Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рабочий обслуживает несколько однотипных станков, каждый из которых в случайные моменты времени может потребовать внимания рабочего. Может случиться, что в то время, когда рабочий занят у одного станка, потребовалось его вмешательство у других станков. Требуется найти вероятность зтого события, т.е., иными словами, среднюю длительность ожидания станком рабочего (нначе говоря, простой станка).
Заметим, однако, что схема задачи о встрече мало пригодна для решения зтого производственного вопроса, так как никакого условленного времени, в течение которого станки обязательно требуют к себе внимания рабочего, не существует, а длительность операции рабочего у станка не постоянна. Помимо этой основной причины, нужно 42 Глава 1. Случайные события и ик вероятности указать на сложность вычисления в задаче о встрече для случая большого числа лиц (станков). А эту задачу нередко нужно решать для большого числа станков (в текстильном производстве, например, некоторые ткачихи брали на обслуживание по несколько десятков станков). Пример 2 Коэффициенты р и д квадратного уравнения х'+рх+д = 0 выбираются наудачу в промежутке (О,1).
Спрашивается, чему равна вероятность того, что корни будут действительными числами? Чтобы корни квадратного уравнения были действительными числами, необходимо и достаточно выполнение неравенства р~ (4о. В прямоугольных декартовых координатах (рис. 5) множество всех возможных пар чисел (р, с) задается точками квадрата с вер- О шинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). Точки (0,1) же, благоприятствуюшие нашему событию, лежат под параболой о = рз/4. Таким образом, согласно определению, искомая вероятность равна ! 4 1 12 Рис. б Задачи, подобные только что рассмотренной, нашли интересные применения в теории чисел и в ряде научных и технических применений. Пример 3. Парадокс Бертрана.
Теория геометрических вероятностей неоднократно подвергалась критике за произвольность определения вероятности событий. При этом авторы приходили к убеждению, что для бесконечного числа исходов нельзя дать объективного, не зависяшего от способа расчета, определения вероятности. В качестве особенно яркого выразителя этого скептицизма можно привести французского математика прошлого века Жозефа Бертрана. В своем курсе теории вероятностей он привел рял задач на геометрические вероятности, в которых результат зависел от метода решения.
В качестве примера приведем одну из задач, рассмотренных Бертраном. Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника? Решение 1. По соображениям симметрии можно заранее задать направление хорды.
Проведем диаметр, перпендикулярный к этому направлению. Очевидно, что только хорды, пересекаюшие диаметр в промежутке от четверти до трех четвертей его ллины, будут превосходить стороны правильного треугольника. Таким образом, искомая вероятность равна 1/2. 5 4. Гвомвтричвскив вероятности Решение 2 По соображениям симметрии можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности.
Касательная к окружности в этой точке и лве стороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по 60'. Условию задачи благоприятствуют только хорды, попадающие в средний угол. Таким образом, при этом способе вычисления искомая вероятность оказывается равной 1/3. Решение 3. Чтобы определить положение хорды, достаточно задать ее середину. Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо, чтобы ее середина находилась внутри круга, концентрического данному, но половинного радиуса. Плошадь этого круга равна одной четверти плошади данного; таким образом, искомая вероятность равна 1/4. Мы должны теперь выяснить, в чем причина неоднозначности решения нашей задачи.
Лежит ли причина в принципиальной невозможности определить вероятность для случаев бесконечного числа возможных исходов или же причина лежит в том, что мы приняли в процессе решения какие-либо недопустимые предпосылки. Лело, как легко усмотреть, заключается в том, что за решение одной и той же задачи, пользуясь тем, что в условии задачи не определено понятие проведения хорды наудачу, выдаются решения трех различных задач. В самом деле, в первом решении вдоль одного из диаметров заставляют катиться круглый цилиндрический стержень (рис.
ба). Множество всех возможных мест остановки этого стержня есть множество точек отрезка АВ длины, равной диаметру. Равновероятными считаются события, В А Рис. 6 состояшие в том, что остановка проиюйдет в интервале длины Ь, где бы внутри диаметра ни был расположен этот отреюк. Во втором решении стержень, закрепленный на шарнире, расположенном в одной из точек окружности, заставляют совершать колебания размером не более 180' (рис.бб).
При этом предполагается, что остановка стержня внутри дуги окружности длины Ь зависит только от длины дуги, но не от ее положения. Таким образом, равновероятными событиями считаются остановки стержня в любых дугах окружности одинаковой длины. Несогласованность определений вероятности в первом и во втором решениях становится совершенно очевидной после такого простого расчета. Вероятность того, что стержень остановится в промежутке от А до х, согласно первому решению равна х/Р. Вероятность того, что проекция точки пересечения 44 Глава 1. Случайные события н нх вероятности стержня с окружностью во втором решении попадает в тот же интервал, как показывают элементарно геометрические подсчеты, равна ! 2х — Р ! — — агссоз при х) Р(2 Р и 1 Р— 2х — агссоз при х < Р(2. Наконец, в третьем решении мы бросаем наудачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятности попадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис.
6 в). Различие постановок задач во всех трех случаях совершенно очевидно. Пример 4. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскости наудачуз), бросается игла длины 2! (! < а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Решение. Обозначим через х расстояние от центра до ближайшей параллели и через гр — угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины х и гр полностью определяют положение иглы. Всевозможные Рис.
7 положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами а и к. Из рис. 7 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы х (~1$1п уз. Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению плошади заштрихованной на рис. 8 области к площади прямоугольника 1 Г 2! р = — 2! ! 5!и гр ЙР = —. вк / ах о В под словами наудачу здесь подразумевается следующее: во-первых, венгр иглы наулачу падает нв отрезок двины 2в, перпендикулярный к проведенным пряммм, вовторых, вероятность того, что угол р, составленный иглой и проведенными прямыми, будет мключвться между р~ и р~ + сьр, пропорпиональна Ьр, и в-третьих, мличины к и р независимы (см.
й 7). 45 б 4. Геометрические вероятности Заметим, что задача Бюффона является исходньгм пунктом лля решения некоторых проблем теории стрельбы, учитываюших размеры снаряда. Пример 5. На горизонтальную плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а, наудачуу1 брошен выпуклый контур, диаметр которого меньше 2а. Найти вероятность того, что контур пересечет одну из параллельных прямых. Решение. Положим сначала, что выпуклый контур является многоугольником с и сторонами. Пусть ею стороны пронумерованы от номера! до номера и. Если мноюуюльник пересекается с какой-либо параллельной прямой, то зто пересечение должно произойти по каким-либо двум сторонам. Обозначим через р!3 = р; вероятность того, что пересечение произойдет по 3-й и у-й сторонам. Очевидно, что событие А, состоящее в том, что брошенный многоугольник пересечет одну из параллельных прямых, может быть представлено в виде следующей суммы попарно несовместимых событий: А=(Ам+Ам+...+А!в)+ + ( 4и + А!4 + " + А2в) + ° ° ° + (Ав-2, в-! + Ап-2, и) + Ав-1, в, где через А! (3 < у, 3 = 1, 2,...; у = 1, 2,...) обозначено событие, состоящее в пересечении с параллельной прямой 3-й и у-й сторон.
По теореме сложения вероятностей р = Р(А) = (Р(Ап)+ Р(Ац)+ "+Р(А! )) + + (Р(А23) + " + Р(А2в)! + " + 1'(Аи-1,п) = — (Р12 + Р13 + ° ° + Р 1в) + (уч3 + Р24 + ° ° + Р2я) + ° + Рв-1, в. Пользуясь равенством рб = р; „мы можем записать вероятность р иным способом: 1 Р [(р12+Р13+ +Р1в)+(Р21+Р23+ +Р2в)+. +(Рв!+Рв2+ .+Рв,в-1)] ° 2 в Но сумма 2' ,р;,, где положено ра = О, представляет собой не что 3=1 иное, как вероятность пересечения 3-й стороны многоугольника с одной из параллельных прямых. Если длину 3-й стороны обозначить через 211, то из задачи Бюффона находим, что 211 3=1 и, следовательно, 21! 2яа э! В этом примере «наудачу» значит, что мы берем какой-либо отрезок, жестко связанный с контуром, и бросаем его *наудачу» а смысле предыдугаего примера. Нетрудно показать, что такии образом определенное понятие не зависит от выбора указанного отрезка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
