Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Требуется найти функцию распределения частного г, = 6/г7. Согласно определению, РС(х) = РЯ/г! < х). Если 6 и г! изображают координаты точки на плоскости, то РС(х) равна вероятности того, что точка (С,г1) попадает в область, координаты точек которой удовлетворяют неравенству (/г! < х. На рис. 17 эта область заштрихована. Таблица 13 Согласно обшей формуле, искомая вероятность равна Рс(х) = / / р(у, л) ду <Ь + о — оо о со + / / Р(у,л)оуал. (7) Отсюда вытекает, что если С и о) независимы, а Р~(х) и Рз(х) — их плотности распределения, то Рис. 17 лС(х) = / л1(хл)рз(л) ел+ / (1 — Р)(хл))рз(л) "л. о -00 Продифференцировав (7), находим, что оо о РС(х) /лР(лх,л) Ж / лр(лх л) 1л. о — СО В частности, если С и о7 независимы, то оо о РЮ вЂ” / лРАлх)Рз(л) 1л У лР~(лх)Рз(л) 4». (7') (8) (8') 136 Глава 4.
Случайные величины и функции распределения ззу в 21. Функции от случейнык величин Пример о. Случайная величина ((,т1) распределена по иормальиому закону 1 1 ~хз хр у!1 1 р(х, р) = ехр — —, — 2г — + —,1 1. 2яа~азЯ г~ 'х 2(1 — г)) ~а~~ а~аз аз! 3 Найти функцию распределения частного ~ = (/т1. По формуле (8) =...,.,';,, [Й1" 1 /' ~' л~ азах~ — 2га|азх+ а1 1 — / лехр ха~аз~/à — гт У ~ 2(1 — гз) а! аз о Произведем под интегралом замену, положив лз аззхз — 2га~азх + аз 2 2 2(1 — гз) Выражение для р!(х) при этом принимает такой вид: а~а,ъП вЂ” г' т а|азт/! — г' рс(х) = з l ехр( — и)ди= я(азх~-2га~азх+аД у х(а,х' — 2га~азх+а',) а если, в частности, величииы ( и т! независимы, то рс(х) = а ( т' + а'х') ' Плотность распределения величины ~ называется законом Конти.
Пример 6. Распределение Стьюдента. Найти Функцию распределения частного (' = Е/т), где ( и т) — независимые величины, причем Е распределено по нормальному закону рт(х) = — ехр а т! = З~/~/й (см. пример 3), 138 Глава 4. Случайные величины и функции распределения Согласно формуле (8') Сделав замену г и= — (х +1), 2 находим, что /и+1'1 , -(л-ы>/з г~ — ~ (х + 1) /' („0П ~ 2 ) з -(к.ти/з ,яг( /г) / " '"р( ),яг(~у2) ( в Плотность распределения вероятностей Г и+1 ) 2,/ з -(к+0/2 Р((х) =,~я Г(и(2) (1+ х ) носит название закона Стьюдента (Стьюдент — псевдоним английского статистика Гассета, впервые нашедшего этот закон эмпирическим путем). При и = 1 закон Стьюдента превращается в закон Коши.
Пример 7. Поворот осей координат. По функции распределения дву- мерной случайной величины (С,(1) найти функцию распределения вели- чин С =Ссоза+г/з(па, (9) г/' = -с з(п а + г/ сок а. Обозначим через Р(х, у) и Ф(х, у) функции распределения величин (С, г)) и (Е, г)') соответственно. Если мы станем изображать (С, г/) и (С', к/) как прямоугольные координаты точки на плоскости, то легко видеть, что система осей ЕОг/' получается из системы ~Ог/ путем поворота последней на угол а. Мы ограничимся случаем 0 < а < к/'2, предоставив читателю вывод аналогичных формул для остальных значений а. Обозначим через р(х, у) плотность распределения вектора (С, (1) и че- рез х(х, у) — вектора (Е, г)').
Из (9) находим, что С =С сова — г1 з(па, 0=( з(па+г/ сока. и, следовательно, к(х, у) = р(х сок а — уз(па, х сока+ у сова). (10) 5 21. Функции от случейнык величин 139 Это равенство дает возможность получить формулу, связывающую Функции распределения векторов (С, г|) и (С', и'). При разыскании формулы следует учитывать геометрическую картину. Пример В. Двумерная случайная величина (С, г|) распределена по нормальному закону 1 ! 1 ~хз ху уз11 р(х, у) = ехр Е- — — 2т — +— 2яе[езЯ вЂ” тт ( 2(1 — тз) '|ез а[аз езз1 ) ' Найти плотность распределения случайных величин С =Ссова+уяпа, г|' = — С в!и а + г| сов а. Согласно равенству (10) я(х~, у~) = р(х сов а — у яп а, 2ее е lГ-тз ( 2(1 — т~) где обозначено х в!п а+ у сова) = сов~а соваяпа япза + е[ О'1 о'2 Гз сов аяп а в!п~ а — совз а совал!па  — — т е2 е[ез е2 яп' а сов а яп а сов~ а С= — +2г 2 + а[ е[ез г Из полученной формулы мы заключаем, что поворот осей переводит нормальное распределение в нормальное.
Заметим, что если угол а выбран так, что 2те[ез гя2а = е2 Г™ ! 2 то В = 0 и 1 Ахп Ву" я(х,у) = ехр 2яе[езЛ вЂ” т' ( 2(| — тз) 2(1 — гз) Это равенство означает, что любая нормально распределенная двумерная случайная величина путем поворота осей координат может быть приведена к системе двух нормально распределенных независимых случайных величин. Этот результат может быть перенесен на и-мерные случайные величины. Можно доказать более сильное предложение, исчерпывающе характеризующее нормальное распределение вероятностей. Пусть распределение 141 5 22.
Интеграл Сгилгьесе то этот предел называется интегралом Стилтьеса от функции у(х) по функции Р(х) в промежутке ( — оо, со) и обозначается / у(х) дР(х). Можно доказать, что если функция у(х) непрерывна и ограничена, то предел суммы (1) сушествует, как в случае конечных, так и в случае бесконечных пределов интегрирования. В некоторых случаях интеграл Стилтьеса существует и для неограниченных функций у(х).
Для теории вероятностей рассмотрение таких интегралов представляет значительный интерес (математическое ожидание, дисперсия, моменты и пр.). Заметим, что всюду в дальнейшем мы считаем, что интеграл от функции у(х) существует тогда и только тогда, когда существует интеграл от ]г (х)] с той иге интегрирующей функцией Р(х). Для целей теории вероятностей важно распространить определение интеграла Стилтьеса на тот случай, когда функция у(х) может иметь конечное или счетное множеспю точек разрыва. Можно доказатьеу, что всякая ограниченная функция, имеюшая конечное или счетное множество точек разрыва, в частности, всякая функция ограниченной вариации, интегрируема при любой интегрируюшей функции ограниченной вариации.
При атом требуется несколько видоизменить само определение интеграла Стилтьеса, именно, при образовании предела (1) надо рассматривать только такие последовательности подразделений интервала интегрирования на части, что каждая точка разрыва у(х) входит в число точек деления всех подразделений, за исключением, быть может, конечного числа их. Заметим, что при установлении пределов интегрирования важно указывать, включается в промежуток интегрирования или нет тот или иной его конец. Действительно, из определения интеграла Стилтьеса мы получаем следуюшее равенство (символ а — О означает, что а включено в промежуток интегрирования, а символ а+Π— что а исключено из него): ь н у (х) дР(х) = 1пп ~ у (х;) [Р(х») — Р(х; »)) = в-О ""»=1 и = !пп гт» ~(хь) [Р(хь) — Р(хг»)] + 1пп ~(х») [Р(х») — Р(хо)1 = »=2 ь = / У(х) дР(х)+ У(а)1Р(а+ О) — Р(а)].
в+О ~» См. Глиеелио В. Н. Интеграл Стиле»сок М.— Лл Главная редакция обглетелническол литературы и номогрвфии, Г936. С.! 16. 142 Глава 4. Случайные величины и функции распределения Таким образом, если у(а) ~ 0 и функция Р(х) имеет скачок при х = о, то ь ь ~(х) ь(Р(х) — / ~(х) г!Р(х) = ~(о)[Р(а+ О) — Р(а — О)]. а — 0 ь+О Это обстоятельство указывает иа то, что интеграл Стилтьеса, распространенный иа промежуток, сводящийся к одной точке, может давать отличный от нуля результат. Мы условимся в дальнейшем, если ие будет сделано особой оговорки, правый конец промежутка исключать, а левый включать в интервал интегрирования.
Это условие позволяет написать следующее равенство: ь!Р(х) = Р(Ь) — Р(а). ь В самом деле, по определеиию, ь л ЙР(х)= !!гп ~ [Р(х!) — Р(х! !)] = !ип [Р(х„)-Р(хь)] =Р(Ь)-Р(а) з=! (иапомиим, что Р(х), по определению, непрерывна слева и для иее, следовательно, Р(Ь) = !пп Р(Ь вЂ” с)).
г->О В частности, если Р(х) есть функция распределения случайной величины С, то ь!Р(х) = Р(Ь) — Р(а) = р(а < С < Ь), Г ь!Р(х) = Р(Ь) = р(С < Ь). Если Р(х) имеет производную и является интегралом от иее, то из того, что по формуле конечных приращений Р(хь) — Р(хь,) = р(х;)(х; — хь,), где х! ! < х; < хь, следует равенство ь у(х) ь!Р(х) = !пп ~~» у(х!)[Р(х!) — Р(х; !)] = ь=! п ь = !ьщ ~ ~, 'Нх!)р(х!)(х! — хь- ) = / У(х)р(х) йх. ь=! Мы видим, что в этом случае интеграла Стилтьеса сводится к обыкновен- ному интегралу.
б 22. Интеграл Стилтьеса Если Р(х) имеет скачок в точке х = с, то, выбрав подразделения так, что при некоторых значениях индекса хь < с < хье), имеем: ь ь у(х) о!Р(х) = !!в ~~) у(х!) [Р(х!) — Р(х! !)~ + а о=! + ~(с)[Р(хь+!) — Р(х,)[+ 1ии ~) У(х!) [Р(х!) — Р(х; !)] = о=ье2 о ь =! )))от! ° )о! )))от! )о)) ))т) оо)-т! — 0)!. оьо В частности, если изменение функции Р(х) происходит только в точках с),сг,...,с,..., то ь 00 у(х)!Р(х) =',Ь у(са)[Р(с„+О)-Р(„-О)~, а О=! и интеграл Стилтьеса сводится к рялу. Перечислим основные свойства интеграла Стилтьеса, которые иам потребуются в дальнейшем.
Доказательства этих свойств легко могут быть проведены читателем, исходя из определения интеграла Стилтьеса и пользуясь рассуждениями, используемыми втеории обычною интеграла. 1. Приа<с)<сз«...са<Ь Ь а ЧО !'(х) г(Р(х) = ~~ / у(х) )!Р(х) [а = со, Ь = с +)[ О о=о 2. Постоянный множитель выносится за знак интеграла Ь ь с~(х) о!Р(х) = с / У(х) г!Р(х). О а 3. Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов ь ь 1'2',Ы.) ! ) =Е1'и.) оо).).
а о=! а 4. Если у(х) > О и Ь > а, то ь з~ У(х) г!Р(х) > О. О Упражнения 145 3. Из точки (О,а) проведена прямая под углом р коси Оу. Найти функцию распределения абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох, если а) угол уз равномерно распределен в промежутке (О, тг/2); б) угол уз равномерно распределен в промежутке (-э/2, я/2). 4. На окружность радиуса 22 с центром в начале координат наудачу брошена точка [иными словами, полярный угол точки попадания равномерно распределен в промезкутке (-х, х) [.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
