Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками. Мы видим, что приведенный пример блуждания частицы представляет собой типичную цепь Маркова. Точно так же можно было бы рассмотреть случай, когда частица прилипает к одной из стенок или к обеим из них. /7рнмер 2 В модели Бора атома водорода электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим через А; событие, состоящее 105 6 16.
Матрица перехода в том, что электрон находится на 1-й орбите. Предположим далее, что изменение состояния атома может наступать только в моменты 1н1м 1з,... (в действительности, эти моменты представляют собой случайные величины). Вероятность перехода с 1-й орбиты на у-ю в момент 1, зависит только от ( и у (разность у — ( зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент 1,) и не зависит оттого, на каких орбитах находился электрон в прошлом.
Последний пример представляет собой цепь Маркова с бесконечным (правда, только в принципе) числом состояний; этот пример был бы несравненно ближе к реальной обстановке, если бы моменты перехода нашей системы в новое состояние могли меняться непрерывно. 516. Матрица перехода Мы ограничимся далее изложением простейших фактов для однорадиых целей Маркова, в которых условная вероятность появления события А. в (в+ 1)-м испытании при условии, что в в-м испытании (ьь ~) осуществилось событие А('), не зависит от номера испытания. Мы назовем зту вероятность вероятностью лерехада и обозначим буквой рб , 'в этом обозначении первый индекс всегда будет обозначать результат предшествующего испытания, а второй индекс указывает, в какое состояние перейдет система в последующий момент времени.
Полная вероятностная картина возможных изменений, осушествляюшихся при переходе от одного испытания непосредственно к следующему, задается матрицей Рп Рп " Ры Рп Рп " Ри 7Г~ Ры Ры Ри составленной из вероятностей перехода, которую мы будем называть матрицей лерехада.
Отметим, каким условиям должны удовлетворять элементы этой матрицы. Прежде всего, они, как вероятности, должны быть неотрицательными числами, т.е. при всех 1 и у О(СР;, ~(1. Далее из того, что при переходе из состояний А(') в в-м испытании (ь~-!) система обязательно переходит в одно и только в одно из состояний А, в (в+ 1)-м испытании, вытекает равенство ь Рб = 1 (1= 1,2,...,)г). Глава 3.
Цепи Маркова Таким образом, сумма элементов в каждой строке матрицы перехода равна единице. Наша первая задача в теории цепей Маркова состоит в определении вероятности перехода иэ состояния А,.' в в-м испытании в состояние А. через и испытаний. Обозначим эту вероятность знаком Ру(п), Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером в+ пз. В этом испытании осуществится какое-то одно из возможных событий А„( ! < г < !с). Вероятность такого перехода, согласно с только (л-Нв) что введенными обозначениями, равна Ргг(гп).
Вероятность же перехода из состояния А~'~ 1 в состояние А!'+лз равна Р„(п — гп). По формуле полной вероятности к Ргз(п) = ~~! Ры(гп) Р„(п — пк). л=! Обозначим через кл матрицу перехода через и испытаний Рн(п) Рп(п) ... Ры(п) згл = Ры(п) Ркз(п) ." Ркк(п) Согласно (1) межау матрицами я, с различными индексами существует соотношение згл = ят ' кл-т (О < пз < зз). В частности, при и = 2 находим, что 2, кз = зг! зг! = зг!,' при п= 3 з, згз =зг! кз =згз зг! — — зг,; и вообще при любом и л ял — я! ° Отметим частный случай формулы (1): при гп = 1 к Р;.(и) = ~ рыР„з(п — !). г=! В качестве упражнения предлагается читателю написать матрицу перехода для первого примера предыдущего параграфа. 5 ТТ.
Теорема о предельных вероятностях Теорема. Если при некотором в > О все элементы матрицы перехода к, полозкительны, то существуют такие постоянные числа рз (у = 1, 2, ..., !с), что независимо от индекса з' имеют место равенства 1нп Р;,(п) = рз. л-л!ь 1О7 5 ! 7. Теорема о предальних зероятностяк Доказательство. Идея доказательств атой теоремы весьма проста: сначала устанавливается, что наибольшая из вероятностей Ру(п) с ростом и не может возрастать, а наименьшая не может убывать; далее показывается, что максимум разности РО(и) — Р!.(п) (1,1 = 1, 2,..., я) стремиться к нулю, когда п -» оо.
Этим доказательство теоремы, очевидно, завершается. Действительно, в силу известной теоремы о пределе монотонной последовательности мы заключаем из первых двух указанных свойств вероятностей Р; (и), что существуют !пп пнп Ру(п) = рз ь-ка »<»<й и йш шах Р! (и) = рр . я-кю »<»<й А так как в силу третьего из указанных свойств 1пп гпах !Р; (и) — Р»у(и)) =О, ь-~со »<»,»<й то РУ =Рз =РУ. Мы перейдем теперь к осуществлению намеченного плана.
Заметим прежде всего, что при п > 1 имеет место неравенство й й Ру(п) = ~ рй»Р»,(п — 1) > ппп Р»;(и — !) ~~» рц = ппп Р! (и — 1). »=! »=! Это неравенство имеет место при каждом й, в частности при том, при котором Р; (и) = ппп Р! (и). »<г<й Таким образом ппп Р; (и) > ппп Рб(п — 1), »<»<й »<»<й Подобным же путем легко обнаружить, что пзах Р; (т!) < шах Р; (и — 1). !«й ~ !«й Мы можем считать, что и > з, и поэтому имеем право записать по формуле (1) 5 16, что Р, (п) = ~~» Ре(з) ° Р„(п — з).
г=! Рассмотрим разность Рц(п) — Р»у(и) = ~~» Р;„(з) Р„(п — з) — ~~» Р»„(з) Р„у(п — з) = »=! »=! й [Рй„(з) — Рг„(з)1 Р„(п — з). »=! (ОВ Глава 3. Цепи Маркова Обозначим положительные Разности Ру(в) — Р(т(в) символом )3в, а не- (г) положительные разности — )3я Так как »(г) с с ~ Р(т(в) = ~~» Ри(в) = 1, г=» г=» то ~~» )3!! < ~~» Р!т(в) = 1. (т) г=) О <Ь; < 1.
Таким образом, Пусть Ь = п)ах Ь!!. 1<»,1<С Так как число возможных исходов конечно, то наряду с величинами Ьв величина Ь удовлетворяет неравенствам О <Ь < 1. (3) Из (1) находим, что при любых ( и 1 (1,1 = 1, 2,..., Ь) !т;;!»-т;!»!=)~тг'т„! — »-Ет)'т„ь- ! ~ (г) (г) < *г„» — »Ктр- ь г»! — »Кт»'/~ 1<г<С 1<г<С (т) (т) <Ь! !пах Ру(п — в) — пнп Р„(п — в)~ <Ь п)ах ~Рфп-в) — Р!1(п — в)/ 1<г<С 1«С 1<»,!<С и, следовательно, также »пах ~РО(п) — Рб(п)~ < Ь п)ах ~РО(п — в) — РО(п — в)~.
1<»,1<С 1<»,!<С Применив это неравенство ~4 раз, найдем, что (в) ~Р;„(в) — Р1,(в)) = ~~» )3~! ~ — ~~» )3в~~ = О. (2) г=! (г) (г) Из этого равенства заключаем, что 1, ~~, ' Р(г) ~~, ' 3'(г) (г) (т) Так как по пРедложению пРи всех 1 и т ((, т = 1, 2, 3,..., Ь) Ргг(в) ) О, то 109 Упражнения Так как всегда ~!Рг;(гп) — Р! (пэ)( < 1, то ясно, что и!ах ~!Р! (и) — Р! (и) ~ < /э!"/~~. !<!.г<л При и -+ оо также — -! оо, поэтому в силу (3) отсюда следует, что !пн мах (Р! (и) — Р! (и)! = О. л-ко !<!,!<л Из доказанного заключаем также, что Действительно, ь ь р! = !пп ~Р; (н) = 1пп 1 = 1.
о-ко о->со /=! /=! Таким образом, на величины р можно смотреть как на вероятности (л! появления исхода А при и-м испытании, когда н велико. у Физический смысл доказанной теоремы ясен: вероятность системе находиться в состоянии А практически не зависит от того, в каком состоянии она находилась в далеком прошлом. Только что обнаруженная теорема была впервые доказана творцом теории цепных зависимостей А.А. Марковым; она явилась первым строго доказанным результатом среди так называемых эргодических теорем, играющих важную роль в современной физике и инженерном деле.
Упражнения 1. Вероятности перехода даются матрипей 1/2 1/3 1/6 эг, = 1/2 1/3 1/6 1/2 !/3 1/6 Чему равно число состояний? Найти вероятности перехода иэ состояния в состояние эа два шага. 2. Электрон может находиться на олной иэ счетного множества орбит а зависимости от наличной энергии. Переход с !-й орбиты на 3-ю происходит эа одну секунду с вероятностью с! ехр (-а(1 — 2!) . Найти: а) вероятности перехода эа две секунды, б) постоянные с;. !1О Глава 3.
Цепи Маркова 3. Вероятности перехода лаются матрипей О 1/2 1/2 я, = 1/2 О 1/2 !/2 1/2 О Применима ли в данном случае эргодическая теорема Маркова? Если да, то найти предельные вероятности. Глава 4 Случайные величины и функции распределения 9 18. Основные свойства функций распределения Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров.
Число космических частиц, попадаюших на определенный участок земной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случайных обстоятельств. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, не остается постоянным, а подвержено значительным случайным колебаниям. Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный характер. В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рассеивания снарядов около центра цели как со случайным явлением и рассматривать указанные уклонения как случайные величины.
Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновения с другими молекулами. Этих столкновений очень много даже в течение короткого промежутка времени. Зная скорость молекулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значение, скажем, через 0,0! или 0,001 секунды. Изменение скорости молекулы носит случайный характер. Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники.
Возникает естественная и притом весьма важная залача создания методов изучения случайных величин. Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно, в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризуюшей исследуемое явление. Каждая из этих величин под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения. Заранее предсказать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испытанию. 112 Глава 4.
Случайные величины н функции распределения Таким образом, для того чтобы знать случайную величину, прежде всего необходимо знать те значения, которые она может принимать. Однако одного перечня значений случайной величины еше недостаточно, чтобы по ним можно было делать какие-либо сушественные выводы. Действительно, если в третьем примере рассмотреть газ при разных температурах, то возможные значения скоростей молекул останутся теми же самыми, тогда как состояния газа будут различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
