Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Коэффициент корреляции является мерой силы связи (линейной связи) между величинами С; и Сг. Величина коэффициента корреляции, как зто следует из неравенства Буняковского, заключена в пределах (-1, + «. Значения х! достигаются только в том случае, когда С и г) связаны линейной зависимостью. В дальнейшем мы увидим, что для независимык величин коэффициент корреляции равен нулю. 159 а 24. Дисперсия Пример 4. Найти дисперсию двумерной случайной величины ((н Сг), распределенной по невырожденному нормальному закону 1 р(х,у) = х 2яа~ азтг ! — г ! ! (х — а)г (х — о)(у — Ь) (у — Ь)г х ехр — 2г + 2(1 — гг) ~ а~~ а~аз аг Согласно формуле (4) и результатам примера 2 настоящего параграфа и примера 1 4 23, находим, что 0(~ = ан 0Сг = аг.
г Далее, Ьи = Ьн = О (х - о)(у - Ь)р(х, у) дх ду = 1 (у — ь)' 1 1 /х — а у — Ь\ х (х — а)(у — Ь) ехр Г-, ~ — — г — ~ дх. 2(! — гг) а~ аг ) Заменой 1 /х — а у — Ь') у — Ь х= — г — ), чгг! -г'(х а1 аг ) аг выражение для Ьц приводится к виду 1 гг 1г Ь = Ьг~ — — — Л( (а1агЯ - гг1х+ га~аг1 ) ехР ~ — — — — У дх д! = 2 лл 2 2) Отсюда находим, что О' (х — а)(у — Ь)р(х, у) дхду М(6 — М6)(6 — МСг) а~ аг ъ/0~~ 0сг Мы видим, что двумерный нормальный закон (так же, как и одномерный) полностью оярвделявтся заданием математического олсидания и дисяерсии, т.е. определяется заданием пяти величин М(ы МСг, 0(ы 0Сг и г.
160 Глава б. Числовые характеристики случайных величин 5 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии Теорема 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной. Доказательство. Постоянную С мы можем рассматривать как дискретную случайную величину, которая может принимать только одно значение С с вероятностью единица; поэтому МС=С ° 1=С. Теорема 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(~+и) = М~+Мп. Доказательство. Рассмотрим сначала случай дискретных случайных величин С и »1.
ПУсть а», аы..., ол... — возможные значениЯ величины С и р»,ры...,рл,... — их вероятности; Ь!,Ьз,...,йы... — возможные значениа величины »1 и а», аы..., ды... — веРоатности этих значений. Возможные значениЯ величины С+»1 имеют вид ел+ Ьь (й,п = 1,2,...). Обозначим через рль вероятность того, что С примет значение ал, а»)— значение Ьь. По определению математическою ожидания М(с + ц) = ~», (а + Ья)р ь = ~~', ~~ (ал + Ьь)рль = л, и=! л=! ь=! =~; „(х;р„„)+~;ь,(~;р.,).
Так как по формуле полной вероятности рль=рл и ~~ь р„ь=дю Е ы«! то ол ~~ рль = ~~ь алрл = Мс л=! и=! л=! ~ьфр..) =з ьр, =м„. ы«! л=! ы«! Доказательство теоремы для случая дискретных слагаемых завершено. 162 Глава 5. Числовые характеристики случайных величин Безусловное математическое ожидание МЬя = ~',» М(Гя~р = 'к) Р(р = й) = ~~ Р(р = Ц ~~» М( = Ф=! «=! !'= ! = ~~~; МЕ1 ~~ ' Р(р = Ц = ~~~ М(,Р(р ) у). Если слагаемые С»,Сз,С»,... одинаково распределены, т.
е. если Р((! <х) =Р(6 <к) =...=Р(к),то МГ„= МЕ,. Мр. Действительно, Мчя = ~~» Р(р = Ц ~~» МС1 —— МС! ~~» кР(р = Ц = М~! . Мр, л=! к=! Мг=М~ Мр=аМ(. Пример 2 По некоторой цели стрельба ведется до и-го попадания. Считая, что выстрелы производятся независимо друг от друга и вероятность попадания при каждом выстреле равна р, найти математическое ожилание расхода снарядов. Обозначим через С число снарядов, потраченных от (к — 1)-го до к-го попадания.
Очевидно, что расход снарядов на и попаданий равен с =с»+с!+" +сч М~ = М( + М6 +... + М~ч. и, следовательно, Но Мс =Мсз=...=Мс и 1 Мс! — — з йд р= Р )г, следовательно и Мс = —. Р Теорема 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин С и»1 равно произведению их математических ожиданий. Пример 1. Число космических частиц, попадающих на данную площадку, есть случайная величина р, подчиненная закону Пуассона с параметром а, каждая из частиц несет энергию с, зависящую от случая. Найти среднюю энергию Е, получаемую площадкой в единицу времени.
Согласно следствию 2, имеем: Ь 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 163 Доказательство. Если величины ( и и дискретны; а!, аз,..., оь,...— возможные значения ( и р!, рз,..., рь,... — вероятности этих значений; Ь|, Ь2,..., Ь„,... — возможные значения и и о!, оз, ..., о„,... — вероятности этих значений, то веРоЯтность того, что ~ пРимет значение оь, а 21— значение Ь„, равна рьоь. По определению математического ожидания, мгь=~еь„р,д.=~~чь.р д.= (~ар ) (2;и.ч.) =мгмь к,п ь=! ь=! ь=! и=! Лишь немногим сложнее доказательство для случая непрерывных величин, провести его мы предоставляем читателю. В общем случае теорема 3 будет доказана в Дополнении 1. Следствие 1.
Постоянный множитель мозкно выносить за знак математического ожидания мСс = Смс. Это утверждение очевидно, так как, каково бы ни было (, постоянное С и величину с можно рассматривать как независимые величины. Теорема 4. Дисперсия постоянного равно нулю. Доказательство. Согласно теореме 1, РС = М(С вЂ” МС) = М(С вЂ” С) = МО = О. Теорема 5. Если с — постоянное, то ос4 = с Рс. Доказательство. В силу следствия из теоремы 3, ос( = М[с( — Месь] = М[с( — см(] = Мс [( — М(] = с М[( — МС] = с 0С. Теорема 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин С и т! равна сумме их дисперсий о((+и) = ой+оп. Доказательство. Действительно, 0(с+О) м[с+ц-м(с+О)]'=м[(с — мс)+(ц-МО)]'= = ОЕ + Оп+ 2М(Š— Мо(п — Мп).
Величины с' и и независимы, поэтому независимы также величины 4 — М~ и г) — Мп; отсюда М(~ — Мо(Π— Мп) = М(1 — М~) М(п — М21) = О. Следствие 1. Если С!, Сз,..., („— случайные величины, каждая из которых независима от суммы предыдущих, то 0(Ь! + С2 + + Сь) оч! + 0С2 +... + Очь ° 166 Глава б. Числовые характеристики случвйнык величин Эти первые моменты играют особо важную роль в статистике. Величина и»» = МК вЂ” а~ (4) носит название абсолютного момеягпо к-го порядка.
Согласно определению математического ожидания, М(С' — а)» лолжно вычисляться по формуле о»(а) = ~хдб(х), где С(х) обозначает функцию распределения величины (С вЂ” а)"'. Однако при действительных расчетах предпочитают пользоваться другой фор- мулой и»(а) = / (х — а) ал(х), (5) где л'(х) — функция распределения величины с. Для того чтобы фор- мулы (1') и (5) не противоречили друг другу, необходимо, чтобы имели место равенства хд6(х) = (х — а) Ик(х). М(С вЂ” а)» = / х аР(а+ ~~Гх) — / х ао(а — (/х + 0). о о Заменами х = а+ ~~/х в первом интеграле и х = а — (ух — во втором мы приводим М(с — а)» к виду (5). Мы доказали частный случай следующей теоремы.
Докажем, что зто действительно так. Если и — нечетное число, то (С вЂ” а)» — неубывающая функция С и поэтому С(х) = Р((С вЂ” а)» < х) = Р(С-а < ~4/х ) = Р(С < а+ х»Ух ) = л (а+ ф/х ), При нечетном к, таким образом, М(( — а)» = / хор(а+ ~7х). Нетрудно подсчитать, что заменой х = а+ ~~Гх мы приводим этот интеграл к виду (5). Если же /с — четное, то (С вЂ” а)» есть неотрицательная величина и, следовательно, С(х) = 0 при в < О. При х > 0 б(х) = Р((С вЂ” а) < х) = Р(а — ~Ух < 4 < а+ ~Ух) = = л (а+ ",Б) — л (а — Фх + 0) . Таким образом, при четном и )ЕТ а 2б.
Моменты Теорема 1. Если Р(х) — функция распределения величины С, 2 (х)— непрерывная функция, то Так как мы условились считать, что случайная величина с имеет математическое ожидание только в том случае, к д р его интеграл абсолютно сходится, то ясно, что момент к-го порядка у величины С существует тогда и только тогда, когда сходится интеграл (х("(Уе(х). Из этого замечания следует, что если случайная величина с имеет момент к-го порядка, то она на имеет также моменты всех положительных р < й порядков, меньших чем к. В самом деле, если (х! > 1 топриг ~х!Я > ф'.
Поэтому Первый интеграл в правой части неравенства конечен в силу конечности пределов интегрирования и ограниченности подинтегральной функции, второй интеграл сходится в силу предположения. Пример. Найти центральные и центральные абсолютные моменты случайной величины, распределенной по нормальному закону (х о)2 ') Р(х) = у в ехр ') аз/2я ( а Имеем При )г нечетном, в силу нечетности подинтегральной функции, ря =О.
При к четном 170 Глава 5. Числовые характеристики случайных величин нам неизвестно, к какому виду принадлежит функция распределения, то, вообще говоря, не только знание одних первых, но и знание всех целочисленных моментов не дает возможности опрелелить неизвестную функцию распределения. Оказывается, можно построить примеры различных функций распределения с одинаковыми моментами всех целочисленмых порядков.
В связи с этим возникает вопрос (проблема моментов): лама последовательность постоянных чисел св = 1, см сз, сз, 1) при каких условиях существует такая функция распределения л'(е), для которой при всех п имеют место равенства с„= к" дл'(х), 2) когда эта функция единственна? В настоящее время эта задача получила полное решение, но мы не останавливаемся на нем, так как оно стоит в стороне от назначения нашей книги. Среди прочих числовых характеристик наиболее существенную роль играют так называемые семиинеариенты; их определение мы отложим до главы 7, сейчас же отметим только следующее. При сложении независимых случайных величин момент суммы, вообще говоря, не равен сумме моментов слагаемых. Для момента суммы независимых слагаемых С и т) имеет место равенство М(('+и)" ='Я С„"Мрьмп" ".
ь=о Семиинварианты различных порядков обладают тем свойством, что при сложении независимых слагаемых семиимвариант суммы равен сумме семиинвариантоа слагаемых того же порядка. Оказывается, что семиннвариант любого порядка й есть рациональная функция моментов порядков, меньших или равных й. Упражнения 1. Случайная величина С принимает целые неотрицательные значения с вероятностями дь а) Р(б=й)= , д > 0 — постоянная; зто распределение носит (1 1 д)ь-ь! ' название расяределеиия Паскаля; оЛ зь(1+а)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
