Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

При гп = и случайное событие всегда происходит, т. е. оно является достоверным. Всего, таким образом, обра- я зовано 2 С„'" = 2" — 1 событий. Добавим теперь ко всем построенным ш=! событивм еше одно, которому не соответствует ни одно элементарное событие, т.е. состоящее из пустого множества элементов. Очевидно, что оно никогда не может наступить (поскольку ему не соответствует ни одно элементарное событие).

Это случайное событие носит название невозможного события. Таким образом, всех случайных событий в рассмотренном нами случае будет 2". Ближайшие рассмотрения относятся не только к классическому определению вероятности, но и ко всем дальнейшим обобщениям. Булем считать фиксированным комплекс условий !Э и станем рассматривать некоторую систему Я событий А, В, С...'1, каждое из которых должно при каждом осуществлении комплекса 6 произойти или не пронзойтн'1. В События в дальнейшем обозначаются латинскими прописными буквами А, В,С, Р,В,.... з> г Вместо «произойти» говорят игшке «появиться», «иметь место» или «наступить».

б 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 27 Между событиями системы В могут существовать известные соотношения, с которыми мы постоянно будем иметь дело и которые поэтому прежде всего изучим. !) Если при каждом осуществлении комплекса условий 6, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то мы будем говорить, что А влечет за сорейе> В, и обозначать это обстоятельство символом С: АСВ или символом Ен В Э А.

2) Если А влечет за собой В и в то же время В влечет за собой А, т.е. если при каждой реализации комплекса условий Ь события А и В оба наступают или оба не наступают, то мы будем говорить, что события А и В равносильны и будем обозначать зто обстоятельство символом =: А = В. 3) Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, будем называть нроазаедением событий А и В и обозначать АВ. 4) Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, будем называть суммой событий А и В и обозначать А + В.

5) Событие, состоящее в том, чю событие А происходит, а событие В не происходит, будем называть разностью событий А и В и обозначать А — В. 6) Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется нротааоналолсным для А и обозначается символом А. Пусть, например, комплекс условий 6 состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рис.

!, выбирается наудачу точка. Обозначим через А событие «выбранная точка лежит внутри левого круга» и через В событие «выбранная точка лежит внутри правого круга». Тогда события А, А, В, В, А+ В, АВ, А — В,  — А, А — В состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах рис. !.

Рассмотрим другой пример. Допустим, что комплекс условий 6 состоит в том, что на стол бросается (один раз) игральная кость. Обозначим через А выпадение на верхней грани кости>> шести очков, через В— выпадение трех очков, через С вЂ” выпадение какого-либо четного числа очков, через Р— выпадение какого-либо числа очков, кратного трем.

Тогда события А, В, С и Р связаны следующими соотношениями: А С С, А С Р, В С Р, А+ В = Р, СР = А. 4> > Вместо А «влечет за собой В говорят также «А является частным случаем В». з>В Японии изтоювляют теперь кости ие только в виде кубиков, ио также в виде додекаэлров и икосаэдров. 28 Глава 1. Случайные события и их вероятности А+В АВ А-В В-А Рис. 1 А-В Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий: А+В+... +Ф обозначает событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий А,В,...,7ч, а АВ...

7гГ обозначает событие, заключающее в наступлении всех событий А, В,... ..., К. 7) Событие называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти (при каждой реализации комплекса условий 8). Например, при бросании двух игральных костей достоверно, что сумма очков будет не меньше двух. Событие называется иевозиожяым, если оно заведомо не может произойти (ни при одной реализации комплекса условий 6). Например, при бросании двух игральных костей невозможно появление сумы очков, равной тринадцати. Очевидно, что все достоверные события равносильны между собой.

Поэтому законно обозначать все достоверные события одной буквой. Мы б 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 29 будем употреблять для этого букву й. Все невозможные события тоже равносильны между собой. Мы будем обозначать любое невозможное событие знаком И, 8) Два события А и А называются противоположными, если лля них одновременно выполняются два соотношения: А+А=й, АА=и. Например, если при бросании одной игральной кости С обозначает выпадение четного числа очков, то й — С = С есть событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков. 9) Два события А и В называются несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т.е.

если АВ = И. Если А = В~ +Вз+" +В и события В; попарно несовместимы, т.е. В,В, = ю' при ба т', то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи Вн Вм... ..., В„. Например, при бросании игральной кости событие С, состоящее в выпадении четного числа очков„подразделяется на частные случаи Е~, Еы Еы состоящие соответственно в выпадении 2, 4 и б очков. События Вн Вм..., В„образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса б), т.е.

если В, +В,+...+В„=й. Особенно существенны для нас в дальнейшем будут полные группы попарно несовместимых событий. Такова, например, при однократном бросании игральной кости система событий Ен Ез, Ем Е4, Ем Еь, состоящая, соответственно, в появлении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. 10) В каждой задаче теории вероятностей приходится иметь дело с каким-либо определенным комплексом условий 6 и с какой-либо определенной системой Я событий, наступающих или не наступающих после каждой реализации комплекса условий 8. Относительно этой системы целесообразно сделать следующие допущения: а) если системе Я принадлежат события А и В, то ей принадлежат также события АВ, А+ В, А — В; б) система Я содерлсит достоверное и невозможное события.

Глава 1. Случайные события и ик вероятности Система событий, удовлетворяющая этим допущениям, называется полем событий. Заметим еще в заключение, что во всех рассмотрениях теории веро- ятностей равносильные между собой события могут заменять друг друга. Поэтому мы условимся в дальнейшем любые два равносильных события считать просто тождественными друг другу.

Рассмотрим какую-либо полную систему С попарно несовместимых равновозможных событий (назовем их элементарными событиями): ЕпЕз, " Е и рассмотрим систему событий Я, состоящую из невозможного собы- тия й!, всех событий Ен системы С и всех событий А, которые могут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав системы С. Например, если система С состоит из трех элементарных событий Еы Ез и Ез, то в систему Я вхолят события к!, Еы Ез, Ез, Е1 + Ез, Ез + Ез, Е~ + Ез, 1! = Е~ + Ез + Ез ° Легко установить, что система Я есть поле событий. В самом деле, очевидно, что сумма, разность и произведение событий из Я входят в Я; невозможное событие И входит в Я по определению, а достоверное событие й входит в Я так как оно представляется в внле Й = Е~ + Ез + ..

+ Е„. В соответствии с приведенным определением (с. 25) каждому со- бытию А, принадлежащему к построенному сейчас полю событий Я, приписывается вполне определенная вероятность гл Р(А) = —, и где гл есть число тех событий Е, исходной группы С, которые являются частными случаями события А. Таким образом, вероятность Р(А) можно рассматривать как функцию от события А, определенную на поле событий Я. Функция эта обладает следующими свойствами: 1. Для каждого события А поля Я Р(А) > О. 2. Яля достоверного события П Р(П) = 1. 3. Если событие А подразделяется на чаопные случаи В и С, и все три события А, В и С принадлезкат полю Я, то Р(А) = Р(В) + Р(С). Это свойство называется теоремой сложения вероятностей.

Свойство 1 очевидно, так как дробь тп/и не может быть отрицательной. Свойство 2 не менее очевидно, так как достоверному событию П благоприятствуют все и возможных результатов испытания, и поэтому Р(й) = — = 1. б 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 31 Докажем свойство 3. Пусть событию В благоприятствуют тп', а событию С вЂ” шя событий Е; системы С. Так как события В и С по допущению несовместимы, то события Е;, благоприятствующие одному из них, отличны от событий Е<, благоприятствующих другому. Всего, таким образом, имеется пь'+ шя событий Еь, благоприятствующих появлению одного из событий В или С, т.е.

благоприятствующих событию В + С = А. Следовательно, пз'+ пья пь' шя Р(А) = = — + — = Р(В) + Р(С) и и и что и требовалось доказать. Мы ограничимся здесь указанием еше нескольких свойств вероятности. 4. Вероятность события А, противоположного событию А, равна Р(А) = 1 — Р(А).

Характеристики

Список файлов книги