Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Продол- жив этот процесс далее, мы можем определить Й-мерные функции рас- пределения любой группы из Ь величин (ц,(й,...,(ь по формуле Е»(хц, хб,..., х;,) = Р((ц < х;„...,(б < хц) = Р(сп сг,..., с~), где с, = х„если в = г„(1 <г< Ь) и с, = +со в иных случаях. В частности, функция распределения случайной величины (к равна ль(х) = л(с~ сг ° сч). где все с, (г ф Й) равны +оо, а ск = х. Подобно тому как поведение одномерной случайной величины можно характеризовать не только посредством функции распределения, но и дру- гими способами, многомерные случайные величины могут быть определе- ны, скажем, посредством неотрицательной вполне аддитивной функции множества Ф(Е), определенной для борелевских множеств и-мерного 124 Глава 4.
Случайные величины и функции распределения то Р~(х~) =ВС~I2я / ехр ~ — (1 — г )~ 2!х. (2) (х — а)' 2 Постоянная С может быть выражена через А, В и г. Эту зависимость можно найти из условия Р~(+оо) = 1. Имеем: (з — а)2 2 1 1 = ВСч/2я ехр ~ — (1 — г )) г(х = 2А ехр — — Ал = Отсюда 2кАВ Если гз Ф 1, то мы положим А = е~ ъ/Ъ вЂ” г2, В = аз Х/! — гз. В этих новых обозначениях двумерный нормальный закон принимает такой вид: и кг 2хегез (х — а)2 (а — а)(р — Ь) (р — Ь)2 а2 2гнт2 022 Теоретико-вероятностный смысл входящих в эту формулу параметров будет выяснен в следующей главе. Подобно тому как это было сделано в одномерном случае, для многомерных функций распределения можно установить ряд свойств.
Мы приведем их формулировки, предоставив читателю их доказательства. Функция распределения 1) есть неубывающая функция по каждому аргументу, 2) непрерывна слева по каждому аргументу, 3) удовлетворяет соотношениям Р(+Ос, +СО,..., +ОО) = 1, ВГП Р(ам Х2,..., ая) = 0 (1 <Ь<и) к~.ч-оо при произвольных значениях остальных аргументов.
В одномерном случае мы видим, что перечисленные свойства необхо- димы и достаточны, чтобы функция Р(х) была функцией распределения некоторой случайной величины. В многомерном случае, оказывается, этих свойств уже недостаточно.
Для того чтобы функция Р(хн..., а„) была функцией распределения, помимо перечисленных трех свойств, нужно добавить еше следующее: б 20. Многомерные функции расгределения 125 4) при любых а; и Ь; (г = 1,2,..., и) выражение (1) ие отрицательно. Что это требование может быть ие выполнено, несмотря иа наличие у функции Р(хп..., х„) свойств 1)-3), показывает следующий пример. Пусть ( О, если х < О, или х+ р < 1, или р < О, .(х,.) = ' ( 1 в остальной части плоскости.
Эта функция удовлетворяет требованиям 1)-3), ио для иее Р(1, 1) — Р(1, 1/2) — Р(1/2, 1) + Р(1/2, 1/2) = — 1, (3) и, следовательно, четвертое требование ие выполнено. Функция Р(х, у) ие может быть функцией распределения, так как разность (3) согласно соотношению (1) равна вероятности попадания точки ((и Сг) в прямоугольник 1/2 < б~ < 1, 1/2 < Сг < 1.
Если существует такая функция р(х~,хг,...,х„), что при любых хи хг,..., х„имеет место равенство ю Р(хм хг, " ., хл) = / / ... / р(ли аг,..., хь) йаь " айаг ~!хи то зта функция называется иватностью распределения вероятностей случайного вектора ((и Сг,..., С„). Легко видеть, что плотность распределения обладает следующими свойствами: 1) р(хп хг, " ., аь) > О. 2) Вероятность попадания точки (4п 6,...,('„) в какую-нибудь область С равна р(хм хг,..., х„) ~1хь... Их н ./- с В частности, если функция (хихг,...,х„) непрерывна в точке (хп..., х„), то вероятность попадания точки ((',,(г,...,С„) в параллелепипед х» <с» < х»+ох» (й = 1,2,...,и) с точностью до бесконечно малых высших порядков равна р(хи хг,..., х„) Нх~ дхг...
дхь. Пример 3. В качестве примера и-мериой случайной величины, имеющей плотность, привелем величину, равномерно распределенную в и-мерной области С. Если через )г обозначим и-мерный объем области С, то плотность распределения будет равна О , если (хпхг,...,х„) к С, 1г(хи хг,... хп)— 1/к', если (хихг,...,х„) б С. 126 Глава 4. Случайные величины н функции распределения Лрнмер 4. Плотность двумерного нормального закона дается форму- лой 1 р(х,у) = х 2яо~ огг/! — т' х ехр 1 ! (х — а)' (х — а)(у — Ь) (у — Ь)' г 1 г 2г + г 2(1 — гг) ог о! ог Заметим, что плотность нормального распределения сохраняет по- стоянное значение на эллипсах (х — а)г (х — а)(у — Ь) (у — Ь)г — 2г + г Л (4) о', о,ог агг где Л вЂ” постоянная; на этом основании эллипсы (4) носят название эллнлеов ровных вероятностей.
Найдем вероятность попадания точки ф,(г) внутрь эллипса (4). По определению плотности Р(Л) = О р(х,у) г(хну, (5) о!л! где через С(Л) обозначена область, ограниченная эллипсом (4). Для вычисления этого интеграла введем полярные координаты: х — а = р соз д, у — Ь = р о!и д. Интеграл (5) при этом принимает вид гяг/з д-гг Р(Л) = / / ехр — — згр г1р г(д, 2яа~огЛ вЂ” гг .I .I 2 о о где для краткости обозначено 1 ! созг д сов д о!и д з!пг д1 з = — 2г + — ~. ! — г а о ог огг 1' Интегрирование по р дает: 2( ') Ю 2ко,агЛ вЂ” гг ./ зг о Р(Л) = гк ! Гад Р(+ос) = 1 = 2яа~аг~/1 — т' з ' о Интегрирование по д можно выполнить по правилам интегрирования тригонометрических функций, но в этом нет необходимости, так как оно автоматически производится с помошью вероятностных соображений.
Дейс е 127 5 20. Многомерные функции распределения Отсюда г« йй — = 2яа~аг\/ 1 — г вг о и, стало быть, Лг Р(Л) = 1 — ехр (' ,„,,1. Нормальное распределение играет исключительно большую роль в различных прикладных вопросах. Распределение многих практически важных случайных величин оказывается подчиненным нормальному закону распределения. Так„например, огромная практика артиллерийских стрельб, произведенная в различных условиях, показала, что рассеивание снарядов на плоскости при стрельбе из одного орудия на определенном прицеле подчиняется нормальному закону. В главе 8 мы увидим, что эта «универсальность нормального закона объясняется тем, что всякая случайная величина, являюшаяся суммой очень большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь незначительное влияние на сумму, распределена почти по нормальному закону.
Важнейшее понятие теории вероятностей — независимость событий — сохраняет свое значение и для случайных величин. В соответствии с определением независимости событий мы скажем, что случайные величины (и Сг,..., С„независимы, если для любой группы (ц, («1,..., (;, этих величин имеет место равенство Р((ц < хц, (ц < х;„..., ~;„< х,,) = Р((П < х;, ) Р(~ь < х;,)... Р((п < х;„) при произвольных х;„х;„..., хп и любом и (! < я < и).
В частности, для произвольных хц хг,..., х„выполняется равенство Р((! < х! сг < хг, °, с«< хв) = Р((! < Х!)РЯг < хг) ° ° ° 1 тсв < хп) или в терминах функции распределения Г(хц хг.. .х«) = Г~(х~)Гг(хг) ...Гв(х„), где Г»(х») означает функцию распределения величины С». Легко видеть, что верно и обратное предложение: если функция распределения Г(хы хг,..., х„) системы случайных величин (ц сг,..., с„ имеет внд Г(хихг, ",хв) = Г (х )Гг(хг) "Гв(хв), гле функции Г»(х») удовлетворяет соотношениям Г»(+оо) = ! (й = 1,2,...,и), то величины (ы~г,...,с„независимы и функции Г~(х~),Гг(хг),.
Гч(хв) являются их функциями распределения. Проверку этого предложения мы предоставляем читателю. 128 Глава 4. Случайные величины и функции распределения Пример 5. Рассмотрим и-мерную случайную величину, компонен- тЫ КОТОРОЙ С1, С2,...,Си ЯВЛЯЮТСЯ ВЗаИМНО НЕЗаВИСИМЫМИ СЛУЧайНЫМИ величинами, распределенными по нормальным законам Р«(х«) = у ехр ~ — ~ 1(». 1т«з/2я х/ ( 21т«2 В рассматриваемом примере функция распределения равна ит Р(х1,хз,...,хи) =(2я) Пс«( ехрг~ — 2 )«11». -и/2 -1 (» «) 2е«2 ) Если независимые случайные величины с1, сз,...,си имеют плотности распределения Р1(х1),Р2(хз),...,Ри(хи), то и-мерная величина (С1, С2, ", Си) ИМЕЕТСЯ ПЛОтНОСтЬ РаСПРЕДЕЛЕНИЯ, РаВНУЮ Р(х1 хз~ .
~ хи) Р1(х1)Р2(х2) . Ри(хи). Пример 6. Если величины С1,С2,...,С„независимы и имеют плотности распределения 1 ( (х — а«)2 1 Р«(х) = ехр~- 2 ~ (1~й~п), „/2 ( 2,' то и-мерная плотность распределения величины (с1, сз...с,) равна (2я) — и/2 ( 1 (х«а«)2 1 Р(х1,х,,..., хи) = ехр ~ — — ~~1 2 ).
(6) Е1Е2 . Еи При и = 2 зта формула принимает вид 1 ( (х1 — а1)' (х2 — аз) Р(х1, хз) = ехр ~— 2а'е1 е2 ( с'1 сз Сравнение этой функции с плотностью двумерного нормального закона (пример 4) показывает, что для независимых случайных величин С1 и С2 параметр т равен О. При и = 3 формула (6) может быть истолкована как плотность распределения вероятностей компонент С1, С2, Сз скорости молекулы по осям координат (распределение Максвелла), если только предположить, что 2 2 2 е1 = 1т2 — — 1тз = —, Ьгп' где п« вЂ” масса молекулы, а Ь вЂ” константа. 129 б 21. Функции ог случайнык величин 521.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
