Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Мы в состоянии теперь вывести важные формулы Байеса или, как иногда говорят, вероятности гипотез. Пусть по-прежнему имеет место равенство (5). Требуется найти вероятность события А;, если известно, что В произошло. Согласно теореме умножения имеем: Р(А1В) = Р(В)Р(А11В) = Р(А1)Р(В1А1). Отсюда Р(А;)Р(В1А1) Р(В) используя формулу полной вероятности, находим, что Р(А1) Р(В ( Аг) Р(Ау)Р(В)Ау) Полученные нами формулы носят название формул Байеса 'л1. Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова.
Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано и гипотез: А1, Ан..., А„. По тем или иным причинам нам известны вероятности Р(А;) этих гипотез до испытания. Известно также, что гипотеза А; сообшает событию В вероятность Р(В1А1). Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез А, — формулы Байеса количественно решают этот вопрос. В артиллерийской практике производится так называемая пристрелка, имеющая своей целью уточнить наши знания относительно условий стрельбы (например, правильность прицела).
В теории пристрелки широко используется формула Байеса. Мы ограничимся приведением чисто схематического примера исключительно ради иллюстрации характера задач, решаемых этой формулой. Пример 5. Имеются пять урн следующего состава: 2 урны (состава А1) по 2 белых и 3 черных шара, 2 урны (состава Аз) — ! белый и 4 черных шара, 1 урна (состава Аз) — 4 белых и 1 черный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие В).
Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава? ызт, Байсс приведенных формул не выводил, он ограничился записью формулы (1) гюсзояшего параграфа. Приведенные формулы были выписаны лишь П. Лапласом в конде Х'зг111 века. ег Глава 1. Случайные события и их вероятности Решение. Согласно предположению 2 2 1 Р(А!) = —, Р(А?) = —, Р(Аз) = —; 5' 5' 5' 2 1 4 Р(В)А!) = — Р(В)А?) = Р(В)Аз) = 5' 5' 5 Согласно формуле Байеса имеем: Р(Аз!В)— Р(Аз)Р(В/Аз) Р(А!)Р(В/А!) + Р(А?)Р(В~А?)+ Р(Аз)Р(В(Аз) 1 4 4 2 2 2 1 2 1 4 10 5 — + —. — +— 5 5 5 5 5 5 Точно так же находим: 2 1 Р(Аг!В) = —, Р(А?!В) = —.
5' 5' В8. ПРимЕРы Мы приведем несколько более сложных примеров на использование изложенной теории. Пример 1"). Два игрока А и В продолжают некоторую игру до полного разорения олного из них. Капитал первого равняется а руб., капитал второго — Ь руб. Вероятность выигрыша каждой партии для игрока А равна р, а лля игрока В равна о; р+д = 1 (ничьи отсутствуют). В каждой партии выигрыш одного игрока (и, значит, проигрыш другого) равняется ! рублю. Найти вероятность разорения каждого из игроков (результаты отдельных партий предполагаютсв независимыми). Решение. Обозначим через р„вероятность разорения игрока А, когда он имеет и руб.
Очевидно, что искомая вероятность есть р, и что р в=О рс=1 поскольку в первом случае игрок А уже сосредоточил в своих руках весь капитал, а во втором он уже ничего не имеет. !з! Мы сохраняем вля этой задачи о разорении игрока» ее классическую формулировку, но возможны и иные бюрмулировюг, например; материальная частила находится на прямой в точке 0 и каждую секунду пОдвергаегся случайному толчку, в результате которого передвигается на ! см вправо с вероятностью р или на ! см влево с вероятностью о = ! — р. Чему равна вероятность того, что материальная частица окажется правее точки с коорлинатой Ь (Ь > 0), прежде чем она попадет в положение, расположенное левее точки с координатой о (о ( О, в и Ь вЂ” целые числа)? Задача о разорении игрока была предложена и впервые изучена Х.
Гюйгенсом. Мы предполагаем, что вероятность события «раюрение игрока» сушествует. ез 58. Примеры Если игрок А имел и руб. перед некоторой партией, то его разорение может осуществиться двумя различными способами: или он очередную партию выиграет, а всю игру проиграет, или он проиграет и партию и игру. По формуле полной вероятности позтому Ри = Р Рпе! + Ч'Рп-!. Относительно рп мы получили уравнение в конечных разностях; легко видеть, что его можно записать в следующем виде: Д(рп Ра-!) = Р(рп+! Ри). (2) Рассмотрим сначала решение этого уравнения при р = е = 1/2.
При атом допущении Рп+! Рп =Рп — Рп-! = =Р! — Ра = С, где с — постоянная. Отсюда находим, что Ри =Ра+пс. Поскольку ра = ! и р,кк = О, то и Рп = !— а+Ь Таким образом, вероятность разорения игрока А равняется а Ь р =! — — =— а+ Ь а+Ь' Подобным же путем найдем, что в случае р = !/2 вероятность разорения игрока В равна а Чк = —. а+Ь В общем случае при р ~ о из (2) находим, что П П к=! к=! После сокращений и учета соотношений (1) находим, что Рп+! Рп — И/Р) (Р! !). Рассмотрим разность р,+, — рп; очевидно, что а+К ! а+К ! (/)а (/)а+к Ра+к -Рп — ~~' (Рк+! -Рк) = > (Я/Р) (Р! — 1) =(Р! !) 1-Ч/» Поскольку р,+к = О, то (/)и (/)а+К Рп — (! Р!) 1 — д/р 64 Глава 1. Случайные события и ик вероятности а так как ро = 1, то (, р ) (~/Р)' — И/Р)"' 1 — б/р Исключив из двух последних равенств величину р,, находим, что (Ир)'+' — (б/Р)" (д/р) а+ 0 Отсюда вероятность разорения игрока А а+Ь а Ь 1 (/)Ь Р та+в Ра+Ь 1 (Р/ч)а+Ь Подобным путем находим, что вероятность разорения игрока В при р и- о равна 1 — (Я/Р)' "= -(/)"' Из этих формул мы можем сделать следующие выводы: если капитал одного из игроков, например В, несравненно больше капитала игрока А (так что практически Ь можно считать бесконечно большим по сравнению с а), а игроки одинаково искусны, то разорение В практически невозможно.
Вывод будет совсем иной, если А играет лучше, чем В„и, значит, р ) о. Считая Ь оо, находим, что Чь 1 И/Р) и Ра (Ч/Р) Отсюда мы делаем тот вывод, что умелый игрок даже с малым капиталом может иметь меньше шансов на разорение, чем игрок с большим капиталом, но менее умелый. К задаче о разорении игрока сводится решение некоторых задач физики и техники. Пример 2 Найти вероятность того, что станок, работающий в момент 1о, не остановится до момента 1о + 1, если известно, что 1) эта вероятность зависит только от величины промежутка времени (1о. 1о+1) 2) вероятность того, что станок остановится за промежуток времени Ы, пропорциональна гд1 с точностью до бесконечно малых высших порядков'Ь1 относительно б1.
~ В дальнейшем для талион того факш, что некоторая величина о бесконечно мала сравнительно с величиной Р, мм будем польтоааться записью о = аьб), если же отношение о/Р ограничено по абсолютной величине, то будем писать а = О(Р). 58. Примеры Решение. Обозначим вероятность через р(С). Вероятность того, что станок остановится за промежуток времени сзС, равна 1 — р(ЬС) = аСИ+ о(М), где а — некоторая постоянная. Определим вероятность того, что станок, работавший в момент Св, не остановится до момента Св + С + ЬС.
Для осуществления этого события необходимо, чтобы станок не остановился за периоды времени длины С и СьС; в силу теоремы умножения, таким образом, р(С + М) = р(С) ° р(ЬС) = р(С)(! — ас) С вЂ” о(СзС)). р(С+ ЛС) — р(С) = -ар(С) — о(1). (3) Теперь перейдем к пределу, положив С),С вЂ” > 0; из того, что существует предел правой части равенства (3), вытекает, что существует также предел левой части. В результате находим, что Ср(С) — = -ар(С). гСС Решение этого уравнения есть функция р(С) = С ехр ( — аС), где С вЂ” постоянная. Эта постоянная находится из того очевидного условия, что р(0) = !. Таким образом, р(С) = ехр ( — аС) .
Первое условие налагает на режим работы станка большие ограничения, однако существуют производства, где оно выполняется с большой степенью точности. В качестве примера можно привести работу автоматического ткацкого станка. Заметим, что к рассмотренной задаче сводится много других вопросов, например, вопрос о распределении вероятностей длины свободного пути молекулы в кинетической теории газов. Пример 3.
При составлении таблиц смертности часто исходят из таких допущений: 1) вероятность того, что некоторое лицо умрет в возрасте от С до С + СзС равна р(С, С+ СМ) = а(С)ЬС+ о(Ы), где а(С) — неотрицательная, непрерывная функция; 2) считается, что смерть данного лица (или его выживание) за рассматриваемый промежуток (Сн Сз) возраста не зависит от того, что было до момента С~,. 3) вероятность смерти в момент рождения равна нулю. 3 Кии марин ироатнитса 66 Глава 1. Случайные события и ид вероятности Исхоля из высказанных предположений, найти вероятность смерти лица А до того, как оно достигнет возраста 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
