Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если независимые случайные величины (~ и Сг распределены нормально, то их сумма С = (~ + Сг также распределена нормально. Действительно, если Мб,=о,, О6,=,; Мб=ог, Ц =о, г, г то характеристические функции величин (~ и Сг равны У~(1) = ехр го~! — -о~! 21 Уг(1) = ехр т !аг! — -ог1 г. г г1 ( ! гг! По теореме 3 6 32 характеристическая функция Г(!) суммь< равна Это — характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием а = а~ + ог и дисперсией ог = аг + ог.
На основании теоремы единственности заключаем, что функция распределения величины С нормальна. Обратное предложение, доказанное Г Крамером и сформулированное нами в а 21, в терминах характеристических функций может быть сформулировано следующим образом: если Г1(1) и Гг(!) — харакверисвические функции и !г 1 У~(!) Уг(!) =ехр ~--~, 2) ' 033. Формула обращения и теорема единственности 207 то Л(1) = ехр (1 — аз)1з 1 Уз(1) = ехр -зос— 2 (0(а< 1), Р(с = й) = (Л~ + Лз) ехр (-(Л~ + Лз)) (й > О). Д.А. Райков доказал обратное, более глубокое предложение: если сумма двух независимых случаанмх величин распределена по закону Пуассона, пго каждое слагаемое также распределено по закону Пуассона. Пример 3.
Характеристическая функция вешественна тогда н только тогда, когда соответствующая ей функция распределения симметрична, т. е, когда при любых х функция распределения удовлетворяет равенству Р(х) = 1 — Р( — к+О). Если функцив распределения симметрична, то ее характеристическая функция вещественна. Если с имеет симметричную функцию распределения, то как с, так и — Е распределены одинаково. Значит, имеет место равенство З (1) = М ехр (»1С) = М ехр ( — »1Я = у( — 1) = ~(Ц, которое и означает, что Я) вешественна. Для доказательства обратного предложения рассмотрим случайную величину з1 = — С. Функция распрелеления величины т1 равна 6(х) = Р(п < х) = Р(С > — х) = 1 — Р( — х+ О).
Пример 2 Независимые случайные величины (~ и Сз распределены по закону Пуассона, причем Л"; ехр ( — Л1) Лс ехр ( — Лз) й! й! Докажем, что случайная величина С = (~ + Сз распределена по закону Пуассона с параметром Л = Л~ + Лз. Действительно, в примере 2 предыдушего параграфа мы нашли, что характеристические функции случайных величин ~~ и тз равны У~(1) = ехр (Л~(ехр (»1) — 1)), Уз(1) = ехр (Лз(ехр (з1) — 1)).
В силу теоремы 3 предыдущего параграфа характеристическая функция суммы с' = (~ + сз равна З(Ю) = З1(1) Я1) = ехр ((Л~ +Лз)(ехр(»3) — 1)), т.е. является характеристической функцией некоторого закона Пуассона. Согласно теореме единственности единственное распределение, имеющее Я) своей характеристической функцией, есть закон Пуассона, дяя которого 208 Глава 7.
Характеристические функции Характеристические функции величин С и и связаны соотношением д(!) = М ехр (!!0) = М ехр (-мС) = М ехр (й!С) = Я). Так как по условию 7(!) вещественна, то 7(!) = Я) и, значит, д(!) = У(!). Из теоремы единственности мы теперь заключаем, что функции распределения величин С' и г) совпадают, т.е. что Р(х) = 1 — Р(-х+О), что и требовалось доказать. 534. Теоремы Хеппи В дальнейшем нам потребуеются две теоремы чисто аналитического характера — первая и вторая теоремы Хелли.
Условимся говорить, что последовательность неубывающих функций Р~(х) Рз(х) " Ри(х) сходится а основном к неубывающей функции Р(х), если при и -+ оо она сходится к этой последней в каждой ее точке непрерывности. Впоследствии мы всегда будем считать, что функции Ри(х) удовлетворяют добавочному условию Ри( оо) — 0 и не станем далее этого оговаривать. Отметим сразу же, что для сходимости а основном достаточно, чтобы последовательность функций сходилась к функции Р(х) на каком-нибудь всюду плотном множестве Р. Действительно, пусть х — любая точка и х' и хи — какие-нибудь две точки множества Р, такие, что х' < х < х".
При этом также Ри(х ) < Ри(х) < Ри(х ). Следовательно, !пп Ри(х ) < 1пп Ри(х) < 1пп Ри(х) < 1пп Ри(х ). и-кю и >00 и-кю и-кю А так как по предположению 1пп Ри(х') = Р(х') и 1!ш Ри(хи) = Р(хи), то и Р(х') < 1пп Ри(х) < 1пп Ри(х) < Р(хи). и-кю и-кю Но средние члены в этих неравенствах не зависят от х' и х", поэтому Р(х — О) < 1пп Ри(х) < 1пп Ри(х) <Р(х+О). и кю «-кю 209 б 34. Теоремы Хеппи Если Функция Р(х) в точке х непрерывна, то Р(х — О) = Р(х) = Р(х+ О). Следовательно, в точках непрерывности функции Р(х) !пп Рп(х) = Р(х). п.п«« Первая теорема Хеппи. Встал последовательность ограниченных в совокупности неубывающих функций Р~ (х), Рг(х),..., Рп(х),... содергкит по крайней мере одну подпоследовательность «п,(х), Рп,(х), ", Рп«(х) сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции Р(х).
Доказательство. Пусть Р— какое-нибудь счетное всюду плотное множество точек х',, х',..., х'„,.... Возьмем значения функций последовательиости (1) в точке х', Р,(х',), Рг(х',), ..., Рп(х',), . Так как множество этих значений, по предположению, ограничено, то оио содержит по меньшей мере одну подпоследовательиость Рп(х~), Р~г(х~), "°, Р~п(х~), ° (2) сходящуюся к некоторому предельному значению, которое мы обозначим через С(х',).
Рассмотрим теперь множество чисел «ц(хг) «п(хг) "° Ры(хг) Так как и зто множество ограничено, то существует в ием подпоследовательиостьп сходящаяся к некоторому предельиому значению 6(хг). Таким образом, из последовательности (2) мы можем выделить подпоследовател ьиость Рг~(х), Ргг(х), ..., Ргп(х), ..., (3) для которой олиовремеиио !пп Ргп(х',) = 6(х',) и 1пп Ргп(х',) = С(х~).
«-кю и-««« Продолжим такое выделение подпоследовательиостей (4) Рй!(Х), Рйг(х)... Рйп(х), лля которых одновременно имели бы место равенства 1пп Рйп(х'„) = С(ж'„) и-««« при всех г < /с. Составим теперь диагональную последовательность Рп(х), Ргг(х)..., Рпп(х), (5) г!В Глава 7. ларакгеристическпе функции Вся она в конечном счете вьщелена из последовательности (1), поэтому для нее !пп Р„»(х',) = С(х',).
Далее, так как вся диагональная »-«ь» последовательность, за исключением лишь первою члена, выделена из последовательности (2), то 1пп Р«н(х') = С(х',). Вообще, вся диагональная » -««О последовательность, за исключением первых ее Й вЂ” 1 членов, вьиелена из последовательности (4); поэтому лля нее также 1пп г»ь(хгь) = С(х'„) и-кь при каждом Ь.
Полученный результат можно сформулировать так: последовательность (1) содержит по крайней мере одну подпоследовательность, которая во всех точках х' множества Р сходится к некоторой функции С(х), опрелеленной на множестве Р. При этом, так как функции Р»ч(х) не убывают и равномерно ограничены, то, очевидно, и функция С(х) будет неубывающей и ограниченной. Теперь ясно, что функцию С(х), определенную на множестве Р, можно продолжить так, что она будет определена на всей прямой — со < х < оо, оставаясь неубывающей и ограниченной. Последовательность (5) сходится к этой функции на всюду плотном множестве Р; следовательно, она сходится к ней в основном, что и требовалось доказать.
Заметим, что функция, полученная продолжением функции С, может оказаться не непрерывной слева. Но мы можем изменить ее значения в точках разрыва так, чтобы восстановить это свойство. Подпоследовательность г'„„будет сходиться и к таким образом «поправленной» функции. Вторая теорема Хеппи.
Пусть 7(х) — непрерывная функция и пусть последовательность неубывающих, ограниченных в совокупности функций Р,(х), гз(х), ..., Р„(х), ... сходится в основном к функции г'(х) на некотором конечном интервале а < х < Ь, где а и Ь вЂ” точки непрерывности функции г'(х); тогда ь ь 1пп / 7(х) ая'„(х) = / У(х) ИР(х). Доказательство. Из непрерывности функции 7(х) вытекает, что как бы мало ни было положительное постоянное г, найдется подразделение интервала а < х < Ь точками хь = а < х~ < ... < хн = Ь на частичные интервалы хь < х < хв ы такое, что в каждом интервале (хы хь~.1) будет выполняться неравенство 17(х) — 7(хь)) < г.
Пользуясь этим обстоятельством, мы можем ввести вспомогательную функцию 7«(х), принимающую только конечное число значений, определив ее посредством равенств Ях) = 1(хь) при хь < х < хьеь Очевидно, что для всех х в интервале а < х < Ь выполняется неравенство 17(х) — 7,(х)~ < е.
211 Ь 34. Теоремы Хеппи При этом мы можем заранее выбрать точки деления хн хз,..., хь ~ так, чтобы они были точками непрерывности функции Р(х). В силу сходи- мостн функций Р~(х), Рз(х), Рз(х), ... к фун«ции Р(х), при достаточно больших и во всех точках деления будут выполняться неравенства е !Р(хи) — Р.(хин < —, МУ' (6) где М вЂ” максимум модуля у(х) в интервале а < х < Ь. Без объяснений ясно, что ь ь ь ь 1 а™/*.* 1* — Г, 0 а и а ь ь ь ь ° 1 . ()-1 *)дР(*). У у(*)дР(*)-1У(*)йР(*) Нетрудно подсчитать, что первое слагаемое правой части не превосходит с(Р(Ь) — Р(а)), а третье не превосходит е [Р„(Ь) — Р„(а)) .
Что же касается второго слагаемого, то оно равно У(хи) [Р(хи ь ) — Р(хи)1 — ~~~ Яхи) [Р (хи -1 ) — Р (хи)1 и=о и=о н-1 и-1 у (хи) [Р(хи+ ~) — Рн(хи-ь1) ) — ~ У(хи) [Р(хи) — Рп(хи) ) может быть сделана сколь угодно малой вместе с в. Обобщенная вторая теорема Хелли. Есяи функция у(х) непрерывна и ограничена на всей прямой — оо < х < 00, посяедоваювяьность ограннченных в совокупносюн неубываюгцих функций Р,(х), Рг(х), ..., Р„(х), ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
