Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Решение. Обозначим через я(1) вероятность того, что лицо А доживет до возраста 1, и вычислим я(1+ Ы). Очевидно, что из допущений, принятых в задаче, вытекает равенство я'(1+ Ы) = к(1)т(1+А!;1), где я(! + Аь1; 1) обозначает вероятность дожить до возраста 1+ Ж, если лицо А уже дожило ло возраста 1. В соответствии с первым и вторым допущениями я(1+ зч1;1) = 1 — р(1,8+ Ь1) = 1 — а(1)хдй — о(дь1) поэтому зг(Е+ Ь1) = я(1)[1 — а(Е)ЬЮ вЂ” о(Ь1)]. Отсюда находим, что я(1) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: — = — а(1)я(1).
Ая(1) А! Решением этого уравнения при учете третьего условия задачи будет функция о Вероятность умереть прежде, чем будет достигнут возраст 1, таким образом, равна з ~ — О)=~- з(-!' )*)о[. о При составлении таблиц смертности для взрослого населения нередко пользуются формулой Макегама, согласно которой а(1) = а+)Зехр(71), постоянные а,)у, 7 — положительны )з).
При выводе этой формулы исходили из допущения, что взрослый человек может умереть от причин, не зависящих от возраста, и причин, зависящих от возраста, причем вероятность смерти растет с увеличением возраста в геометрической прогрессии. Прн таком дополнительном предположении зг(1) = ехр — а! — — (ехр (71) — 1) )б 7 Их значение определяется условиями, в которых находится группа лии, поллежагдих 17) изучению, н прежде всего сопиальными условиями.
67 О 8. Примеры Пример 4. В современной ядерной физике для измерения интенсивности источника частиц используются счетчики Гейгера. Частица, попавшая в счетчик, вызывает в нем разряд, длящийся время т, в протяжение которого счетчик не регистрирует частицы, попадающие в счетчик. Найти вероятность того, что счетчик сосчитает все частицы, попавшие в него за время С, если выполняются следующие условия: !) вероятность того, что за промежуток времени длительности С в счетчик попадуг Сг частиц, не зависит от того, сколько частиц попало в счетчик до начала этого промежутка; 2) вероятность того, что за промежуток времени от Со до Со+ С в счетчик попадет й частиц, задается формулой 'в! (аС)ь ехр ( — аС) «а(Со,Со+С) = Р(А(С+М)) = Р(А(С))Р(Во(гХС))+Р(А(С вЂ” т))Р(Во(т))Р(В~(сИ))+о(ЬС), анри 0<С<т Р(А(С + г5 С)) = Р(А(С))Р(Во(ЬС)) + Р(Во(С)) + Р(В~(С! С)) + о(г5С).
Обозначим для краткости записи я(С) = Р(А(С)); тогда на основании второго и третьего условий залачи при 0 < С < т я(С + ЬС) = тг(С) ехр ( — ай!) + ехр (-аСьС)аМ ехр (-аС) + о(М) и при С>т я(С+ СаС) = я(С) ехр ( — аСаС) + я(С вЂ” т) ехр (-аЬС)аМ ехр ( — ат) + о(СаС). Путем перехода к пределу при гаС -э 0 находим, что при 0 < С < т имеет место равенство йг(С) — = -ая(С) + а ехр (-аС), гСС а при С > т — равенство — = -а(тг(С) — тг(С вЂ” т) ехр (-ат)].
йг(С) г(С (5) М! Помпее мы выясним, почему в этом примере и в примере 3 прельиугпего параграфа мы считали, что (вг) ехр(-вЦ Ра = где а — положительная постоянная; 3) т — постоянная величина. Решение. Обозначим через А(С) — событие, состоящее в том, что все попавшие за время С в счетчик частицы были сосчитаны; через Ва(С)— событие, состоящее в том, что за время С в счетчик попало Со частиц.
В силу первого условия задачи при С > т 68 Глава 1. Случайные события и их вероятности Из уравнения (4) находим, что при 0 < С < т я(С) = ехр ( — аЦ(с+ аС). Из условия я(0) = ! определяем постоянную с. Окончательно при 0 < С < т я(С) = ехр( — аЦ(1+аЦ. (6) При т < С < 2т вероятность я(С) определяется из уравнения бя(С) АС = — а[я(С) — я(С вЂ” т) ехр ( — ат)! = = — а[я(С) — ехр (-а(С вЂ” т))( ! + а(С вЂ” т)) ехр ( — ат) [ = = -а[я(С) — ехр ( — а(С))(1+ а(С вЂ” т))[. Решение этого уравнения дает нам: а'(С вЂ” т)з '! я(С) = ехр (-ат) с~ + а!+ 2! Постоянное с~ может быть найдено из того, что согласно (6) я(т) = ехр ( — ат)(1+ ат).
Таким образом, с~ = ! и для т <С < 2т аз(С вЂ” т)2 ! я(С) = ехр (-аЦ 1+ аС + 2! Методом полной индукции можно доказать, что для (и — 1)т < С < пт имеет место равенство я(С) = ехр ( — аЦ ~~~ я=а Хпражнения А, В, С вЂ” случайные события. 1. Каков смысл равенств я) АВС=А; б) А+В+сжАт 2. Упростить выражения я) (А+В)(В+С); б) (А+В)(А+ В); в) (А+В)(А+В)(А+В). Упражнения Е9 3. Доказать равенства а) АВ=А+В; б) А+В = АВ; ) тт 4 +...'тт: - ха ... А.: г) А)Аз... Ак = А) + Аз +... + Ац.
4. Четырехтомное сочинение распело:кено на полке в случайном порядке. Чему равна вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо? 5. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наудачу последовательно вынимают4я три карточки, и вынутые таким образом нифры ставятся слева направо. Чему равна вероятность того, что полученное таким образом трехзначное число окажется четным? б. В партии, состоящей из ?т изделий, имеются М бракованных. Наудачу выбираю гся н изделий из этой партии (п < 2)Г). Чему равна вероятность того, что среди них окажутся т бракованных (пз < М)? 7. Технический контроль проверяет изделия в партии, состоящей из пз изделий первою сорта и и изделий второго сорта.
Проверка первых Ь изделий, выбранных из партии наудачу, показала, что все они второго сорта (6 < и). Чему равна вероятность того, что среди следуюших двух наудачу выбранных из числа непроверенных изделий по меньшей мере олно окажется также второго сорта? 8. Пользуясь теоретико-вероятностными сообра:кениями, доказать тождество 21à — и (2!à — п)(йà — и — 1) (Ьà — и)... 2 1 Ф 1+ — + +.
° .+ Ф вЂ” ! (1)à — 1)(Ф вЂ” 2) (1)? — 1)... (и+!)и и Указание. Из урны, содержащей ?)Г шаров и среди них и белых, наудачу вынимаются шары без возврашения. Найти вероятность того, что рано или поздно натолкнутся на белый шар. 9. Из яшика, содержащего гп белых и и черных шаров (пз ) и), вынимают наудачу один шар эа другим. Чему равна вероятность того, что наступит момент, когда число вынутых черных шаров будет равно числу вынутых белых? 18.
Некто написал п адресатам письма, в каждый конверт вяожил по одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте один из и адресов. Чему равна вероятность того, что хотя бы одно письмо попало по назначению? 11. В урне имеется и билетов с номерами от! до и. Билеты вынимаются наудачу по одному (без возрашения). Чему равна вероятность того, что хотя бы при одном вынимании номер вынугого билета совпадает с номером произведенного испытания? 12. Из урны, содержашей и белых и и черных шаров, наудачу вынимается четное число шаров (асе различные способы вынуть четное число шаров, независимо от их числа, считаются равновероятными).
Найти вероятность того, что среди вынутых шаров окажется одинаковое число черных и белых. 13. Задача кавалера де Мере. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы иа одной получить! или при 24 бросаниях двух костей хотя бы раз получить две единины? Глава 1. Случайные события и ик вероятности 14. На отрезок (О, д) наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, равных расстояниям от точки 0 до точек падения, можно составить треугольник. 15.
Стержень длины 1 разломан в двух наудачу выбранных точках. Чему равна вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник? 16. На отрезок АВ длины а наудачу бросается точка. На отрезок ВС длины 6 также наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что из отрезков: 1) от точки А до первой брошенной точки, 2) мелшу двумя брошенными точками, 3) от второй брошенной точки до точки С можно составить треугольник? 17. В сфере радиуса Л случайно и независимо друг от друга разбросано зт точек.
а) Чему равна вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не менее т? б) К чему стремится вероятность, найденная в вопросе а), если Д -г со Ф 4 и — ь -яЛ? Яз 3 Примечание. Задача заимствована из звездной астрономии: в окрестности Солнца Л ш 0,0063, если Д измерено в парсеках. 18. События А„А„..., А„независимы; Р(А„) = рь. Найти вероятность а) появления хотя бы одного из этих событий, б) непоявления всех этих событий, в) появления точно одного (безразлично какого) события. 19. Доказать, что если события А и В несовместимы, Р(А) > 0 и Р(В) > О, то события А и В зависимы. 20. Пусть А„А„..., А„— случайные события.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
