Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(1+ (й — 1)д) б) ря — — Р(б = й) — ( ) ч1+ аЛ) й! ря при всех й > О, где а > О, Л > 0 и ря —— Р(б = О) = (1+ дЛ) 'т . Зто распределение носит название расяределение Пала, Найти Мб и 05. Упражнения 2. Пусть р — число появлений события А в и независимых испытаниях, в каждом из которых Р(А) = р. Найти а) Мрз, б) Мр~, в) М1р — пр~. 3. Вероятность появления события А в Ь-и испытании равна ра. Пусть р— число появлений события А в и первых независимых испытаниях. Найти и и а) Мр, б) 0р, в) М(р — ~ ~р;), г) М(р — ~~~ р;) . ны ны 4. Доказать, что в условиях предыдущей задачи максимум 0р достигается 1 ~ лля данного значения а = — з р, при условии и 1 Р~ =Рэ =" ° =Р 5.
Пусть Р— число появлений события А в и независимых испытаниях, в каждом из которых Р(А) = р. Пусть, далее, величина О равна О или ! в зависимости от того, оказалось р четным или нечетным. Найти МО. 6. Плотность распределения случайной величины С равна 1 Г 1х — а! 1 р(х) = — ехр <в 2а ( а ) (раснределение Ланласа). Найти МС и 0С. 7. Плотность распределения абсолютной величины скорости молекул дается распределением Максвелла 4х ( х1 р(х) = — ехр~- — ~ при а > О ",у.- и р(х) = О при а < О, а > Π— постоянная. Найти среднюю скорость молекулы, ее лисперсию, среднюю кинетическую энергию молекулы (масса молекулы равна тп) и дисперсию кинетической энергии.
В. Плотность вероятностей молекуле, находяшейся в броуновском движении, отстоять на расстоянии х от озталкиваюшей стенки в момент 1, если в момент 1е — — О она отстояла на расстоянии хе, дается формулой „.,=(...(-(- ... )-(- ... )) -" ' О при а<О. Найти математическое ожидание и дисперсию величины перемещения молекулы за время от 1е до 1 (Р— постоянная). 9.
Доказать, что для произвольной случайной величины С, возможные значения которой находятся в промежутке (а, Ь), выполняются слелуюшие неравенства (ь — а)' а<м5<Ь, 05~< —. 10. Пусть хн хн..., х„— возможные значения неотрипательной случайной величины С. Доказать, что прн и -+ оо М(нь~ а) „-г шах х,, б) ~/Щ" -+ шах х,. МС" ь<яэкз г<аэ<а Глава 6 Закон больших чисел Е27. Массовые явления и закон больших чисел Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеюшие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль лля всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт дает право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходяшие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными.
При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий, с которыми приходится иметь дело. Так, например, если бы при измерении расстояния межлу двумя селениями оказалось, что оно равно 5 340 м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше 20 м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать, что расстояние действительно равно 5 340 м.
Таким образом, в нашем примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несушественным и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже еше меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидроэлектростанции, требующей огромных материальных затрат и человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и прн проектировании станции она должна быть учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере. Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или иные события практически невозможными или практически достоверными.
В то же время необходимо заметить, что любое событие, имеющее положительную вероятность, как бы мала ни была эта вероятность, может произойти, и если число испытаний, в кажлом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то эта вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице. Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду. Однако если вероятность некоторого события очень мала, то чрезвычайно трудно б 27. Массовые явления и закон большик чисел 175 ожидать его появления в каком-либо заранее определенном испытании. Так, если некто утверждает, что при первой же раздаче карт между четырьмя партнерамн каждый получит карты только одной масти, то естественно заподозрить, что при раздаче руководствовались каким-то определенным соображением, например, расположили карты в определенном, известном сдающему, порядке.
Эта наша уверенность основывается на том, что вероятность такой раскладки при хорошей тасовке равна (9!)х4!/36! < 1,1.10 '", т.е. чрезвычайно мала. Тем не менее однажды факт такой раскладки карт был зарегистрирован. Этот пример достаточно хорошо иллюстрирует различие между понятиями практической невозможности и невозможности, так сказать„категорической. Из сказанного понятно, что в практической деятельности, да и в обшетеоретических задачах, большое значение имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю.
Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице: при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.
Закон больших чисел является одним из таких предложений теории веровтностей и при том важнейшим. Под законом больших чисел теперь было бы естественно понимать всю совокупность предложений, утверждающих с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние.
Это общее представление о теоремах типа закона больших чисел можно сформулировать и несколько определеннее: пусть дана последовательность случайных величин 6н6, ",с., " (1) Рассмотрим случайные величины г,„, являющиеся некоторыми заданными симметрическими функциями от первых п величин последовательности (1): ь.
=Ь(сп6, ",6) Если существует такая последовательность постоянных ап аз,..., а„,..., что при любом с > 0 (2) йгп Р(~~„— а„~ < с) = 1, то последовательность (1) подчиняется закону больших чисел с заданными функциями ~„. Обычно, однако, в понятие закона больших чисел вкладывается гораздо более определенное содержание. А именно, ограничиваются тем случаем, когда ~„есть среднее арифметическое величин (ы Сз,..., ~„. Если в соотношении (2) все величины а„равны одной и той же величине а, то говорят, что случайные величины г,„сходятся по вероятности к а. В этих терминах соотношение (2) означает, что ~„— а„сходится по вероятности к нулю.
178 Глава б. Закон больших чисел Доказательство. Мы знаем, что в условиях теоремы о('г ь)= ',гьь »=! »=! и, следовательно, о(- ~'»„) ~ Согласно неравенству Чебышева о(-~»,) >1 — >! — —. с' пез ь ь — — М~» < »=! »=! Переходя к пределу при и -+ ь 1пп Р~ — ~~! С» и-~т П »=! со, получаем, что ь — — г м»,<)ьь »=! А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда следует утверждение теоремы. Мы отметим некоторые важные частные случаи теоремы Чебышева. 1.
Теорема Бвриулли. Пусть Р— число наступлений события А в и независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было е > О, !!шр — — р <е =1. Доказательство. Действительно, введя случайные величины !»», равные числу наступлений события А при й-м испытании, имеем: и = и! +Рз+" +Ил.
А так как 1 Мр,=р, С!и»=рд<-, 4' то теорема Бернулли является простейшим частным случаем теоремы Чебышева. Так как на практике часто неизвестные вероятности приходится приближенно определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. При этом рассматривались события, вероятности которых можно считать по тем или иным соображениям известными, относительно которых легко проводить испытания и обеспечить независимость испытаний, а также постоянство вероятностей в каждом из испытаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
