Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Согласно закону больших чисел, если тин гип..., пве (ги1 + пут + ... + пз, = и) будут обозначать соответственно числа испытаний, при которых С = а,, С = ат, ..., С = а„то при достаточно большом значении и частоты будут представлять приближенные значения неизвестных нам вероятностей р, = Р(с = а,), рт — — Р(с = ат), ..., р, = Р(С = а,). Более того, в нашем случае имеет место и усиленный закон больших чисел. Прежде чем переходить к формулировке и доказательству теоремы, составляющей содержание настоящего параграфа, мы установим несколько вспомогательных предложений. Рассмотрим некоторую последовательность случайных величин (н сз ° ° ° св Событие, заключающееся в том, что эта послеловательность сходится к некоторой случайной величине С, имеет в силу принятых нами аксиом, как мы увидим при доказательстве леммы 1, определенную вероятность.
Если эта вероятность равна единице, то мы скажем, что последовательность (С„) скоднтся к С почти нввернов '1. В другой форме утверждение о скоднмостн почти наверное можно выразить так: послеаовательность случайных величин (! чз . с сходится почти наверное к случайной величине С, если с вероятностью единица для каждого целого положительною числа г найдется такое число и, что при всех к ) О будут иметь место неравенства 1 ~а — (~ < †. т Очевидно, что равенство Р(с„ -у с) = 1 мы можем записать и в иной форме: Р(С„ту С) = О. (2) ~ Это понятие в точности соответствует понятою сховнностн почтя всюву в теории функння.
193 О 31. Теорема В. И. Гливонко то в силу (5) Р(В) что и требовалось доказать. Лемма 2. (творима Бороня). Пусть р — число наступлений события А при и независимых испытаниях, в каждом из которых событие А моясет появиться с вероятностью р. Тогда при и -ь оо Р— -ьр = 1. Заметим, что теорема Бередя является простейшим частным случаем теоремы А. Н. Колмогорова об усиленном законе больших чисел; здесь же дана только иная формулировка этого частного случая, отличная от общей формулировки теоремы Э 30. Доказательство. События — — р ь 0 и ~ — — р -7 О, очевидно, 74 /р эквивалентны. Введем, как это мы уже неоднократно делали, вспомогательные величины р;, равные числу появлений события А при з-м испытании.
Находим, что х 4 1 и и и и М(--Р) = —,~ 'х '~ ~'М(и;-Р)(Р,-Р)(Рь-Р)(и,-Р). /р 4=7 Згм Ь=7 7ии Элементарный подсчет показывает, что х4 М ~ р) 4 ~п(р + Д ) + Зрд(п )~ < 4 гр рд з з 2 1 Согласно лемме Чебышева Р— — р > — <гМ вЂ” — р < —. Отсюда мы делаем заключение о сходимости ряда Применение предыдущей леммы доказывает наше утверждение.
Лемма 3. Если событие Е эквивалентно совместному осуществлению бесконечного число событий Е7, Ез,... Е = Е Ез ... и каждое последующее событие Еи4.7 влечет за собой предыдущее Еи, то (Е) = (Е.). И-сис 7 КУРС 7ССРНН ССРСЯСНССИИ 194 Глава б. Закон больших чисел Доказательство. Действительно, событие Е~ можно двумя следую- шими способами представить в виде суммы несовместимых событий: Е1 —— Е~Ез+ ЕзЕз +...
+ Еь-1Ьь + Е„ Е~ = Е~Ез+ЕзЕз+ "+Е -~Е +Е Е +1+" +Е. Отсюда Р(Е~) = Р(ЕЛз) + Р(ЕзЕз) + ° ° + Р(Еь-~Ен) + Р(Еь) и Р%) = Р(ЖЕз)+Р(ЕзЕз)+ .+Р(Еь-~Еь)+Р(ЕнЕьь1)+ ° +Р(Е). Сравнение последних двух равенств приводит нас к соотношению Р(Е) = Р(Еь) — з, Р(ЕьЕь+~ ).
ь=ь Так как вычитаемое в правой части есть остаток сходяшегося ряда, то (Е)=„1 Р(Е.) Ламма 4. Если каждое из событий конечной или бесконечной «оследовательности Ен Ез,..., Ь'„,... имеет вероятность, равную единице, то вероятность их совместного осуществления также равна единице. Доказательство. Рассмотрим сначала два события Е~ и Ез, для которых Р(Е, ) = Р(Ез) = 1. Так как Р(Е1 + Ез) = Р(Е~) + Р(Ез) — Р(Е~Ез) и Р(Е~ + Ез) = 1, то Р(ЕьЕз) = 1. Отсюда заключаем по индукпии, что для любых и событий, для которых Р(Е ) = Р(Ез) = ... = Р(Е„) = 1, выполняется также равенство Р(Е|Ез ...Е„) = 1. Пусть теперь имеется бесконечная последовательность событий Ен Ез,...
..., Е„,..., для которых Р(Е~) т Р(Ез) =" = Р(Ьь) =" =! Так как очевидно, что Е~ЕзЕз " = Е1(Е~Ез)(Е1ЕзЕз) ... и каждый последуюший множитель в правой части равенства влечет за собой предыдуший, то согласно предыдушей лемме Р(Е~ЕзЕз...) = 1пп Р(Е~Ез...Е„). ь-кю Это равенство доказывает лемму. 195 О 31. Теорема В.
И. Глнавнко Теорема Гливенко. Пусть Р(х) — функция распределения случайной величина с и ел(х) — эмпирическая функция распределения результа- тов и независимых наблюдений над величиной С. Тогда при и -э оо Р( звр 1е„(х) — Р(х)! -+ О) =!. -со<к<со й Р(х — 0) =е'(х) < — <е'(х+0) (й= 1,2,...,г). г Пусть А означает событие, состоящее в том, что с < х, ь. Ясно, что Р(А) = Р(х„,к). Так как частота появления события А равна Р„(х„ь), то по теореме Бореля (лемма 2) Р(рл(хг,ь) ) х(х,ь)) = 1. Пусть теперь В„' есть событие, состоящее в том, что при и -э оо Р„(х„ь) -о Г(х„к) (й = 1,2,...,г) (б) Вх ВхБк Бв Ясно, что событие Жх равносильно тому, что при и — > оо шах 1е'„(х„,к) — Р(х„,к)( -+ О. !<я<с Так как согласно (б) Р(8~) хх Р(Ю =" хх РМ) =1 то в силу леммы 4 Р(В') = 1.
Р, В!В2Яз Пусть далее Согласно лемме 4 Р(Е) = 1. Обозначим, наконеп, через В событие, состоящее в том, что при и -э оо зпр 1е'„(х) — е'(х) ! -+ О. -оо<х<оо Для любого х, заключенного между х„ь и х„я+ ы выполняются неравенства Рл(хх,ь+ О) ~ (Ел(х) ~ (Рл(хне+с) и Тг(х„ь + 0) < Р(х) < Р(хг ььс), Доказательство. Обозначим через х„,ь наименьшее х. удовлетворяющее неравенствам 196 Глава б. Закон больших чисел причем 1 0 < Р(х„,ь~ь!) — Р(х,,ь + О) < —.
г Отсюда мы заключаем, что Р„(х„, ь + О) — Р(х„, ьч.1) < Р„(х) — Р(х) < Р„(х„ье !) — Р„(х„ь + О), т.е. что 1 )Ря(х) — Р(х)~ < и!ах ~Р„(хг,ь) — Р(хг,ь))+— и что, следовательно, 1 знр ~Р„(х) — Р(х)! < глах ~Р„(х,,ь) — Р(хг,ь)~ +— -са <а < се !<ьйг г Поскольку г произвольно, то из последнего неравенства вытекает, что Е С Я. Этим, очевидно, доказано, что Р( знр !Р„(х) — Р(х)~ -ь ОУ' = 1. -оз<з<со Упражнения 1. Доказать, что если случайная величина б такова, что М ехр (а() существует (а > Π— постоянная), то РИ>е) < М ехр (а() ехр (ае) 2.
Пусть У(х) > Π— неубывающая функпия. Доказать, что если сушествует МУ(К вЂ” М6), т МУ(К вЂ” Мв) У(а) 3. Последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин (Я определена равенствами а) Р(( — 2ь-мь-зыбь) — (й — ! 2 т ) ! 2ь 00 Доказать, что к указанным последовательностям закон больших чисел применим. 4. Доказать, что к последовательности независимых случайных величин (С„) таких, что Р((„=п ) =Р(61=-и ) = !/2, закон больших чисел применим тогда и только тогда, когда а < 0,5.
Упражнения 197 5. Доказать, что если независимые случайные величины бо..., 5„,... таковы, что шах l )х! АР„(х) -+ О, когда А -+ оо, шьс» у шва то к последовательности (б») применим закон больших чисел. Указание. Воспользоваться методом, примененным при доказательстве теоремы Хинчина. б. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что если лля последовательности независимых случайных величин (Я существуют такие числа а ) 1 и Д, что М(6» < Д, то к последовательности (б„) применим закон больших чисел (теорема Маркова). 7.
дана последовательность случайных величин (Я, для которых тзб» < С, Я; -+ О при (з — Я -з оо (В; — коэффициент корреляции между бз и (1). Доказать, что к данной последовательности применим закон больших чисел (теорема С. Н. Бернштейна). Глава 7 Характеристические функции Мы видели в предыдущих главах, что в теории вероятностей широко используются методы и аналитический аппарат различных отделов математического анализа. Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, удается получить с помощью «арактернстнческнк функций, теория которых развита в анализе и известна под именем преобразований Фурье.
Настоящая глава посвящена изложению основных свойств характеристических функций. $32. Определение и простейшие свойства характеристических функций Характеристяическай функцией случайной величины 4 называется математическое ожидание случайной величины ехр (т14) '!. Если Р(х) есть функция распределения величины 4, то характеристическая функция равна по теореме З 24 2(8) = / ехр(йх) т(Р(х).
(1) Мы условимся обозначать в дальнейшем характеристическую функцию и соответствующую ей функцию распределения одними и теми же буквами, но только соответственно малой и большой. Из того, что ! ехр (йхЦ = 1 при всех вещественных 1, следует существование интеграла (1) для всех функций распределения; следовательно, характеристическая функция может быть определена для каждой случайной величины. теорема 1. Характеристпическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетпваряетп следующим пютпношениям: У(О)=1, 1У(1)!<! (-со<1< ). (2) Доказательство.
Соотношения (2) немедленно вытекают из определения характеристической функции. Действительно, по (1) у(0) = / 1 аР(х) = 1 о à — действительный параметр. Математическое ожидание лла комплексной случайной величины 4+ му определяем как и(+ гмя. легко проверить, что теоремы к 2 и 3 425 справедливы и в этом случае. 199 5 32. Определение и простейшие свойства !У(1)! = / ехр(Их) аР(х) < / !ехр(зИх)! АР(х) = / НР(х) = 1. Нам остается доказать равномерную непрерывность функции у(1).
С этой целью рассмотрим разность у(с+ Ь) — у(1) = / ехр(Их)(ехр(йхЬ) — 1) АР(х) и оценим ее по модулю. Имеем: !У(с+ Ь) — У(1)! < / !ехр((хЬ) — Ц АР(х). Пусть е > 0 произвольно; выберем столь большое А, чтобы аР(х) < —, 4' 1в1>л и подберем столь малое Ь, чтобы лля !х! < А !ехр((хЬ) — Ц < —. 2 Тогда !у(Ю+ Ь) — у(1)! < / ! ехр (зхЬ) — Ц НР(х) + 2 / НР(х) < с.
1в1>л Это неравенство доказывает теорему. Теорема 2. Если г1 = аС + Ь, где а и Ь вЂ” настоянные, та зч = Д(а1) ехр (зЫ), где гчЯ и ~1(1) означают характеристические функции величины г1 и с. Доказательство. Действительно, 1чЯ = Мехр(Иг)) = Мехр(И(аС+6)) = ехр(ИЬ)Мехр(зИа() = = ехр (ИЬ)У1(а1). Теорема 3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Доказательство. Пусть ( и и — независимые случайные величины и ( = С + г1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
