Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 12
Текст из файла (страница 12)
6, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте — число очков, выпавших на второй кости. Таблица 6 Общее число возможных случаев — 36, благоприятствуюших событию А — 5. Таким образом, безусловная вероятность Р(А) = 5/36.
Если событие В произошло, то осушествилась одна из 18 (а не 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна Р(А1В) = 5/18. Пример 2 Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (не- известно, какая карта была вынута вначале) и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первона- чально был вынут туз. бб Глава 1. Случайные события и их вероятности Обозначим через А событие, состоящее в появлении туза на втором месте, а через  — событие, состояшее в появлении туза на первом месте.
Ясно, что имеет место равенство А = АВ + АВ. событию А  — — АВ благоприятствует пз событий я (понятно, что г < я, г < пз). Если событие В произошло, то это озна- чает, что наступило одно из событий А, благоприятствующих В. При этом условии событию А благоприятствуют г и только г событий А, благоприятствующих АВ. Таким образом, г г/и Р(АВ) Р(А)В) = — = — = й !г/п Р(В) Точно также, если Р(А) > О,то Р(В)А) = Р(АВ) Понятно, что если В (соответственно А) есть невозможное событие, то равенство (1) (соответственно (1')) теряет смысл.
Заметим, что рассуждения, проведенные нами в примерах ! и 2, не являются доказательствами, а представляют только мотивировки опре- делений, данных равенствами (1) и (!'). При Р(А)Р(В) > О каждое из равенств (!), (1') эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой Р(АВ) = Р(А)Р(В~А) = Р(В)Р(А~В), (2) В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем: Р(А) = Р(АВ) + Р(АВ). При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36 35 (учитывая порядок!) случаев.
Из них благоприятствуюших событию АВ— 4 3 случая, а событию А — 32 ° 4 случая. Таким образом, 4 ° 3 32 ° 4 1 36 35 36.35 9 Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно, Р(А(В) = 3/35. Обшее решение задачи нахождения условной вероятности лля классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из п единственно возможных, несовместимых и равновероятных событий Ан Ам..., А„ б 7. Условная вероятность и гростейшне основные формулы 57 т.
е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, чта первое щюизашло. Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с Р(А) = О имеют место равенства Р(А1В) = О и Р(АВ) = О. Говорят, что событие А независима от события В, если имеет место равенство Р(А(В) = Р(А), (3) т.е. если наступление события В ие изменяет вероятности события А 111. Если событие А независимо от В, то в силу (2) имеет место равенство Р(А)Р(В1А) = Р(В)Р(А). Отсюда при Р(А) > О находим, что Р(В/А) = Р(В), (4) т.е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события А и В независимы, го Р(АВ) = Р(А) ° Р(В). Если независимость событий А и В определить посредством равеиства Р(АВ) = Р(А)Р(В), то это определение верно всегда, в том числе и тогда, когда Р(А) = О или Р(В) = О. Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и в ее приложениях.
В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящей книге, получена в предположении независимости тех или иных рассматриваемых событий. В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения для иих равенств (3) и (4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными иа опыте. Так, например, ясно, что выпадение герба иа одной монете ие изменяет вероятности появления герба (решки) иа другой монете, если только зти моменты во время бросания ие связаны между собой (например, жестко ие скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери ие изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у другой матери.
Эти события независимые. Мы обобщим теперь понятие независимости двух событий иа совокупность нескольких событий. ив Понятии условной вероятности и независимости, а также формулировка теоремм умножения даны А. Муавром в 1718 г. 58 Глава 1. Случайные события н нк вероятности События Вп Вм..., В, называются незввисимыми в совокупности, если для любого события Вр из их числа и произвольных В;„В;„..., В;, из их же числа и отличных от Вр (1„ф р и 1 < и < т) события Вр и Вп Вц ... Вь взаимно независимы.
В силу предыдущего, это определение эквивалентно следующему: при любых 1 < (~ < !з < ... < 1„< в и т (1 < т < в) Р(В, Вц... В; ) = Р(ВО )Р(ВО)... Р(В! ). Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я — в красный цвет (А), 2-я — в зеленый (В), 3-я— в синий (С) и 4-я — во все эти три цвета (АВС). Легко видеть, что вероятность грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, в своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет. Таким образом, Р(А) = 1/2.
Точно так же можно посчитать, что Р(В) = Р(С) = Р(А!В) = Р(В!С) = Р(С!А) = Р(В!А) = Р(С!В) = = Р(А1С) = 1/2. События А,В, С, таким образом, попарно независимы. Однако„ если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомо осуществилось и событие А, т.е. Р(А)ВС) = 1. Таким образом, события А, В, С в совокупности зависимы. Формула ( Р), которая в случае классического определения была нами выведена из определения условной вероятности, в случае аксиоматического определения вероятности будет взята нами в качестве определения. Таким образом, е общем случае при Р(А) > О ло определению Р(В1А) = Р(А) (В случае Р(А) = О условная вероятность Р(В1А) остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа. Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из и несовместимых событий Ан Ап..., А„.
Иными словами, положим, что в (5) О 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 59 где события ВА; и ВА с разными индексами з и 3 несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: я Р(В) = 1» Р(ВА;). »=1 Использовав теорему умножения, находим, что а Р(В) = ~~» Р(А;)Р(В(А;). В = А»В+АзВ+ АзВ. По формуле полной вероятности находим, что Р(В) = Р(А»)Р(В)А») + Р(Аз)Р(В~Аз) + Р(Аз)Р(В~Аз). Р(Аз) =— 2 5' 3 Р(В»Аз) = — . 4 Но ясно, что 2 Р(А») = —, 5' 2 Р(В1А») = — , 3' 1 Р(Аз) = —, 5' Р(В1Аз) = О, Таким образом, 2 2 1 2 3 17 Р(В) = — ° — + — ° О+ — ° — = —.
5 3 5 5 4 30 Пример 4. Известно, что вероятность поступления й вызовов на телефонную станцию за промежуток времени длительности 1 равна Рг(1с) (?г = О, 1, 2, ...). 'з» Формула полной вероятности широко использовалась математиками начала ХЧПД века, но впервые бьша соормулирована как основное предЛожение теории вероятностей П.лапласом лишь в копие ХЧН! века. Это равенство носит название формулы полной вероятности "З и играет основную роль во всей дальнейшей теории.
В качестве иллюстрации рассмотрим два примера. Пример 3. Имеется пять урн: 2 урны состава А» — по два белых шара и одному черному, 1 урна состава Аз — по 1О черных шаров, 2 урны состава Аз — по 3 белых шара и одному черному. Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)? Решение. Так как вынутый шар может быть только из урны 1-го, 2-го или 3-го состава, то ео Глава 1. Случайные события и их вероятности Считая, что появления какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми, найти вероятность поступления в вызовов за промежуток времени длительности 21. Решение.
Обозначим чеРез Аоо о„, событие, состоашее в лостУплении й вызовов за время от Ь до Ь+1. Очевидно, что мы имеем следуюшее равенство: з О з з О Ао.зг = Ао,»А»,н+" + Ао,зйкн, которое означает, что событие А' н можно рассматривать как сумму в+ ! несовместимых событий, состояших в том, что за первый промежуток времени длительности 1 поступает 4 вызовов, а за следуюший промежуток той же продолжительности поступает в — ( вызовов (( = О, 1,2,..., в).
По теореме сложения вероятностей Р(АО н) = ~~~ Р( 4о »А» зг). з=о По теореме умножения вероятностей для независимых событий Р(Ао,»А,зг) = Р(Ао,з)Р(А»,й). Таким образом, если положить Рн(в) = Р(.4о,зг) то Рн(в) = ~~» Р»(() ° Рг(в — (). (6) з=о Впоследствии мы увидим, что при некоторых весьма общих условиях (аз)о Р»Я = — ехр (-аг) (Ь = О, 1, 2...), уо! (7) где а — некоторая константа. Из формулы (6) мы находим, что Ргс(в) = ~» .
з, . = (аг)' ехр ( — 2а1) ~ (аг)' ехр ( — 2аг), ! з'=О з=о Но в. 1 ! в! 1, 2' (! + 1)з В(в — 1)! в! ~-~ г!(в — 4)! в! в! Поэтому (2аг)' ехр ( — 2аЦ в! Таким образом, если для нромежутка времени длительности 1 имеет место формула (7), то для промежутков времени, в два раза больших, и, как б?. Условнвя вероя тнасть и простейшие основные формулы 61 легко убелиться, лля любых кратных 1 промежутков времени характер формулы дпя вероятности сохраняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
