Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Лля этого достаточно заметить, что в схеме Бернулли й = 2, р = р!, Ч=рг =1 — Р. Интегральная предельная теорема может быть, таким образом, сформулирована иначе, а именно: В условиях интегральной предельной теоремы при и -+ со 912. Применения интегральной теоремы Муавра — Лапласа 89 При lс = 3 формула (4) принимает следующий вил: + ~/ г / ехр ( Жх! хг) бх!г!хг 'у' (2гг)грз l где Рг = ! — Р~ -Рг гт + Р! ! г / РЙ г ъ/РЯ~РгЧг х,хг ж Простой подсчет показывает, что Рг = ! Р~ Рг = Ч~Чг — Р~Рг. поэтому ! / г г ГР1Р Я(хп хг) =,, 1 х1 + хг + 2~! — х~хг ! —— Ч~ Чг ВЧг 9 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа В качестве первого приложения интегральной теоремы Муавра — Лапласа мы оценим вероятность неравенства (- — р(<е, где е > Π— постоянное. Имеем Р— -р<с =Р -е — «е и, значит, в силу интегральной теоремы Муавра — Лапласа Итак, каково бы ни было постоянное е > О, вероятность неравенства Р— — Р < е стремится к единице.
и Обнаруженный нами факт впервые найден Я. Бернулли; он носит название закона больших чисел или глеореми Бернулли. Теорема Бернулли и ее многочисленные обобщения являются одними из важнейших теорем теории вероятностей. Через них именно теория соприкасается с практикой, именно в них заложен фундамент успехов применения теории ВО Глава 2. Последовательность независимых испытаний вероятностей к различным проблемам естествознания и техники. Об этом будет подробнее сказано в главе, посвященной закону больших чисел; там же мы дадим доказательство теоремы Бернулли более простым методом, отличным как от только что изложенного, так и от употребленного Я.
Бернулли. Мы рассмотрим теперь типичные задачи, приводящие к теореме Муавра — Лапласа. Производится и независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события А равна р. Б Спрашивается, чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от вероятности р ие более чем иа а? Эта вероятность равна Р— — р<а =Р— а — « а «л/л/р/ «т/л/рд =т-. 7 -%'= — ' 7-(-й".
-«~/л/рг П. Какое наименьшее число испытаний нужно произвести для того, чтобы с вероятностью, ие меньшей /з, частота отклонялась от вероятности ие больше чем иа а. Нам нужно определить и из неравенства Р— — р <а >/3. Вероятность, фигурирующую в левой части неравенства, мы заменяем приближенно по теореме Муавра — Лапласа интегралом.
Для определения и в результате получается неравенство «/л/ — ' 7 -(-й" ° о ПБ При данной вероятности /у и числе испытаний и требуется определить границу возможных изменений ~ — — р~. Иными словами, 1/4 и зная Д и и, нужно найти а, для которого Р— — р <а =/з. Применение интегральной теоремы Муавра — Лапласа дает иам для определения а уравнение «т/л/рд — ' 7-(-й"= о б 12.
Применения интегральной теоремы 7о7уаара — Палласа 91 Численное решение всех рассмотренных нами задач требует умения вычислять значения интеграла Ф(х) = — / ехр ~ — — ) з(х Л-1 '( 2) о при любых значениях х и решать обратную задачу — по величине интеграла Ф(х) вычислять соответствующее значение аргумента х. Для этих расчетов требуются специальные таблицы, так как интеграл (1) при 0 < х < со в конечном виде через элементарные функции не выражается.
Такие таблицы составлены и приводятся в конце настоящей книги. Рис. 12 дает наглядное представление о функции Ф(х). При помощи таблицы значений функции Ф(х) можно вычислять по формуле Х(а, Ь) = = Ф(Ь) — Ф(а) также значение интеграла о ,У(а,Ь) = — / ехр ~ — — ) Иж з/2~г,l ~ 2 ) Таблица функции Ф(х) составлена толь- ) ко лля положительных х; для отрицательных х функция Ф(х) определяется из равенства ф( — х) = — ф(х).
Мы теперь в состоянии довести до конца Рис. 12 решение примера 2 э 9. Пример 1. В примере 2 Э 9 нам нужно было найти вероятность Р = ~~з Р(р = пз), где сумма распространена на те значения ш, для которых !пз — 2,7 10 ~) > 2,7 ° 10', при условии, что общее число испытаний п = 5,4. 10зз и р =!/2. Так как Р=Р > ' шР >233 10 %Рз 5,4 10 1~!4з ! ит в силу теоремы Муавра — Лапласа з,зз ~о Так как 92 Глава 2.
Последовательность независимых ислытвний то 1 Р <, ехр ( — 2,7 100) < 1О /глл. 10« О том, как мала эта вероятность, можно судить по следующему сравнению. Предположим, что шар радиуса 6 000 км наполнен белым песком, в который попала одна черная песчинка. Объем песчинки равен ! мм'. Наудачу из всей этой массы песчинок берется одна; чему равна вероятность того, что она будет черного цвета? Легко посчитать, что объем шара радиуса б000 км немногим меньше 1О мм« и, следовательно, вероятность извлечь черную песчинку немногим больше 10 «а.
Пример 2 В примере 1 99 нам нужно было найти вероятность того, что число бракованных изделий окажется не больше семидесяти, если вероятность для каждого изделия быть бракованным равна р = 0,005 и число изделий равно 10000. По только что доказанной теореме эта вероятность равна Р(р <70) = Р— « — 50 р — пр 20 «(49,73,/пру т/4у,?5 2.84 =9( — 7894 4788) —, / 9( — )ь -т,ау = Ф(2,84) — Ф( — 7,09) = Ф(2,84) + Ф(7,09) = 0,9975.
Значения функции Ф(х) при х = 7,09 в таблицах нет, мы заменили его половиной, совершив при этом ошибку, меньшую 1О 'о. Естественно, что в примерах настоящего и предыдущего параграфов, равно как и в любых других зааачах, относящихся к определению вероятностей Р„(п«) при каких-либо конечных значениях тп и и по асимптотическим формулам Муавра — Лапласа требуется оценка совершаемой при такой замене ошибки. В течение очень долгого времени теоремы Муавра — Лапласа применялись к решению подобного рода задач без сколько-нибудь удовлетворительной оценки остаточного члена. Создалась чисто эмпирическая уверенность, что при п порядка нескольких сотен или еще большем, а также при р, не слишком близких к 0 или 1, употребление теорем Муавра — Лапласа приводит к удовлетворительным результатам. В настоящее время существуют достаточно хорошие оценки погрешностей, совершаемых при поль«овации асимптотической формулой Муавра — Лапласа «1.
Мы остановимся еше на обобщении теоремы Бернулли на случай обшей схемы последовательности независимых испытаний. Пусть в каждом испытании возможны Й исходов, вероятность каждого из них соответственно равна рир«,..., рь и рн р«,..., рь — числа появлений каждою ««См., например, иитироааниую на е. 82 работу С. Н. Бернштеана. 93 Ч 13. Теорема Пуассона исхода в последовательности и независимых испытаний. Определим ве- роятиость одновременного осуществления иеравеиств р~ < еы т.е. неравенств рг — — рг < аг,", — -ра < са (2) Иа (х~) ( а~ т —, (хг! ( ага —, ..., (ха( ( сач Ч Р~Ч~ У РгЧг У РьЧа Последнее из этих иеравеиств, собственно, является следствием преды- дущих, так как согласно (2) Ч11 первые зс — 1 из неравенств (2) дают оценку я-1 я-1 (3) Согласно (4) Ч 11 вероятность первых !с-1 неравенств (2) (а следовательно, также неравенства (3)) имеет своим пределом при и -+ оо интеграл з( ...з( ехр ~ — -()(хп...,хя ~) г(х,т(хг "з(хь-~ = 1.
Ч~Чг" Чя-~ Т Т ( ! (2.)"- 1 " ./ 513. Теорема Пуассона Еп, Егы Егг, Езы Езг, Езз, Езы Епг, Еяз, °" ° Езя Ч Или также при малых значениях д, ио очевидно, что зааачи разыскания асимптотических формул для Ря(пз! при малых значениях р или а сводятся одна к дрпоа. Мы видели при доказательстве локальной теоремы Муавра, что асимптотическое представление вероятности Р„(тп) посредством функг1 ции — ехр ~- — ) действует тем хуже, чем больше вероятность р з/2я 1 2 ) отличается от йоловйиы, т.
е. чем меньшие значения р или Ч приходится рассматривать, и зто представление отказывается служить при р = О, Ч = 1, а также при р = 1, Ч = О. Однако значительный круг задач связан с необходимостью вычисления вероятностей Ря(пз) именно при малых значениях р 4!. Для того чтобы в атом случае теорема Муавра дала результат с незначительной ошибкой, необходимо, чтобы число и испытаний было очень велико. Возникает, таким образом, задача разыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для случая малых р. Такая формула была найдена Пуассоном.
Рассмотрим последовательность серий 94 Глава 2. Последовательность независимых испытаний где а„= пр„. Доказательство. Очевидно, что (2) Пусть ш фиксировано. Выберем произвольно е > О. Тогда можно выбрать В = В(е) столь большим, чтобы при а > В было ат(11е — ехр ~--а) < —.
ш! ( 2) 2 Рассмотрим сначала те номера и, лля которых а„> В. Для этих и, по неравенству 1 — х < ехр (-а), О < х < 1: ае е Р„(ш) < —, ехр ~ — а„) < — при и > 2ш, —, ехр (-а„) < —. ш! ( и ) 2 ш! Поэтому для указанных и а„ е Р„(тл) — —" ехр(-а„) < — + — = е. ш! 2 2 Рассмотрим теперь те номера и, для которых а„< В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
