга может быть представлено в оледующем виде: Т= — ! ((ф) эр+ — ( — 'Р )" К 1 1 Ур 2л,) о п= 2Л ( ° г( ~м ге~- вг~~м гч).
(М о а $4. Стационарное распределение температуры в прямоугольном брусе Рассматриваемая задача формулируетси так: одна иэ граней длиииого прямоугольиого бруса (рис. 35) поддерживается при аадаииой температуре, иа остальных граиях Т=О; иайти устаиовившуюся температуру в произвольиой точке виутри бруса. Из симметрии бруса ясно, что температура от Е ие зависит и что можно ограиичиться рассмотреиием сечения в плоскости ХОУ. Задача состоит в определении функции Т= Т (л, р), удовлетворяющей 121 .уравненшо стационарной теплопроводности; дзТ дзТ ит= — '+ — О (5Ц ллз 3 г и двум парам краевых условий; Т(,,=О, Т(„„=)(у); (52) Т( о=О Т(и=а=О (53) Как обычно, ищем решение в виде: Т (х, р) = Х (х) 1' (р).
(54) Б Л Дифференцируя (54) дважды по л и у н подставляя в (51), получаем: Рис. 35 Х" г'+ ХУ" = О. Умножая последнее равенство на !1(ХУ), разделяем переменные: Х" /Х = — У"!У. Следовательно, Т (р) =В а1 п йд. Наложив второе граничное условие но у: )г(Ь)=ил( ДЬ=О, приходим к выводу, мто лб=лп, где л=!, 2, 3, Ютлода 122 Приравнивая обе части постоянной )з, приходим к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям; Х" — ),зХ=О, 'г' +Хе$'=О.
Решение уравнении (5б) мы уже неоднократно заппсывалн; 1 (р) = С еоа лр+ В а(п хр. (56') Что касается уравнения (55), то его решение, как известно, отли- чается только тем, что вместо тригонометрических оно содержит гиперболические функции: Х (х) =- А сй Ду+ В з)т Др. (55') Выберем теперь постоянные А, В, С, Р и л так, чтобы удовлетво- .рить граничным условиям (62) м (53). Удобнее начать с (53) как более простых.
Итак, 1'(О) =С= О. Подставляя этп дискретные значении параметра. Л в (55'), получаем множеатвн функций Х (х) н )' (у): плх плх Х« = А«с)т — +В зй —, 6 " 6' плу ь ' Перемножив теперь Х«(х) на г'«(у), находим совомупность фуннций Т„.(х, у), удоилетвнряюжих урлвнению (51) и краевым ус;юаням*(53); ллх ллхд . ллу Т„(х, у)=(М«сй — +6)«зй — /з|п —. (57) Теперь осталось удовлетворить условиям (52).
Но первому иэ нн», а именно Т („ з =О, мы сразу же удовлетворим, положив М„=О. Таким образом, совокупность функций; Т„= Л|«зй — з) и— ллх, плу (57') удовлетворяет не только уравнению (51), но и трем (нулезым) краевым условинм. Чтобы удовлетворить последнему граничному условию Т(х=«=/(у), составим бесконечную сумму. Т (х, у) = ~ Л|« з)| — з|п— мэ лл» ллу 6 Ь (58) «=| и подберем коэффициенты Л|«таким образом, чтобы ряд при х — ~а сходился к функции /(у): лла , ллу Т)х «= э )У«з)т — ° юп= — /(у).
лла Отсюда видно, что постоянные множители Л|«з)т — должны являться 6 коэффициентами/„разложения в ряд Фурьефункцин / |у) по синусаи: Л|«з)| — = /«. лла Отсюда /« Л|« = —, ила' зй— Ь (59) где /„= — 1 / (у) з|п — Фу. 2 Г . ллу 6 ) ллх ь а|п —. ила Ь Ь зц Т (х, у) = ~~' (60) «= | з)т 123 е Подставляя значения коэффициентов Л«в ряд (58), получаем окончательно: Полагая, как зто обычно бывает, что втот ряд сходится достаточно хорошо, можно утверждать, что его сумма удовлетворяет всеы усло- виям задачи н явлиется ее решением. й о, Охлаждение тонкой нластнны Определим температуру произвольной точки в любой поеледующий момент времени.
Орормулируем задачу аналитически: несбходимо найти функцию Т (х, р), удовлетворяющую одномерному уравнению теплопроводностн: дТ й деТ (6!) дт ср дхе и условиим: начальному Т Ь=о =Р(х) и граничному дТ ~-+йт) д,=о. (62) (63) Приступаем к решению задачи. Прежде всего, как и в 4 1, введем новую независимую перемена ную т= — !. Тогда уравср некие (6!) упростится: дТ д'Т дт дхе ' — — (6Н) Ищем его интеграл в виде произведения: Т (х, т) = Х (х) г'(т).
(64) Подставляя (64) в (6!), получаем: Х" У' Х У' Приравнивая обе часур одной н той же постоянйой — йа, приходим к двум обыкновен- ным .уравнениям: Х" + ааХ = О, 'г'"+азг =О. Рнс. 36 124 Пусть в начальный момент у пластины, толщина которой значи- ' тельно меныпе длины и ширины (рис. 66), температура была распределена по закону т !! е=-г (х). Охлаждение пластйпы происходит по закону Ньютона, т.
е. при х= ж а — й — = аТ. дТ дх Решения их нам хорошо известны: Х (х)=А сов Ля+В з(п Лх, У (т)=се ~ ". (65) (66) Поэтому и в наследующем распределение температуры должно оставаться симметричным. Таким образом, функции Х (х) должна быть четной, т. е. Х ( — х) =- Х (х). Отсюда вытекает далее, что коэффициент В в (65) равен нулю и вид функции Х(х) упрошается: Х (х) = А соз Лх. (65') Поскольку в краевое условие (63) входит тольно производная по х н Т (х, т) = Х (х) У (г), то функция Х (х) должна удовлетворять условию: Х' (а)+И Х (а) =О. (63) Используя (65'), получаем: — АЛ шп Ла+ИА сов Ла=О, откуда (67) Равенство (67) является трансцендентным уравнением дли ояределения Л.
Будем решать зто уравнение графическим споссбом, для чего сначала умножим числитель н знаменатель правой части па число а; 1и Ла = ьаь. Ии (67') Обозначим временно Ла=г и построим в системе координат (г, и) Иа графики кривых иг=1иг и иа= — (рис. 37). Ясно, что гипербола иа пересечет семейство таигенсоид бесчисленное множество раз. Это зйачит, что уравнение (67') имеет бесконечное множество корней, причем с ростом г= Ла точки пересечения г„приближаются к Л„а=пи (где п=1, 2, ...), тах как 1((ги — ~0. Отметим, что Ла сргь коРни уравнения (67'). Огсюда получается множество функций Х(х), удов- летворяющих граничному условию (63'): Х„(х) = А„соз ).„х. (65') Подставляя (65") и (66) в (64), получаем множество функций: Тп=М,л " соя Л„х, удовлетворяющих уравнению (61) и граничному уелоэию (63».
чтобы получить решение, удовлетворяющее ещэ н наЧйЛЫгому условию, 125 Поскольку в рассматриваемом случае граничные условия ие являются нулевыми, то возникает новая ситуация. Так как условия слева и справа от плоскости х=О совершенно одинаковы, то в начальный момент времени температура должна была быть распределенной симметрично: р(х) р( — х), Рнс 37 составляем уже известным нам приемом бесконечную сумму: — хз т Т (Х,:т)= ~Ч~, 'Т„=~~Мес " СОЗ йчХ. «=! ч (68) (69) Во всех предыдущих примерах мы сталкивались с разложением функции а ряд по синусам и косинусам к ра т н ы х аргументов, т.
е. с рядами Фурье. В левой части же,равенства (69) стоит бесконечная сумма косинусов, аргументы которых отличаются нецелочисленными множителими Х„. Легко, однако, показать, что функции сов йчх ивляются взаимно ортогоиальными, т. е. соз Ачх соа 3„,х,йх=б. а С другой стороны, они ие нормированы, т. е.
а соз'х» г(х ~ 1. -а В зверин !рядов еЬурье звжевыввется, кто произюольиуют(ьунммвю Нх) можно рввавпать в,.рвд ао.,сеиыйелву ортопмьзлвиых;впнпрмн- Выясним теперь, каковы должны быть козффициенгы М„, чтобы при т — ~0 ряд, получающийся из функции Т„, сходился к заданной функции г" (х), т. е. чтобы Ф М„соа а х=г" (х).
ч=! . фум а й Х,(), Х,(х) ...: ) (х) = ~я~, (вХ„(х). Но в отлянне от обмчвык рядов Фурье обобщенные ксвффиннентм Фурье г„определяются по формуле: г ° 1 — т а — Хнах ~ )(х)Х„(х)дх. -а — а Таким образом, для удовлетворения условия (69) необходимо положить произвольные числа М„равнымн обобщенным коэффициентам Фурье: г (х) соз Лчх ° г(х -а Мч — Тз = а созе Л.„х, ох -а Подставляя теперь значения М„в (68), получаем окончательное выражение для искомой функднв Т [х, Г): м " 2 — ь, г Т (Х, () = Ч(, 'Рна 'О СОа ЛчХ, (70) л=1 5 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
