Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Глава Б Случайные события и ик вероятности Если обозначить через 2а периметр многоугольника, то мы найдем, что 8 Р= Мы видим, таким образом, что вероятность р не зависит ни от числа сторон, ни от величины сторон многоугольника. Отсюда мы заключаем, что найденная формула верна и лля любого выпуклого контура, так как мы всегда можем рассматривать этот последний как предел выпуклых многоугольников с безгранично возрастающим числом сторон.
5 5. О статистической оценке неизвестной вероятности Классическое определение вероятности при переходе от простейших примеров к рассмотрению сложных задач, в особенности же задач естественнонаучного или технического характера, наталкивается на непреодолимые трудности принципиального порядка.
Прежде всего, в большинстве случаев возникает вопрос о возможности нахождения разумного способа выделения «равновозможных случаев», Так, например, из соображений симметрии, на которых основаны наши суждения о равновероятности событий, вывести вероятность распада атома радиоактивного вещества за определенный промежуток времени, или же определить вероятность того, что родившийся ребенок окажется мальчиком, представляется невозможным. В этих случаях еще на заре возникновения теории вероятностей был замечен иной способ приближенной оценки неизвестной вероятности случайного события. Длительные наблюдения над появлением или непоявлением события А при большом числе независимых испытаний, производимых при одном и том же комплексе условий 6, в ряде случаев показывают, что число появлений события А подчиняется устойчивым закономерностям.
А именно, если мы через р обозначим число появлений события А при п независимых испытаниях, то оказывается, что отношение р/и (частота события А) при достаточно больших и для большинства таких серий наблюдений сохраняет почти постоянную величину, причем большие отклонения наблюдаются тем реже, чем многочисленнее произведенные испытания. Более того, оказывается„что для тех случаев, к которым применимо классическое определение вероятности, это колебание частоты происходит около вероятности события р. Мы увидим впоследствии, что этот эмпирический факт имеет глубокие основания в теореме Бернулли. То, что при большом числе испытаний частота события остается почти постоянной, дает нам возможность расширить круг явлений, для которых мы будем говорить об их вероятности.
Представим себе, что относительно события А принципиально возможно проведение неограниченной последовательности не зависимых друг от друга испытаний в неизменных условиях б. Если в результате достаточно многочисленных наблюдений замечено, что частота события А б б. О статистической оценке неизвестной вероятности 47 Таблица 4 Месхи 2 3 6 7 ю и за год Всех 7280 6957 7883 7884 7609 7585 7393 6903 6552 7132 88 273 7892 7203 45 682 3797 3944 3964 3712 Маяьчи- ков 3550 4017 3743 4173 41 17 3512 3392 3761 девочек 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 349! 3391 3!60 42 591 3371 Частота рождений девочек 0,486 0,484 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,485 0,491 0,482 0,473 0,4825 На рис.
9 показано уклонение частоты рождений девочек по месяцам от частоты рождений девочек за год. ведет себя достаточно правильно и почти всегда колеблется около некоторой, вообще говоря неизвестной, постоянной, то мы скажем, что это событие имеет вероятность. За численное значение этой вероятности может быть приближенно при большом числе и независимых испытаний, производящихся в неизменных условиях Ь, принята частота события А. Однако испытания позволяют нам делать заключения и иного характера. Прелставим себе, что некоторые соображения дают нам основание считать, что вероятность некоторого события А равна р.
Пусть далее, при проведении нескольких серий независимых испытаний оказалось, что частоты в подавляющем числе серий значительно отклоняются от величины р. Это обстоятельство дает нам основание высказать сомнение относительно правильности наших априорных суждений и предпринять более детальное исследование тех предпосылок, из которых мы исходилн в своих априорных выволах. Так, например, в отношении некоторой игральной кости мы делаем предположения о ее геометрической правильности и однородности материала, из которого она изготовлена. Из этих предварительных предпосылок мы вправе сделать вывод, что при бросании кости вероятность выпадения некоторой грани, например, грани с номером 5, должна быть равна 1/6. Если неоднократные серии достаточно многочисленных испытаний (бросаний) в нашем примере систематически показывают, что частота появления этой грани значительно отличается от 1/6, то мы усомнимся не в существовании определенной вероятности выпадения этой грани, а в наших предпосылках о правильности кости или в правильности организации процесса наших испытаний (бросаний).
В качестве иллюстрации почти постоянства частот при больших числах испытаний рассмотрим распределение новорожденных по полу по месяцам. Данные заимствованы из книги Г Крамера «Математические методы статистики» и представляют собой официальные данные шведской статистики за 1935 г.
48 Глава 1. Случайные события и их вероятности 0, 0,482 0,4 Заметим, что в случае статистического определения снова имеют место такие свойства вероятности: !) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) если случайное событие С является суммой конечного числа несовместимых событий А!, А2,..., А„, имеющих вероятность, то его вероятность существует и равна сумме вероятностей слагаемых Р(С) = Р(А!) + Р(А2) +... + Р(А„). В заключение мы должны остановиться на весьма распространенной, в особенности среди естествоиспытателей, концепции вероятности, данной Р Мизесом. Согласно Мизесу, раз частота по мере увеличения числа опытов все меньше и меньше уклоняется от вероятности р, то в пределе должно быть р= !!в —.
/е я-ка и' Это равенство Мизес предполагает считать определением понятия вероятности. По его мнению, любое априорное определение обречено на неудачу и лишь данное им эмпирическое определение способно обеспечить интересы естествознания, математики и философии, причем раз классическое определение имеет лишь весьма ограниченное применение, а статистическое определение применимо ко всем имеющим научный интерес случаям, то классическое определение через равновозможность, основанную на симметрии, Мизес предлагает вовсе отбросить. Более того, Мизес считает вообще ненужным выяснение структуры явлений, для которых вероятность является объективной числовой характеристикой, для него достаточно наличия эмпирической устойчивости частоты.
Мы не будем останавливаться на деталях теории Мизеса, в частности, на тех ограничениях и условиях, которые он дополнительно наклааывает на последовательность испытаний. За подробностями теории мы отошлем читателя к его книге «Вероятность и статистика». В то же время его положения не были безоговорочно приняты наукой. Критические замечания в развернутом виде изложены в статье А.я.
Хинчнна 'о!. 'в! Частотная теория р Мизеса и современные идеи теории вероятности // Вопросы философии. !96!. Вып. !. С. 9! — Ю2; Вып. 2. С. 77-89. б 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49 В концепции Мизеса вероятность теряет свой характер объективной числовой характеристики некоторых реальных явлений. Действительно, до производства бесконечного числа испытаний нельзя даже говорить про вероятность того или иного события, а поскольку этого нельзя осуществить, то и вообще мы лишены возможности в каких-либо условиях использовать теорию вероятностей. Следует заметить при этом, что, требуя от частот сходимости к вероятности, Мизес выставляет такое требование, какого не предьявляют ни в одной области естествознания. Ведь в самом деле, никто из нас не откажется от понятия температуры только потому, что мы не можем произвести бесконечного числа измерений и не можем проверить, будут ли результаты этих испытаний стремиться к пределу, если бы мы их все же стали производить.
Или не станем же мы говорить, что какой-либо предмет не имеет размеров только потому„что последовательность наших измерений не стремиться к пределу. Более того, следуя за Мизесом, мы вообще не можем говорить о температуре тела или о существовании размеров предмета до тех пор, пока не появится мыслящий субъект, не начнет производить измерения и не убедится в том, что их результаты стремятся к пределу. Как классическое определение вероятности, так и статистическое, были впервые четко сформулированы Я. Бернулли.
5 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей Теория вероятностей долгое время представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественна, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
