Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 17
Текст из файла (страница 17)
а т) Очень точньш опенки остаточною члена даны в работе С. Н. Бсрштейна «Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа (Собрание сочинений С. Н. Бернштейна. Т. Пс Мс Наука, ! 964. С. 396-408). 83 б 11. Интегральная предельная теорема Доказательство. Введем для краткости письма обозначение Р„(а,Ь)=Р а« Ь и — ир /йре Эта вероятность, очевидно, равна сумме 2,Ро(т), распространенной на те значения т, для которых а < х < Ь, где по-прежнему обозначено ти — ир * =,/йрд ' Определим теперь функпию у = П„(х) следующим образом: 0 для х<хо= — и Р туйя 1+ ид для х>х„+ ,гйрд,айра ' у = П„(х) = ,/прдР„(т) лля х <х < х .~~ (из=0,1,...,и).
Очевидно, что вероятность Ро(пз) равна плошади, ограниченной кривой у= П„(х), осью ОХ и ординатами вточках х = х и х =х о, т.е. о ь! Р~(пг) = з/йрг1Ро(ти)(хм+~ — хм) = П„(х) Их. х Таким образом, Р„(а, Ь) — / П„(х) г1х = / П„(х) Их + / П„(х) Нх — / П„(х) ех.
Так как максимальное значение вероятности Ро(ти) приходится на значение тио — — [(и+ 1)р], то максимальное значение П„(х) приходится на интервал тио — ир ша + 1 — ир 2 О< <х« ЯЯ ЛЯ /йрд В этом интервале действует локальная теорема Муавра, и мы можем поэтому заключить, что при всех достаточно больших значениях и 1 шах П„(х) < 2 — шах ехр ~ — — ) = ~( —. т/2я я1(. 2 ) я Отсюда следует, что искомая вероятность Р„(о, Ь) равна площади, заключенной между кривой у = П„(х), осью ОХ и ординатами в точках хга и хм, где т и та определяются посредством неравенств 1 1 а <х <о+ —, Ь<х — < Ь+ ,~йрд',~йрд' вд Глава 2. Последовательность независимых испытаний Отсюда мы прежде всего выводим, что [ри]= / П„(х)г!х-ГП„(х)с(х < / гпахП„(х)!х+ ~ гпахП,(х)дх< ь и ь и П 1 2 < ]( — ( — Ь+хм+хм — в) <2 ~] киро и что, следовательно !пп ри = О.
и-ко Таким образом, Ри(а, Ь) только на величину бесконечно малую отличается ь от / Пи(х) Ых. Мы предположим сначала, что а и Ь вЂ” конечные числа. При этом предположении согласно локальной теореме при в < х < Ь 1 ( х 1 Пи(хт) = — ехр .] — — ) [1+ аи(хт)], с/2я в~1. 2 ! где аи(х,„) -ь О при и -ь оо равномерно относительно х„,. Очевидно, что и при промежуточных значениях аргумента 1 Г х21 Пи(х) = — ехр ( — — ~ [1+ аи(х)], г)' причем Игп гпах аи(х) = О. Действительно, при любом гп в интервале и-~саиди.ь хм < х < хм+а имеем: 1 ь х21 Пи(х) = Пи(хм) = — ехр ~ — — ~ [1+ аи(а)], где Гхз — х' 1 аи(х) =ехр~ )[а„(х )+1] — 1.
2 Так как х' — х~ пьах ([а], ]Ь]) <]х[ [х — х ] < /йрд то ясно, что !нп гпах аи(х) = О. и-~со и<х<Ь Собрав вместе найденные оценки, получаем, что ь Ри(в, Ь) = — / ехр ~ — — ~ ь!х + В„, ,/2я ~ 2~ а Ь 11. Интегральная предельная теорема где ь В„= — / ехр ~- — /а„(х) ь!х + р„. ь/2зг (. 2 ) а Так как ь 1В„~ < шах 1оя(х)! — / ехр ~- — / ь(х+ р„, /г,/ (. 2,) то из сказанного ясно, что 1пп В =О. я-кю В сделанном нами по ходу доказательства частном предположении теорема доказана. Нам остается освободиться от этого ограничения. С этой неллю прежде всего заметим, что Поэтому для любого е > О можно выбрать столь большое А, что е — / ехр ~ - — ~ г(л > 1 — —, т/2я./ ( 2 ) 4' Выберем далее, в соответствии с доказаиным, столь большое и, что при -А < а < Ь < А будет: ь Р„(а, Ь) — — / ехр ~ — — ) г!х < —.
ь/2я./ 1 2 ) 4 о Тогда очевидно, что Р„( — А, А) > 1 — е/2, Р(-оо, — А) + Р(А, +оо) = 1 — Р( — А, А) < е/2. Теперь докажем, что при любых а и Ь ( — оо < а < Ь < +со) будет: ! ь Р„(а, Ь) — — / ехр ~ — — / ь(л < е, ,/2 / 1 2/ а чем, очевидно, и закончится доказательство теоремы Муавра — Лапласа. Лля этого надо разобрать отдельно различные случаи расположения на прямой точек а и Ь относительно интервала ( — А,А). Разберем, например, случай а < -А, Ь > А (остальные представим читателю). 86 Глава 2. Последоввтельность независимых испытаний В этом случае ь -А А Ь +/- (-й"= — 'У'/+" (-й") а а -А А Р„(о,Ь) =Р„(в А)+Ра( — А А)+Ра(А Ь). Поэтому ь -А Р„(о,Ь) — — / ехр~ — — /дх < Р„(а,-А) — — / ехр~ — — /Аз + а а + Р„(-А,А)- — / ехр~- — ~ Нз + Р„(А,Ь)- — / ехр ~ — — ) дз < <Р„( — сю,-А)+ — / ехр~ — — )Иг+ + Р„(-А,А)- — / ехр~ — — /ь(а +Р„(А,+со)+ + — / ехрт, - — ьйз<-+-+-+-=с.
зт2~г,/ ( 2 ) 2 4 8 8 И!+Из+. +гз» и (1) Станем тепеРь на величины 1»ь1»м ..., Р» смотреть как на прямоугольные координаты точки в Й-мерном евклидовом пространстве. При этом результаты и испытаний изобразятся точкой с целочисленными координатами, не меньшими нуля и не большими и; будем (0,3,0) Рис. 11 Мы перейдем теперь к формулировке интегральной предельной теоремы в обшем случае схемы последовательности независимых испытаний. Пусть по-прежнему 1»; (ь = 1, 2,..., В) означает число появлений событий А, (в = 1, 2,..., и) в и последовательных испытаниях.
В зависимо- (а) сти от случая р; могут принимать лишь значения О, 1, 2,..., и, причем так как в кажаом испытании возможны й исходов и эти исходы несовместимы, то должно иметь место равенство О 11. Интегральная предельная теорема в дальнейшем называть такие точки целочисленными. Равенство (1) показывает, что результаты испытаний изобразятся не произвольными целочисленными точками в гиперкубе О < рн < и (з = 1, 2,..., !г), а лишь теми из них, которые находятся в гиперплоскости (1). На рис. 11 изображено положение возможных результатов испытаний в гиперплоскости (1) для случая и = 3, к = 3. Произведем преобразования координат по формулам х;= (з««1,2,...,й; о,=1 — рг).
Р' "Р« Р„(С) ч «з»! «ь -ь Г,ч( '~»»г) „ (2я)" ' 2 р«а«с где бо означает элемент обьема области С и интеграл распространя- ется на область С. Доказательство н по илее и по осуществлению является почти полной копией рассуждений, проведенных при доказательстве интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Замечание. Только что сформулированной теореме мы придали форму, в которой все переменные хы хз,..., х„играют одинаковую роль.
В интегральной теореме Муавра — Лапласа мы, однако, предпочли проводить рассуждения, нарушив однородность переменных х~ и хз, только с переменными х = хь Геометрически зто означало, что мы рассматриваем не сами результаты испытаний (целочисленные точки Уравнение гиперплоскости (!) в новых координатах перепишется в следующем виде: Е хгч/йр!о! = О. «=! Точки гиперплоскости (2), в которые перешли целочисленные точки гиперплоскости (! ), условимся также называть «целочиспенными». Обозначим через Р„(С) вероятность того, что в результате и испытаний числа рн (з = 1, 2,..., Й) появлений каждого из возможных исходов Р«' прг окажутся такими, что точка с координатами х; = попадет внутрь !йр«бп области С.
Тогда имеет место следующая Теорема. Если в схеме последовательности независимых испытаний в каждом из испытаний возможны й исходов, причем вероятность каждого из исходов не зависит от номера испытания и отлична от О и от 1, то какова бы ни была область С гиперплоскости (2), для которой (Й вЂ” 1)-мерный обьем ее границы равен нулю, равномерно относительно С при и -ч оо, имеет место соотношение (у у 88 Глава 2.
Последовательность независимых испытаний на прямой х! + хг = О), а их проекции на ось ОХ. Подобным же образом мы можем, нарушив однородность и в обшем случае, рассмотреть интегрирование не по области С, а по ее проекции С' на какую-либо координатную гиперплоскость, скажем на плоскость хь = О. Элемент объема г(е! в гиперплоскости хь = 0 связан с элементом объема !Ь гиперплоскости (2) соотношением где у — угол межлу указанными гиперплоскостями.
Легко подсчитать, что соку = к%в Ергй В координатной гиперплоскости элемент объема гЬ' = г1х!!1хг... дхь !, поэтому имеет место равенство о гг ехр -- р !тгх! г(х! ... г1хь-!. В подинтегральной функции мы должны произвести замену хь на его выражение через хм хг,...,хь !! 1 ь-! хь = — ~~, т/Р,огх!. /Рьг2ь, В результате этой замены мы имеем: /РгЧР~Ц +2 т х;х. ! <!<г <ь- ! Рь (3) =()(х!,хг,...,х» !) Ч!г2г ° Дь ! 1' 1 1 ) / екр ') 2ьт(х ° хг ° ° °, хь-!) ггх! ... г(х~ . (4) Р(6) -т Понятно, что интегральная теорема Муавра — Лапласа является частным случаем только что доказанной теоремы: она легко может быть получена из формулы (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
