Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отметим, что если пр — е < О, то Р„(0) > Р„(1) »... Р„(п), а если пр — д = О, то Р„(0) = Р„(1) > Р„(2) »... Р„(п). В дальнейшем мы увидим, что при больших значениях п все вероятности Р„(т) становятся близкими к нулю, но только для т, близких к вероятнейшему значению тш вероятности Р„(тп) сколько-нибудь заметно отличаются от нуля. Этот факт впоследствии будет доказан нами, а сейчас проиллюстрируем сказанное числовым примером.
Пример 3. Пусть и = 50, р = 1/3. Вероятнейшнх значений два: пга = пр — а = 16 и та + 1 = 17. Значения вероятностей Р„(тп) с точностью до четвертого десятичного знака представлены в табл. 7. Таблица Т Р„(тп) Р„(т) Р„(т) Р„(т) 0,1080 0,0910 0,0704 0,0503 0,0332 0,0202 0,0113 0,0059 0,0028 0,0012 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 25 26 27 28 29 30 >30 11 12 13 14 15 16 17 !8 !9 20 21 22 23 24 <5 5 6 7 8 9 !О 0,0000 0,000! 0,0004 0,0012 0,0033 0,0077 0,0157 0,0287 0,0470 0,0679 0,0879 0,1077 0,1178 О,1!78 В 10. Локальная предельная теорема При рассмотрении числовых примеров предыдущего параграфа было замечено, что при больших значениях п и тп вычисление вероятностей Р„(пз) превращается в технически сложную задачу.
Это обстоятельство было отмечено в ряде работ математиков начала ХУП! века, посвященных демографическим проблемам. Возникла необходимость 76 Глава 2. Последовательность независимых испытаний 1 ( 1 ч/йРг7Р„(пт): — ехР 4 — -х ~ -ь 1 ч/2й. ( 2 равномерно для всех пз, для которых уи — ир х=х находится в каком-либо конечном интервале. (2) Доказагвльсгзо.
Приводимое нами доказательство опирается на известную из курса математического анализа формулу Стирлинга з! = ч72язз' ехр ( — з) ехр (В,), в которой остаточный показатель б, удовлетворяет неравенству 1 Щ < —. 12з Заметим, что равенство (2) может быть записано в виде ш = ир+ хч/вру.
(2') Отсюда следует, что и — тп = иа — хт/йрд. Последние равенства показывают, что если х остаегся в каком-либо ограниченном отрезке, то числа пг и и — т возрастают до бесконечности вместе с и. После этого замечания мы можем использовать формулу Стирлинга. Ее применение дает нам т!(и — пь)! — ехр (-б) — р — а Эту теорему сейчас принято называть локальной теоремой Муавра — Лапласа, ио восстанавливая историческую справедливость, назовем ее теоремой Муавра !см. с. 402). Ь в асимптотичеких формулах как для Р„(пь), так и для 2,' Р„(тп).
Эта ю=а задача была исчерпывающе решена Абрахамом де Муавром (1667-1754), французским математиком, жившим в Англии. Позднее неоднократно две замечательные его теоремы, к формулировке и доказательству которых мы и перейдем, находили применения и широкие обобщения. Первая из них получила наименование локальной предельной теоремы. Локальная теорема Муавра ').
Если вероятность наступления некоторого события в и независимых испытаниях постоянна и равна р (О < р < 1), то вероятность Ри(ш) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно пь раз, удовлетворяет при и -~ со соотноьтению 77 О 1О. Локальная предельная теорема где 1/1 ! ! в=в„-в„-в„„< — ~ — + — + 12 1,п гп п — т,Г Отсюда мы видим, что, каков бы ни был отрезок о < х < Ь, величина д равномерно относительно х в этом отрезке стремится к нулю при п -ь со. Следовательно, множитель ехр( — д) при том же условии равномерно стремится к единипе.
Рассмотрим теперь величину 1пАп =!и — р — о = — (пР+х /йРд) 1п 1+ хз! — ) — (пД вЂ” хт/йРд) 1и 1 1 — хз! — ) . / ~р! 'у' пр ) пр В условиях теоремы величины ! — и ! — при достаточно больу пр ~/ по ших п могут быть сделаны как угодно малыми, потому можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд. Ограничившись двумя первыми членами, находим хз /! Несложные подсчеты показывают, что 1п А = — — + О ~ — ) и рав- номерно относительно п в любом конечном отрезке х х' ! А„: ехр [- — ~ -ь 1 (п -+ оо). Далее, /йрд -ь 1 равномерно в каждом конечном т(п — т) отрезке х. Приведенные подсчеты показывают теорему. По сушеству теми же подсчетами можно доказать аналогичную локальную теорему и для полиномиального распределения.
Локальная теорема. Если вероятности рпрм..., рь появления соответственно событий А!1'1, Аз'1,..., А"! в в-м испытании не зависят от номера испытания и отличны от О и от 1 (О < р! < 1, ! = 1,2,...,Й), то вероятность Ри(гпптм °...ть) того, что при п независимых испытаниях события А; ! (! = 1, 2,..., !г), появятся 78 Глава 2.
Последовательность независимых испытаний гп; раз (т! + т! +... + т» = и), удовлетворяет соогнношеннго ехр — — ~ а!к; г"='в! ьЬ, ..., >:, „„„'=' !. (!)РР-Р п»г — пр! Равномерно для всех т; (! = 1, 2,..., lс), для которых х! = тгйРг9! находягнся в произвольных конечных интервалах а! < х! < !Л, а 9! = 1 — р;. А » Из равенства 2 т; = и вытекает соотношение 2,эгт/йрг9! = О, г=! !=! которое позволяет одно из х! выразить через остальные. Заметим вдо» банок, что 2; р; = 1.
При 7» = 2 из этой теоремы, как частный случай, а=! получается теорема Муавра. Пример 1. В примере 1 предыдушего параграфа нам нужно было определить Р„(т) при и = 10 000, т = 40, р = 0,005. По только что доказанной теореме имеем: Лля нашего примера т/йрд = Следовательно, гп — пр = х/49,75 = 7„05, — 1,42. з/йрд 1 Г 1,42'\ Р„(т) ехр ~- — ').
7,05зl2зг ( 2 ) Функция Г х'1 уг(х) = — ехр с~ — — ) —,/2я 1 2) табулирована; краткая таблица значений эюй функции приведена в конце книги. По этой таблице находим, что 0,1456 Р„(т) = 0,00206. 7,05 Точные подсчеты без использования теоремы Муавра дают нам Рп(т) 0,00197.
Для иллюстрации характера приближений, даваемых теоремой Муавра, а так же для геометрического пояснения проделанных при ее доказательстве аналитических преобразований, мы рассмотрим численный пример. 79 б 10. Локальная предельная теорема Таблица 0 Таблица 0 я=25 Р„(гп) ,/прдР„(т) р(х) Р„(т) ,/прдР„(т) р(х) — 2,5 -2,0 -1,5 — 1,0 -0,5 0,0 0,5 1,О 0,0037 0,0236 0,0708 0,1358 0,1867 0,1960 О,!633 0,1108 0,0075 0,0472 О,!417 0,2715 0,3734 0,3920 0,3267 0,2217 0,0175 0,0540 0,1295 0,2420 0,3521 0,3989 0,3521 0,2420 8 9 !О !1 !2 13 14 >14 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 >4,5 0,0623 0,0294 0,0118 0,0040 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 0,1247 0,0589 0,0236 0,0080 0,0023 0,0006 0,0000 0,0000 0,1295 0,0540 0,0175 0,0044 0,0009 0,000! 0,0000 0,0000 Пусть вероятность р равна 0,2.
В табл. 8 — 11 собраны значения гп, гп — пр х= , вероятностей Р„(т), величин,/йрдР„(т), а также функции ,/йрд ' 1 ( х2) (в(х) = — ехр ~ — — ~ с точностью до четвертого десятичного знака т/2~г ( 2 ) соответственно для числа испытаний и = 4, 25, 100, 400. На рис. 10 а ординаты изображают значения вероятностей Р„(т) при различных целочисленных значениях абсциссы т. По рисунку видно, что с увеличением и величины Р„(гп) равномерно убывают.
Для того, чтобы на рисунке точки [т, Р„(т)] уже для рассматриваемых значений и не слились с осью абсцисс, мы выберем резко различные масштабы по осям координат. Рассмотрение вместо абсцисс гп и ординат Р„(гл) абсцисс х„= гп — пр и ординат р„(т) =,/йрдР„(т) означает !) перенос начала 37БРд координат в точку (пр, О), находящуюся вблизи от максимальной ординаты Р„(т), 2) увеличение единицы масштаба по оси абсцисс в з/йрд раз (иными словами, сжатие графика по оси абсцисс в /йрд раз), 3) уменьшение единицы масштаба в /йрд драз (иными словами, растяжение графика по оси ординат в /йрд раз). На рис.106,в,г изображены кривая р = р(х) и преобразованные только что описанным способом точки [т, Р„(т)], т.е.
точки [х„, р„(т)]. Мы видим, что уже при и = 25 точки [х„, у„(т)] сливаются на графике вг Глава 2. Последовательность нвзавпспмых испытаний с соответствуюшими точками кривой у = «р(х). Это совпадение становится еше лучше при больших чем 25 значениях и. Чтобы получить наглядное представление о том, в какой мере можно пользоваться асимптотической формулой Муавра при конечных из), т.е.
заменять биномиальный закон при вычислении вероятностей Р„(тп) функцией р = зр(х), приведем пример. Для простоты рассмотрим случай р = д = 1/2 и возьмем лишь те и, для которых возможно значение х„ш = 1; такими могут быть, например, и = 25, 100, 400, 1!56. Именно лля них х„ш = 1 при ш =!5, 55, 210, 595. хйш Положим для краткости Р„(пз) = Р„и ехр 4 — — )у = Д„ х/2~горд ( 2 з при р = д = 1/2 и х„= 1. Таблица т2 Согласно локальной теореме Муавра — Лапласа, отношение Р„/Я„ должно стремиться к единице, когда и ь оо.
Результаты вычислений при названных выше значениях и приведены в табл. 12. 911. Интегральная предельная теорема Только что выведенную локальную предельную теорему мы используем для вывода другого предельного соотношения теории вероятностей— интегральной предельной теоремы. Изложение начнем с простейшего частного случая этой теоремы — интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если р есть число наступлений событий в и независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р, причем 0 < р < 1, то равномерно относительно а и Ь ( — со < а < Ь < +со) при и -ь оо имеет место соотношение ь л( с" т«ь) )' .«(-*— ,)«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
