Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Доказать формулу Р( А;~ = ~~~ Р(А;) — ~~~ Р(А,Аг) + !=! 1<~<3<» + ~ Р(А;А1Аз) —... + (-1)" 'Р(А|Аз... Ап). 1кг<1<ь<п Посредством этой формулы решить задачи 1О и 11. 21. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент 1 = 0 столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента 1, испытывает столкновение в промежуток времени между 1 и 1+ Ы, равна ЛзИ+ о(гЛ1). Найти вероятность того, что время свободного пробега (т. е.
время между двумя соседними столкновениями) будет больше 1. 22. Считая, что при размножении бактерий делением (на две бактерии) вероятность бактерии разделиться за промежуток времени Ы равна агЛ1+ о(Ж) и не зависит от числа предшествуюших делений, а также от числа имеюшихся бактерий, найти вероятность того, что если в момент 0 была 1 бактерия, то в момент 1 окажется з бактерий. Глава 2 Последовательность независимых испытаний В9. Вводные замечания Проведение различного рода испытаний и экспериментов является непременным условием развития науки и прогресса прикладных областей деятельности.
Прежде чем внести в регистр новый сорт пшеницы, необходимо произвести многочисленные испытания, которые должны дать убедительные данные о тех или иных преимуществах нового сорта по сравнению с прежними: повышенная урожайность, устойчивость к погодным условиям, более короткие сроки вегетации, устойчивость к заболеваниям и пр. Перед тем как ввести в массовое производство новый тип телевизора (вычислительноИ машины, станка, самолета и т.д.) производятся представительные испытания на его безотказность в работе, простоту наладки, приспособленность к ремонту, долговечность.
Новые методы преподавания и измененное содержание обучения также требуют длительных и представительных наблюдений и экспериментов, которые могли бы продемонстрировать их преимушества. То же самое можно сказать и о проблемах медицины, экономики, организации производства, социальных исследований. Все новое, прежде чем стать достоянием практики, должно быть предварительно тщательно проверено и подтверждено испытаниями, экспериментами и наблюдениями. Приходится сталкиваться и с другой ситуацией, когда производятся систематические наблюдения за явлениями, происходящими независимо от исследователя.
Так, для примера, метеорологи производят наблюдения за числом облачных дней, температурой воздуха в определенные часы суток, его влажностью и пр. Точно так же организатор производства наблюдает за производительностью труда при различных формах его организации. В научноИ и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последукицих.
Очень важен простейший тип таких испытаниИ, когда в каждом из испытаний некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, и эта вероятность остается одной и той же, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний. Этот тип испытаний был впервые исследован знаменитым швейцарским ученым Якобом Бернулли (1654-!705) 72 Глава 2. Последовательность незаансиыык испытаний в произведении «Агз соп)ес!апб!» (Искусство предположений), изданном после смерти автора в 1713 г., и потому получил наименование схемы Бернулли.
Подробное исследование таких последовательностей испытаний заслуживает внимания как в силу исключительного их значения в теории вероятностей и в приложениях, так и в силу выявившейся в процессе развития теории вероятностей возможности обобщения тех закономерностей, которые впервые были открыты при изучении схемы последовательных независимых испытаний. Многие факты, подмеченные иа схеме Бернулли, впоследствии служили путеводной нитью при изучении более сложных схем. Сделанное замечание относится как к прошлому, так и к современному развитию теории вероятностей.
Мы убедимся в этом на примерах закона больших чисел и теоремы Муавра — Лапласа. Рассмотрим теперь следующий вопрос: что следует понимать в схеме Бернулли под злемеитариым событием? Очевидно, что это последовательность наступлений и иенаступлеиий интересующего иас события А в последовательных испытаниях. Сопоставим наступлению события А единицу, а иеиаступлеиию — нуль.
Тогда элементарным событием для и испытаний будет последовательность из и нулей и единиц. Например, если и = 3, то все возможные элементарные события записываются следующими тройками названных иами символов: (О, О, 0), (О, О, 1), (О, 1, 0), (1, О, 0), (О, 1, 1), (1, 1, 0), (1, О, 1), (1, 1, 1).
Смысл каждой из написанных троек чисел 0 и 1 ясен. Первая из перечисленных троек означает, чю во всех трех испытаниях событие А ие наступило. Вторая тройка означает, что в первых двух испытаниях событие А ие наступило, а в третьем— произошло. Легко понять, что множество всех элементарных событий при и испытаниях состоит из 2" элементов. Теперь мы должны ввести вероятностную меру иа множестве элементарных событий.
Это делается однозначно. Действительно, вероятность наступления события А в испытании с номером я равна р, а его иенаступления — о = ! — р. Наступление или иеиаступлеиие события А в испытаниях с различными номерами для схемы Бернулли независимы. Значит, в силу теоремы умножения вероятностей, вероятность того, что событие А наступит в т определенных испытаниях (например, в испытаниях с номерами зи вз,..., в ), а при остальных и — ги ие наступит, равна р"'д" ~. Эта вероятность ие зависит от того, как расположены номера вц зз "., зм. Простейшая задача, отиосящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности Р„(пг) того, что в и испытаниях событие А произойдет гп раз (О < гп < и). Мы только что нашли, что вероятность того, что событие А наступит в испытаниях с определенными гп номерами, а в остальных ие наступит, равна р"'д" "'.
По теореме сложения искомая вероятность равна сумме только чю вычисленных вероятностей лля всех различных способов размещения пз появлений события А и и — гп иепоявлеиий среди и испытаний. Число таких способов известно из теории сочетаний, оио и! равно С'„" = и, следовательно, пз1(п — гп)! 73 б 9. Вводные замвчання Р„(га) = С„'"р д" (гп = О, 1, 2,..., п). (1) Полученная формула носит наименование формулы Бернулли. Легко заметить, что вероятность Р„(га) равна коэффициенту при х~ в разложении бинома (д+ рх)" по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей Р„(т) называют биномиальным законам распределения вероятностей. Лишь немного изменив проведенные рассуждения, легко обобщить полученный результат. А именно, если в каждом испытании может произойти одно и только одно из й событий АпА», ...,А», испытания независимы и в каждом из них событие А» происходит с вероятностью Р», то вероятность того, что в и независимых испытаниях появятся т~ событий Аы тз событий Аз, ..., т» событий А», равна п1 Ро(~И тз ° т») = Р~ Рз ° Р» (! ) т!1т21...
т»1 Легко также убедиться в том, что зта вероятность является коэффициентом пРи х, 'хз' ...х„' в Разложении полинома (Р~х~ +Ргхз+ ... +Р»х»)" по степеням хы хм..., х». Естественно, что вероятности (1') называются палинаыиальным распределением.
Полиномиальные распределения находят применения в естествознании, экономических задачах, инженерном деле. Так как все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, 2 раза, ..., п раз, то ясно, что ы=о Это соотношение может быть выведено и без учета теоретико-веро- ятностных соображений, поскольку по формуле бинома Ньютона ь ~~>, Р„(т) = (Р + а)" = 1" = 1. ы=о Имея в виду постановку общих задач, относящихся к схеме независи- мых испытаний, рассмотрим теперь числовые примеры. Встречающиеся в них расчеты мы не станем доводить до окончательного числового результата, поскольку эти подсчеты лучше оставить до того момента, когда будут подготовлены удобные и достаточно точные методы для их осуществления.
Пример 1. Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0,005. Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется а) равно 40, б) не более 70? В нашем примере п = 10000, р = 0,005, поэтому по формуле (1) находим: а) Рьоооо(40) = С4оо 0995»мо'0005»о 74 Глава 2. Последовательность независимых испытаний Вероятность того, что число бракованных изделий окажется не большим 70, равна сумме вероятностей числу бракованных изделий оказаться равным О, 1, 2,..., 70.
Таким образом, м 70 б) Р(Р < 70) = !". Р„(гп) = ~ Смею, 0,995юеае- . 0,005'". Пример 2 Имеются два сосуда А и В, каждый объемом в ! дмз. В каждом из них содержится по 2,7 !Оы молекул газа. Эти сосуды приведены в соприкосновение так, что между ними происходит свободный обмен молекулами, но нет общения с внешней средой.
Чему равна вероятность того, что по истечении некоторого времени в одном из сосудов число молекул будет отличаться от числа молекул в другом по меньшей мере на одну десятимиллиардную часть? Для каждой молекулы вероятность оказаться в определенном сосуде равна половине. Таким образом, как бы производится 5,4 !Оы испытаний, для каждого из которых вероятность попасть в сосуд А равна 0,5. Пусть р — число молекул, попавших в сосуд А, и, следовательно 5,4 10'з — р есть число молекул, попавших в сосуд В. Нам нужно определить вероятность того, что 5 4 ° 10ы р (5'4'10 р)~> ю 5'4'1О Иначе говоря, нужно найти вероятность Р = Р(~р — 2,7 10 ! > 2,7 10~ ). Согласно теореме сложения, Р = 2 Р„(т), где сумма распространена нате значения т, лля которых 1т — 2,7 !ОЙ!> 2,7 10'з.
Рассмотренные примеры показывают, что при решении реальных задач постоянно возникают задачи, требующие приближенного вычис- Ф пения сумм 2 Р„(т) дая заданных а и 1 при достаточно больших и. м=а Точно так же необходимы приближенные формулы для вычисления ве- роятностей Р„(т) при больших значениях т и и или же при малых т, но больших и. Эти задачи будут решены нами в ближайших парагра- фах. Сейчас же мы обратимся к установлению некоторых элементарных фактов, относящихся к изучению поведения Р„(т) как функции т. Для 0 < т < и, как легко подсчитать, Р„(гп + 1) и — т р Р„(т) т+1 д ' Отсюда следует, что Р„(т+1) > Р„(т), если (и — т)р > (т + 1)е, т.
е. если т < пр — е; Р„(т+ 1) = Р„(т), О 1О. Локальная предельная теорема если т = пр — д и, наконец, Р„(тп + 1) < Р„(тп) если т > пр — О. Мы видим, что вероятность Р„(тп) с увеличением тп сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте т убывает. При зтом, если пр- е является целым числом, то максимальное значение вероятность Р„(тп) принимает для двух значений т, именно для та — — пр — е и та = пр — я + 1 = пр + р. Если же пр — д не является целым числом, то максимального значения вероятность Р„(т) достигает при тп = тпю равном наименьшему целому числу, большему та. Число та называют вероямнейшии значением р. Мы видели, что если пр — д есть целое число, то р имеет лва вероятнейших значения: та и та = та+ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
