Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мы получили важный результат, вскрывающий вероятностный смысл одного из параметров, определяюших нормальный закон: параметр а в нормальном законе распределения равен математическому озкиданию. Пример к Найти математическое ожидание случайной величины с, равномерно распределенной в интервале (а, Ь). Имеем: ь г Г дх Ьг — а а+Ь МС=/ х — = ,/ Ь вЂ” а 2(ь — а) 2 ь -00 о Сделанное замечание позволяет во многих случаях находить математическое ожидание почти без вычислений. Так, для случайной величины, распределенной по закону, указанному в конце з 19, математическое ожидание равно половине. Заметим, что среди рассмотренных нами ранее случайных величин, случайная величина, распределенная по закону Коши (пример 5 з21), не имеет математического ожидания.
Перейдем к рассмотрению примеров. Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины С, распределенной по нормальному закону 152 Глава б. Числовые характеристики случайнык величин Имеем: а» ехр (-а) Мс= й ° -Е й! »=о «=! »-! а = аехр(-а) ~~! , (к — 1)! а«ехр (-а) и ° и! » а аехр( — а) ~ ~—, = а. «=о Если Р(х!В) есть условная функция распределения для случайной величины С, то интеграл М((~В) = х др(4В) (4) мы назовем условным математическим ожиданием случайной величины С относительно события В.
Пусть В!,Вз,...,„— полная группа несовместимых событий и Р(х!В!), Р(х!Вз), ..., У(х!В„) — соответствующие этим событиям условные функции распределения величины С. Обозначим через Р(х) безусловную функцию распределения величины с; по формуле полной вероятности находим, что ч с(х) = ~~! Р(В«)к(х!В«). »=! Это равенство совместно с (4) позволяет нам получить следующую формулу: ч МЕ = ~ ' Р(В,) М(6В«).
(5) »=! Только что найденная формула во многих случаях значительно упрощает вычисление математических ожиданий. Пример 4. Рабочий обслуживает и однотипных станков, расположенных прямолинейно на расстояния а друг от друга (рис. 19). Считая, что 1 2 и рабочий обслуживает станки, подходя к ним в порядке очередности, найти средний переход (математическое ожидание величины перехода) межлу Рие. 19 станками. Мы видим, что математическое ожидание совладаете серединой интервала возможных значений случайной величины. Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины С', распределенной по закону Пуассона а" ехр ( — а) РЯ=й)=, (к=0,1,2,...). 153 б 23. Математическое ожидание Пронумеруем станки слева направо от 1-го до и-го и обозначим через Вк событие, состоящее в том, что рабочий находится у станка с номером я.
Так как все станки по условию задачи однотипны, то вероятность р; того, что следующим станком, потребующим внимания рабочего, будет станок с номером т, равна !/и (! < ! < и). Величина перехода Л в этом случае равна !Ы ! (Й вЂ” 1)а пРи )4 > 1, Л; ((з — я)а при и < з. По определению д я но1в„з = — (З 1г — Я ~ З а — ьг ) = г=1 1=к+1 -( (~ )+( ~)( +!)1 [2 ' — 2( + ))4+ ( + )~. и), 2 2 / 2и Вероятность рабочему находиться у )г-го станка равна 1/и, поэтому по формуле (5) находим, что я МЛ = 2; — з [гй' — 2(и+ !)к+ и(и+ 1)~.
2из Известно, что з и(и+ 1)(2и+ 1) 6 й=г поэтому о(и' — 1) ! / 1'1 МЛ ге = - [1+ -/у, би где ! = (и — 1)а означает расстояние между крайними станками. Математическим ожиданием и-мерной случайной величины (с1, (и . ..., С„) называется совокупность и интегралов ал = / "° / ха г(Р(х1,..., хы "., хя) = / х г(Рд(х) = Мсд, где Рв(х) — функция распределения величины Св 1) )ыы не даем формального определения и-мерного интеграла Стилтьеса, во-первых, потому что фактически будем рассматривать только дискретные и непрерывные случайные величины и, во-вторых, потому что, по существу, для теории вероятностей нухгна не общая теория интегралов Стилтьеса, а теория абстрактного интеграла дебета (см.
об этом подробнее в пь 1 монографии Гнеденко и Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин», 1949 г). 154 Глава 5. Числовые кврвктеристики случайных величин П ример 5. Плотность распределения двумерной случайной величины (Сн Сз) задана формулой (двумерное нормальное распределение) 1 р(хн хт) = х 2ва аззт! — г' зт х ехр 1 г(х~ — а) 2г(х~ — а)(хз — Ь) (хт — Ь) + а~аз аз найти ее математическое ожидание.
По определению и ат = О хзр(хн хт) йх' йх~ 1 хьорт(хг) г(хь В примере 2 з 22 мы видели, что 1 ! (х1 — а)2 1 р~(х~) = ехр 1!- а~ 42~г ( 2а, 1 ( (хз-ь)21 р( )= ехр1- (, аз42в ( 2о; поэтому согласно результатам примера 1 настоящего параграфа находим, что а~ =а, а!=Ь. Нам удалось выяснить вероятностный смысл параметров а и Ь также и для двумерного нормального распределения.
В 24. Дисперсия Дислерсией случайной величины С называется математическое ожидание квадрата уклонения с от Мс. Мы условимся дисперсию обозначать символом ОС. Таким образом, по определению 0(=М(4 М0 =/хира(п), о где через Рт(х) обозначена функция распределения случайной величины ту = (С вЂ” МС)з, В практических расчетах используется другая формула, а именно ~=1( -мВ ().
(2) Эквивалентность формул (1) и (2) непосредственно вытекает из следующего общего прелложения. О 24. Дисперсия Теорема. Если РО(х) — функция распреДеления случайной величины С, у (х) — непрерывная функция, поо Му(С) = / у(х) йЕО(х). Мы ограничимся сейчас доказательством этой теоремы лишь в про- стейшем случае у(х) = (х — МОз. Найдем связь между функцией распределения Е (х) величины г) = = (С вЂ” МС)з и функцией распределения РГ(х) величины С. Имеем: Ео(х) =0 при х< 0, апри х>0 Го(х) = Р(О < х) = Р((С вЂ” М~) < х) = Р( — з/х < С - МС < т/х ) = =Р(М~-,/*<й<М(+,/~) =Е,(Мй+,/*)-Ю',(М~-,~х+О). Формула (1) переписывается так: О~ = / хдЩМ~+,Г ) — Е,(Мй — Л+О)) = о ы,(мй+,~~) — / х йк, (му — з/*+ О).
В первом интеграле произведем замену я = МС + ~Гх, а во втором— замену л = МС вЂ” з/х, в результате х дало(М(+з/х) = / (я — МС) дРГ(г), о ьц Оо мг х йРГ(м( — з/х+ О) = — (х — МС) йРО(я). о -ОО Таким образом, 1 (л — мс)' аяг('). Так как (я — М~) = я — 2ям~+ (МО и М(' = / я г(ЕГ(я), то формула (2) может быть записана иначе 156 Глава б.
Числовые характеристики случвйнык величин Так как дисперсия является неотрицательной величиной, то из последнего соотношения мы выводим, что (*~~ (Д*,«) Это неравенство представляет собой частный случай известного неравенства Буняковского — Коши. Подобно математическому ожиданию, дисперсия существует не лля всех случайных величин. Так, рассмотренный нами ранее (пример 5 б 21) закон Коши не имеет конечной дисперсии. Рассмотрим примеры вычисления дисперсии. Пример 1. Найти дисперсию случайной величины С, равномерно распределенной в интервале (а, Ь). В нашем примере ь =/ Г хз Ь' — аз Ь'+ аЬ+ аз х г(л((х) = / — дх = ,/ Ь-а З(Ь-а) З В предыдущем параграфе было найдено а+Ь Мс = —.
2 Таким образом, а' + аЬ+ Ь' ьт а + Ь'1 ' (Ь вЂ” а)' Ос = 2 / 12 Мы видим, что дисперсия зависит только от длины интервала (а, Ь) и является возрастающей функцией длины. Чем больше интервал значений, принимаемых случайной величиной, т.е. чем больше рассеяны ее значения, тем больше дисперсия. Дисперсия, таким образом, играет роль меры рассеяния (разбросанности) значений случайной величины около математического ожидания.
Пример 2 Найти дисперсию случайной величины С, распределенной по нормальному закону 1 ( (х — а)з '1 р(х) = ехр с— ст/2я в11. 2сз Мы знаем, что МС = а, поэтому 1 Г, Г (х — а) 1 ОЬ'= / (х — а) р(х)Их= — / (х — а) ехр с —, ~ дх. сч/2яв,/ ~( 2с' Произведем под интегралом замену переменных, положив х — а в 24.
Дисперсия при этом Интегрированием по частям находим, что Таким образом, окончательно Обево . Мы выяснили, таким образом, вероятностный смысл второго параметра, определяющего нормальный закон. Мы видим, что нормальный закон распределения полностью определен математическим ожиданием и дисперсией. Это обстоятельство широко используется в теоретических изысканиях. Заметим, что и в случае нормально распределенной случайной величины дисперсия позволяет судить о рассеянии ее значений. Хотя при любых положительных значениях дисперсии нормально распределенные случайные величины могут принимать все вещественные значения, все же рассеяние значений случайной величины будет тем меньше, чем меньше дисперсия; при этом вероятности значений, близких к математическому ожиданию, будут больше.
Это обстоятельство было отмечено нами в предыдущей главе при первоначальном знакомстве с нормальным законом. Пример 3. Найти дисперсию случайной величины Л, рассмотренной в примере 4 $ 23. Сохранив обозначения примера 4, находим, что м(е/в! = -(~!ь-!!' '.~ ~ !!-ь!' ') = $=! !=к+ ! аг = — ((й — 1)!с(2Й вЂ” 1) + (и — Й)(п — й+ 1)(2п — 2/с+ 1)) бп аг — — (б!г — б(п+ 1)!с+ (2п+!)(и+ !)) 6 и, следовательно, в м(л') =-~ м(л'1в,) = ь=! а2 г а' — (п(п+ !)(2п+1) З(п+ !)зп+п(и+1)(2п+1)) (пз !) бп 6 158 Глава 5. Числовые кврвктвристики сяучвйнык величин Отсюда следует, что О(Л) = М(Л ) — (МЛ) = — (и — 1)— 2 дз 2 д2(н2 «2 6 9п2 д2(пз «(п2 + 2) 12 2 2 — 1+ + + 18п2 ! 8 ~ и — 1 п(п — «п2(п — 1) Дисперсией и-мерной случайной величины (С), Ь2,...,(„) называется совокупность п2 постоянных, определяемых формулой »„=! ...!' ),— м»))ь — мь)»тьц, ...,*.) (4) (1 < й < и, 1 < у < и).
Так как при любых вещественных 1; (! < у < и) 1( -) г ь зз я ь ... /~~» 1,(х,— Мху)~ ИГ(х),хз,...,х„)=~~'"~ Ь,к111к>О, 2=) 2=) К=) то, как известно из теории квадратичных форм, величины Ьтк удовлетво- ряют неравенствам Ь Ь ...Ь >0 при Ь=!,2,...,п. Ьы Ью ... Ькк Очевидно, что Ь = О~к. Величины Ь.к при Ь ~ 2' называются смешаяяыми центральными мамектами 2-га порядка величин С и Ск„очевидно, что Ь к = Ькз. Следующая функция моментов второго порядка »2 Г»2 = ать;;Ь" носит название казффицаеяя»а корреляции между величинами С; и С .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
