Е.И. Несис - Методы математической физики (1120414), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Линейный оператор 0 называется унитарным, если Л Л и и-=г. (12) Отсюда сразу следует, что У+ = У-'. Чтобы подробнее познакомиться с унитарными операл -~ торами, рассмотрим скалярное произведение (их, Уу). Применяя к нему условие сопряженности (10), приходим к равенству л-» л-~ (их, иу) =(х, и'иу).
Принимая во внимание условие унитарности (12), получаем окончательно: (Ух, Уу) = (х, у), Всякий унитарный оператор У в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение для любых двух векторов атого пространства. В частности, прн х =у (Ух, Ух) = (х, х). Унитарный оператор не меняет длин векторов. Выясним условия, которым удовлетворяют у н и т а рн ы е матрицы У, соответствующие унитарным операторам. Пусть в некотором ортонормированном базисе в и-мер-' л ном унитарном пространстве оператору У соответствует матрица им и„... и,„ ими„...
и,„ У= кюи„, ... и„„ Тогда сопряженному оператору Уь будет соответствовать матрица И,",и"и ...и,, и"„Им ... и„', Из условия унитарности следует, что 1 1 Следовательно, з соответствии с правилом умножения матриц )' г кртг у= 19 ~() э()в = (12') О' иртг Мятрици б яэаяэяея уннгтлринй, еклм ауаиив врэизведенкй элементов какой-либо строки (столбца) иа соответствующие комплексно-сопряженные элементы другой строки (столбца) равны О, а сумма квадратов модулей элементов любой строки (столбца) равна единице. Условие (12') имеет простой геометрический смысл. Пусть е„е„..., е„— некоторый ортонормированный бал зис. Тогда, как несложно убедиться, векторы Уе„ л- ° л -~ Уе„..., Уе„также образуют ортонормированный базис, так как л л-~ ( 1 при 1=1~ (Уео ('е„)=~ О п и 1~ь Линейный оператор У является унитарным, если он переводит ортонормированный базис в другой, также ортонормироваииый базис. л Матрицы унитарного оператора У, нак и самосопряжеиного оператора, можно привести к простейшему диаго'- нальному виду: () = Здесь собственные числа Х„Х„..., ).„по модулю равны 1.
Итак, мы установили, что самосопряженные и унитарные операторы обладают системой взаимно ор того- 19! нальных собственных векторов. Оказывается, что и свмосопряженные, и унитарные операторы являются частными типами более широкого класса н о р м а л ь н ы х операторов, обладающих- указанным свойством. Оператор М называется нормальным, если ои коммутирует со своим сопряженным: М У+ =У+.М. ((з) Теорема: Для того чтобы у оператора М существовал ортогональный базис, необходимо н достаточно, чтобы Ф был нормальным оператором, т, е. удовлетворял условию (13).
Докажем сначала необходимость. Пусть в некотором ортогональном базисе (который без ограничения общности можно считать нормированным) матрица А имеет диагональный вид: А', очевидно, Тогда в этом базисе сопряженная матрица равна: т. е. она также является диагональной. Но диагональные матрицы между собой всегда перестановочны: АА'=-, А'А. Следовательно, оператор А нормальный.
Из основного свойства нормальных операторов вытекает, что их матрицы всегда можно привести к диагональному виду. ф Б. Линейные операторы в действительном евклидовом пространстве Хотя вещественное евклидово пространство является частным случаем комплексного евклидова (унитарного) пространства, свойства линейных операторов, действуощих в этих пространствах, могут существенно отличаться, Основная теорема алгебры справедлива только в поле комплексных чисел. Поэтому характеристическое уравнение бе1(А — И)=0 может не иметь ни одного нория в поле действительных чисел (все собственные значения л л у А комплексные).
В этом случае у оператора А не существует ни одного собственного вектора; так, линейный оператор в реальном пространстве, поворачивающий плоскость ХОУ вокруг оси л на любой угол а, отличный от 180' (точнее а~йп, где й=0, 1, 2, ...), не имеет ни одного вектора, который бы после поворота остался коллинеарным первоначальному. Чтобы глубже изучить свойства линейных операторов в евклидовом пространстве, познакомимся с понятием инвариантного надпространства. л Пусть А — линейный оператор в линейном п-мерном пространстве 11 (которое может быть как действительным, таи и комплексным). Линейное подпространство И, назмвается и н вариантным относительно А, если врезульл тате действия оператора А на любой веитор х из Р, пол лучается новый вектор Ах, также принадлежащий надпространству )1,. Ясно, что ийвариантное подпространство является обобщением множества векторов, коллииеарных собственному вектору оператора.
В частности, совокупность векторов из К, коллинеариых некоторому собственному вектору х оператора А, образует одномерное инвариантное подпростраиство. Приведем еще пример. Если оператор А совершает поворот реального трехмерного пространства вокруг оси Е, то инвариантным подпространством здесь являются: а) множество векторов, расположенных вдоль оси Я (одномерное надпространство) и б) совокупность векторов в плоскости ХОУ (двумерное подпространство). Теперь мы можем сформулировать важную теорему о линейных операторах в действительных линейных пространствах.
У всякого линейного оператора А в веществеииомаффинном и-мерном пространстве )г существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Мы не будем строго доказывать эту теорему, а приведем качественные рассуждения, подтверждакяцие ее справедливость. Выберем в )т некоторый базис е„е„..., е„; пусть опеРатоРУ А в этом базисе соответствУет матРица А =)а!э). Составим соответствующее характеристическое уравнение и-ой степени: де1 (А — )т!) =- О. Обозначим через Х, корень этого уравнения. Могут представиться два случая, 1. Корень ); — число действительное.
Тогда, как легко видеть, существует л действительных чисел х„х„..., х„, которые можно рассматривать как координаты в выбранном базисе такого вещественного вектора х, что Ах= Х,х. Но в этом случае множество векторов ах образует одномерное инвариантное подпространство, аналогично тому, что имеет место в случае комплексного пространства.
2, Корень ).„ †чис комплексное (Х, =а+ р!). Этот случай не имеет аналогии в комплексных пространствах. Координаты х, собственного вектора, соответствующего такому ).„ являются, очевидно, комплексными. Обозначим их в виде $, + т),т, $,+ т),т, ..., $„ + т)„!. Тогда можно записать следующую систему уравнений: л 2„'а~. ($. + Ч.') = (а+ Й) ($~+ Чу'). э=! где 1'=1, 2, ..., и. Приравнивая соответственно действительные и мнимые части, получим две системы уравнений: а ч~~~ ~а~д„,.= аэ — ~т)~, э=! ~чР ~а~эт)д — — ат)у+ Я~.
и=! РассматРиваЯ тепеРь $„ $м ..., $„ и соответственно т)„ т)„ ..., т)„ как координаты действительных векторов х и у, можно предыдущие равенства записать в операторной форме: (! 4) 194 Ах =ах — ))у, Ау =ар+ рх. А это означает, что двумерное подпростраиство, порожденное векторами х и у, инвариантно относительно оператора А. Перейдем теперь к рассмотрению самосопряженных операторов в евклндовом (вещественном) пространстве. Поскольку элементы матрицы в этом пространстве действительные числа, то условие самосопряженности операторов (ам=а»;) сводится к равенству агл — — аы.
Чтобы линейный оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична. Очевидно, что и в действительном евклидовом пространстве справедливо рассмотренное в $ 4 свойство самосопряженных операторов. Существует ортонормированный («собственный») базис, в котором симметричная матрица о, соответствующая самол сопряженному оператору 5, принимает диагональный вид. Познакомимся теперь с понятием ортогональнозо оператора. Линейный оператор А действительного евклидова и-мерного пространства )с называется ортогональным, если он сохраняет неизменным скалярное произведение любых двух векторов из )с: (Ах, Ау)=-(х, у). > В частности, полагая х=-у, получаем: (Ах)» = (х)». Зто значит, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов.
Ясно, что ортогональный оператор в действительном евклидовом пространстве играет такую же роль, что н унитарный оператор в комплексном евклидовом пространстве. Так как в евклидовом пространстве угол между век'торами определяется по формуле > сов«р = )х) )у~ и прн ортогональном преобразовании и числитель и знаменатель не меняются, то ортогональный оператор с о храняет углы между векторами. 195 Как и унитарный оператор в комплексном евнлндовом пространстве, ортогональный оператор в действительном евклидовом пространстве переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис. Поскольку в действительном пространстве У+ = О, то условие унитарности матрицы УУ' = 1 сводится к условию ортогональности АА=(, (15) или (что совершенно эквивалентно) А '=А.
(15') Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей, то нз (15) следует, что у ортогональной матрицы (де(А)'=1, или де1А= ~1. Ортогональные преобразования А, определитель которых равен +1, называются собственными, а те, у катарых бе1 А = — ! — несобственными. Рассмотрим сначала ортогональное преобразование А в одномерном пространстве, порожденном некоторым вектором е.
Ясно, что е является собственным вектором л л-~ -> оператора А. Поэтому Ае =- Хе. С другой стороны, по условию ортогональности (Ае, А е) = (е, е). Следовательно, Х'(е, е) =(е, е), откуда ) =~ 1. Итак, в одномерном пространстве существует лишь два ортогональных оператора: собственный А,х= х и несобственный А,х= — — х. Перейдем теперь к рассмотрению двумерного пространства с ортонормированным базисом е, и е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
