Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда очевидно, что вместе с С и г1 независимы также случайные величины ехр (ИС) и ехр (Игу). Отсюда вытекает, что Мехр(Иь) = Мехр(И((+г))) = М(ехр(И()ехр(Иг))) = = М ехр (ЩМ ехр (Из1). Это доказывает теорему. Глава 2 Характеристические функции Следствие. Если (=6+сз+ "+с причем каждое слагаемое независимо от суммы предыдущих, то характеристическая функция величины с равна произведению характеристических функций слагаемых. Отметим, что характеристические функции удовлепюряют равенству у(-с) = у(с).
Действительно, )( — г) = / ехр ( — зЫ) аР(х) = / ехр (зйх) аР(х) = ~(8), 2~ ~(0) = з йл4 . (3) Доказательство. Действительно, к-кратное (к < и) формальное дифференцирование характеристической функции приводит к равенству (Ф) — з / х ехр (вйх) ЛЕ(х). (4) Но х ехр(Их) дР(х) < / 1х! йе'(х) и, следовательно, в силу предположения теоремы ограничен. Отсюда следуют существование интеграла (4) и законность дифференцирования. Положив в (4) 1 = О, находим, что У" (О) = В / ~' др(*).
Математическое ожидание и дисперсия весьма просто выражаются при помощи производных от логарифма характеристической функции. В самом деле, положим ф(С) = 1п Г(С) (легко понять, что !пЯ) существует в некоторой окрестности нуля). Тогда Ф'(4) =— Г(~) у(с) Применение характеристических функций в значительной степени опирается на свойство, сформулированное в теореме 3.
Сложение независимых случайных величин, как мы видели а В 21, приводит к весьма сложной операции — композиции функций распределения слагаемых. Для характеристических функций эта сложная операция заменяется весьма простой — простым умножением характеристических функций. Теорема 4. Если случайная величина С имеет абсолютныймомент и-го порядка, то характеристическая функция величины 4 дифференцируема празипри Й<п 201 0 32. Определение и простейшие свойства Уп(1) У(1) — У'(1)]з Уз(1) Приняв во внимание, что у(0) = 1 и равенство (3), находим, что з11'(0) = у'(0) = зМС з1зп(0) = г (0) — [г'(0)] =з Мь — [зМз] = — Оь.
Отсюда МС = —,ззз (0), з ззС = — з11п(0). (5) а)г ) 1о(1) = — з1 ехр ~з1х — ) з(х. ~~/Я,/ ( 2аз ) Подстановкой х — а л = — Пзг а у(1) приводится к виду Производная и-го порядка логарифма характеристической функции в точке О, умноженная на зз, называется семиипоариантом Й-го порядка случайной величины. Как это непосредственно следует из теоремы 3, при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются. Мы только что видели, что первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т.е.
момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и второго порядков. Путем вычислений легко убедиться, что семиинвариант любого порядка и есть (целая) рациональная функция первых Й моментов. Для примера приведем явные выражения семиинвариантов третьего и четвертого порядков: з з]м(0) = — (М( — ЗМ( М(+ 2[М(] ), з зр (0) = МС вЂ” 4МС Мб — 3[МС ] + 12МС [МС] — б[МС] .
Рассмотрим теперь несколько примеров характеристических функций. Пример 1. Случайная величина С распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией аз. Характеристическая функция величины С равна 202 Глава 7. Характеристические функции Известно, что при любом вещественном а оо — Оа р(- — )а*= г. следовательно, <т»1» 1 оо(1) = ехр зае — — ~. 2 Пользуясь теоремой 4, мы можем без труда вычислить центральные моменты для нормального распределения и тем самым другим путем получить результат примера, рассмотренного в $ 26. Пример 2 Найти характеристическую функцию случайной величины с, распределенной по закону Пуассона. Согласно предположению величина С принимает только целочисленные значения, причем Р(С =и) = (1=0,1,2,...), Л" ехр (-Л) й! где Л > 0 — постоянная.
Характеристическая функция величины с равна Л» Я) = Мехр(о»Д = ~У ехр((ЩР(Д = я) = ~~о ехр(»Ы) —, ехр( — Л) = »=о »=о = ехр ( — Л) ~~>,, = ехр ( — Л+ Лехр (П)) = (Л ехр (П))» »=о = ехр (Л(ехр (»1) — 1)). Согласно (5) отсюда находим, что М(= —.ф'(О)=Л; 13(= — фн(О)=Л. Ф Первое из этих равенств было нами ранее (З 23, пример 3) получено непосредственно. Пример 3.
Случайная величина С равномерно распределена в интервале (-а, а). Характеристическая функция равна а Ых Гйп а8 У(1) = / р(П*) — = —. 2а а1 -в Пример 4. Найти характеристическую функцию величины р, равной числу появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Д 33. Формула обращения и теорема единственности 203 Величина р может быть представлена как сумма р р~+р2+ +рв и независимых величин, каждая из которых принимает лишь два значения О и 1, соответственно с вероятностями д = 1 — р и р. Величина р» принимает значение 1, если событие А происходит в й-м испытании, и значение О, если событие А в к-м испытании не происходит.
Характеристическая функция величины р» равна Г»(1) = М ехр (Ир») = ехр (и ° О)д + ехр (И ° 1)р = д + р ехр (И). Согласно теореме 3 характеристическая функция величины р равна н Г(1) = П Ь(1) = (д+ рехр (и))". »еп р — пр Найдем еше характеристическую функцию величины г! = Гйрдд По теореме 2 она равна Д(1) = ехр — И = ехр — И вЂ” д+рехр дехр — и — +рехр И 5 33. Формула обращения и теорема единственности Мы видели, что по функции распределения величины С всегда можно найти ее характеристическую функцию; для нас важно, что имеет место также обратное предложение: по характеристической функции функция распределения определяется однозначно.
Теорема 1. Пусть ~(1) и с (х) — характеристическая функция и функция раснределения случайной величины С. Если х~ и хз — точки непрерывности функции Р(х), то ь 1 Г ехр(-Йх~) — ехр( — 11хз) Р(хз) — Е(~~) = — 11~ / Г(1) й1. 2я с- со,/ И вЂ” с Доказательство. Нз определения характеристической функции сле- дует, что интеграл с чс — / . Г(1) и! 1 Г ехр(-Их|) — ехр( — Их,) 2я,/ и — с Глава 7. Характеристические функции 204 равен ехр (И(» — х~ Π— ехр ( — И(» — х1))— — ехр (И(» — хз)) + ехр ( — И(» — хз)) Ж 1 /' с!У(») = со с ) [обпб(» — х~) о1п1(» — хз) Из анализа известно, что при с -+ оо 1 с —,71-» 1 Г о!па! 2' (2) 1 о — если а<О, 2' и зта сходимость равномерна относительно а в каждой области а > б > 0 (соответственно а < -б), и при 1а~ < б, при всех с -'/""," (< . (3) о Положим для определенности, что хз > хы и представим интеграл,7, в виде следующей суммы: с~ — б особ сг — б сг+б оо '=/ / 1 / / "'**" -оо х~ — б с,+б сс-б сс+б где для краткости обозначено 1 Г 1 осп 1(» х~) яп 1(» хз) ф(с, »; хи хз) = — б ~ я,/ 51.
1 С о и д > 0 подобрано так, что х~ + б < хз — д. с .7, = — / / —. [ехр (И(» — х~)) — ехр (И(» — хг))) с!Р(») сИ. 2 /,7 И -с В последнем интеграле можно изменить порядок интегрирования, так как по» интеграл абсолютно сходится, а по 1 пределы интегрирования конечны. Таким образом, 1 Г Г Г ехр (И(» — х~)) — ехр (И(» — хз)) .7 =— 2 7 У И -с 533. Формула обращения и теорема единственности 205 В области -со < л < х~ — 6 имеют место неравенства л — х1 < — 6 и х — хг < -6. Поэтому мы на основании (2) заключаем, что при с -б оо 16(с, л; хи хг) 6Р(л) -б О.
Аналогично при хг + д < л < +оо и при с -г оо 16(с, л; хи хг) 6Р(л) -+ О. ю+б Далее, так как в области х1 + 6 < л < хг — 6 имеют место неравенства г — х, > 6 и л — хг < д, то согласно (2) при с-б оо хг-б я2 16(с, л; хы хг) 6Р(л) -+ 6Р(л) = Р(хг — 6) — Р(х1 + 6). я~+б ю+б Наконец, в силу (3) мы можем воспользоваться оценками ю+б ю-~-б и<*:*,,*б<ие~<г 1' <г(е=гщ*,+я — и„-<л х,-б ю-б я !+б ю+б Н«*ь.*б<н ~!<1 1< <П )=2ИЬ,«)-Н*,-<Х. ю-б ю Таким образом, находим, что при любом 6 > О !1пг,У< = Р(хг — 6) — Р(х~ + д) + Л~(6, хн хг) <-«ю и 11пг .7< — — Р(хг — д) — Р(х1 + д) + юг(6, хн хг), где )Щ(д,хмхг)! < 2(Р(х~+6)-Р(х1-6)+Р(хг+6) — Р(хг — 6)) (г = 1,2). Пусть теперь 6-б О.
При этом из того, что х~ и хг являются точками непрерывности функции Р(х), следуют равенства Ипг Р(х1 + 6) = 1пп Р(х~ — д) = Р(х~) б-<О б<0 11пг Р(хг+ д) = 11пг Р(хг — 6) = Р(хг). б-а б- о 206 Глава 7. Характеристические функции А так как .7, не зависит от д, то 1пп д, = е'(хг) — я'(х~). с-ню Равенство (1) носит название формулы обращения.
Мы используем эту формулу для вывода следующего важного предложения (теорема единственности). Теорема 2. функция распределения однозначно определяевся своей харакверистической функцией. Доказательство. Действительно, из теоремы ! непосредственно следует, что в каждой точке непрерывности функции е'(х) применима формула +с 1, Г ехр(-Ир) — ехр(-!!х) е'(х) = — 1цп !цп / Г(!) д1, 23 т-~-00 с-~00 !! где предел по д берется по множеству точек р, являющихся точками непрерывности функции я'(х). В качестве приложения последней теоремы мы докажем следующие прелложения. Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
