Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Развитие естествознания в начале ХХ столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта.
Дальнейшее же ее развитие должно строиться посредством дедукции из этих основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу». Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука — геометрия, абстрактная теория групп, теоретическая механика и т.д. 50 Глава 1. Случайные события и ик вероятности Впервые такая точка зрения была высказана и развита в 1917 г. советским математиком С.
Н. Берштейном. При этом С. Н. Верштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности. Имеется иной подход, предложенный А. Н. Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, а также с теорией множеств. Настоящая книга следует пути, предложенному Колмогоровым. Мы увидим, что аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистическою определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает в себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них.
На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания. Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является множество Й, элементы которого называются элементарными событиями. Наряду с Й рассматривается множество 3 подмножеств элементарных событий. Множество о называется алгеброй множеств, если выполнены следующие требования: 1) Й Е о, й1 Е о (й1 — пустое множество); 2) из того, что А Е 3, следует, что так же А Е 3; 3) из того, что А Е 3 и В Е $, следует, что АОВчп и АГ1Вче. Если дополнительно к перечисленным выполняется еше следующее тре- бование: 4) из того, что Ач Е 3 (при и = 1, 2,...), вытекает, что О А„е о и Г1 Аь е о, то множество 3 называется а-алгеброй. Элементы 3 называются случайными собыаияии. Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами.
В результате можно составить словарь переводов с языка теории множеств на язык теории вероятностей, приводимый нами в табл. 5. Теперь мы можем перейти к формулировке аксиом, определяющих вероятность. Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью. 56. Акспомвтическое построение теории вероапюстей 51 Таблица 6 Термины Обозначения теории вероятностей теории множеств Пространство элементар- ных событий, достоверное событие Множество, пространство Элемент множества Подмножество А, В Элементарное событие Случайное событие А, В А,В А+В = АОВ Объединение (сумма) мно- жеств А и В Сумма случайных собьпий А иВ АВ = А гз В Пересечение множеств А и В Произведение событий А иВ Дополнение мно:кества А Событие, противоположное дяя А А гВ Разность множеств А и В Пустое множество Разность собьпий А и В Невозможное событие АВ = АгзВ = З МножестваА иВ не пересекаются (не имеют общих элементов) События А и В несовмести- мы А=В Множества А и В равны А есть подмножество В События А и В равносильны Событие А влечет событие В А С В Аксиома 2.
Р(й) = Н Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события Ам Аз,..., А„попарно несовместимы, то Р(А, + Аз +... + А„) = Р(А,) + Р(Аз) +... + Р(А„). и аксиомы 3 мы заключаем, что Р(й) = Р(ю) + Р(й). Длв классического определения вероятности свойства, выраженные аксиомами 2 и 3, не нужно было постулировать, так как эти свойства вероятности были нами доказаны. Из сформулированных аксиом мы выведем несколько важных элементарных следствий.
Прежле всего, из очевидного равенства Глава 1. Случайные события и их вероятности Таким образом, 1. Вероятность невозможного события равна нулю. 2. Для любого события А Р(А) = 1 — Р(А) и!. 3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 < Р(А) < 1. 4. Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А) < Р(В). 5. Пусть А и  — два произвольных события. Поскольку в суммах А+ В = А+ ( — АВ) и В = АВ+ ( — АВ) слагаемые являются несовместимыми событиями, то в соответствии с аксиомой 3 или Р(Е~) = Р(Ез) = Р(Ез) = 1/4, Р(Е4) = Р(Еа) = Р(Еа) = 1/12 (2) и т.д. ~ Формулировка этого ирелложеиия имеется в трактате Я. Бернулли.
Р(А + В) = Р(А) + Р( — АВ); Р(В) = Р(АВ) + Р( — АВ). Отсюда вытекает теорема сложения для произвольных событий А н В Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ). В силу неотрицательности Р(АВ) отсюда заключаем, что Р(А + В) < Р(А) + Р(В). По индукции теперь выводим, что если Аи Аз,..., А„— произвольные события, то имеет место неравенство Р(А~ + Аз+ ...+Аи) <~Р(А,)+Р(Аз) + ...+ Р(Аи). Система аксиом Колмогорова непропглворечпва, так как сушествуют реаяьные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют.
Например, если за Й принять произвольное конечное множество с конечным числом элементов П = (аи ам..., а„), за $ — совокупность всех подмножеств (аг,а;„...,аь), 0<1~ <аз <...<1,<п, 0<в<и,то положив Р(ог) = Рг Р(оз) = рм ", Р(аи) = р„, где р,, рз,..., р„— произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству р~ + рз+... + р„= 1, а Р(агт, агч,..., об ) = рп +... +р;„мы уловлетворим всем аксиомам Колмогорова. Система аксиом Колмогорова неполна: даже для одного и того же множества П вероятности в множестве гт мы можем выбирать различными способами. Так, в рассмотренном нами примере с игральной костью мы можем положить или Р(Е~) = Р(Ез) = ... = Р(Ев) = 1/б (1) 56. Аксноматическое построение теории вероятностей 53 Р(А) = Р(А~) + Р(Аз) +...
+ Р(А„) +.... Заметим, что расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности. Аксиома непрерывности. Если последовательность событии Вн Вп... ..., В„,... такова, что каждое последующее влечет за гобои предыдущее и произведение всех событий В„есть невозможное событие, то Р(В„) -ь 0 при и -ь оо. Докажем эквивалентность только что сформулированных предложений.
1. Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности. Действительно, пусть события Вп Вз,..., В„,... таковы, что в эв з...эв э.. и при любом п >1 ПВь = й!. (3) ь>ь Очевидно, что ВьВлы+ П Вь. в=п ь=ь Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместимы, то согласно расширенной аксиоме сложения ньл = ~; нь В,1, .(П В). ь=п ь=я Неполнота системы аксиом теории вероятностей не является свидетельством их неудачного выбора или недостаточной работы мысли при их создании, а вызвана существом дела: в различных задачах могут встретиться явления, при изучении которых требуется рассматривать одинаковые множества случайных событий, но с различными вероятностями.
Например, могут встретиться игральные кости, из которых одна правильная (точный куб с одинаковой плотностью в каждой точке), другая неправильная. В первом случае система вероятностей будет задана системой равенств (1), а во втором, скажем, системой (2). Дальнейшее развитие теории нуждается в дополнительном предположении, которое носит название расширенной аксиомы слозкения. Необходимость введения новой аксиомы объясняется тем, что в теории вероятностей постоянно приходится рассматривать события, подразделяюшиеся на бесконечное число частных случаев. Расширенная аксиоме сложения.
Если событие А равносильно настунлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий Ан Аз,..., А„,..., то 54 Глава 1. Случайные события и и» вероятности Но в силу условия (3) ° (Пвч) =и, н=п поэтому Р(Вп) = ~Р(В,Ва„), а — — и т.е. Р(Вп) есть остаток сходяшегося ряда Р(В»Вам) = Р(В1). »=~ Поэтому Р(В„) -г О при и -+ оо. 2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения. Пусть события Ан Аз,..., Ап,...
попарно несовместимы и А= А~+Аз+" ° +А + °" Положим Вп = ~~' Аа. а=п Ясно, что Впчч С Вп. Если событие Вп наступило, то наступило какое- нибудь из событий А;(г > и) и, значит, в силу попарной несовместимости событий А», события Анен Аььн... уже не наступили. Таким образом, события Вьян В;+н... невозможны, и, следовательно, невозможно событие П Ва. По аксиоме непрерывности Р(В») -+ О при и -э со. Так как а=п А = А, + Аз +... + Ап + Вп+! то по обычной аксиоме сложения и 00 Р(А) = Р(А~)+Р(Аг)+...+Р(Ап)+Р(Вп+~) = йгп ~~~ Р(А») = ~~г Р(А»), Мы видим из сказанного, что аксиоматика Колмогорова позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность рассматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества. Вероятностным пространством принято называть тройку символов (П, $, Р), где Й вЂ” множество элементарных событий, 3 — о-алгебра подмножеств П, называемых случайными событиями, и Р(А) — вероятность, определенная на о-алгебре $.
б 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 55 Е7. Условная вероятность и простейшие основные формулы Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий 6. Если никаких ограничений, кроме условий 8, при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Олнако в ряде случаев приходится рассматривать веровтности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В. Такие вероятности мы будем называть условными и обозначать символом Р(А1В): это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло.
Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, так как исходным моментом построенной теории было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий 6. Пример 1. брошены две игральные кости, Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие А), если известно, что эта сумма есть четное число (событие В)? Все возможные случаи, которые могут представиться при бросании лвух костей, мы запишем в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
