Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 36
Текст из файла (страница 36)
й=! Доказательство достаточности условий теоремы требует более сложных рассуждений. т и'й Рассмотрим последовательность чисел У ~ — ), зависящую от целочисленного параметра и. В силу положительной определенности функции У(х) мы имеем при любом г»: и-! и-! 1.1 /й-у~ 9»и (х) = — ~~» ~~» у ( — ~ ехр (-((к — у)х) > О. й=о г=о Легко подсчитать, что в этой сумме имеется г»Г — 1т~ слагаемых, для которых разность (о — у равна т. Далее очевидно, что число т может изменяться от — г»г + 1 до М вЂ” 1. Таким образом, имеет место равенство ."»*»= к ( — !— "!)»(-") »-'.! »=-и Умножим обе части полученного равенства на ехр (ззх) и проинтегрируем по х в пределах от -гг до ех »» и к ехр(йвх)У;„(х)г1х= '»» ~1 — — )~~ — ) ~ ехр( — (гх)ехр((вх)г(х. !.1 г' Ю 7' ~ Г йт) ~п)/ — к »=-и — 1» 2!9 5 36.
Положительно определенные функции Известно, что ( О для гФз, ехр (-((г — з)е) ое = (2я для г=а, Поэтому 1 — — (~~ — ~ = — / мо (л)ехр((зх)с(х= / ехр(ззх)с1Р (х), < ~ ~~ у' ') ! )',.) у,) -/ и где 2я у есть неубывающая функция с полным изменением, равным - !а) Рн (я) — / йай (и) сзи т (О) ! 2я,/ т.е. является функцией распределения. На основании первой теоремы Хеппи мы можем найти последовательность )чь -у со при )г -) оо, для которой функции Р, (х) (и фиксирова!н) ио!) сходятся к предельной; обозначим ее через Рсч)(л).
Функция Г!")(х) снова является функцией распределения, так как при любых Ж и произвольном е > О Рй" (-я — е) = О, Рй" (зг + е) = 1 и, значит, при произвольном б > О также р'!")(- — )=О, р'м)( +е)= !. Согласно второй теореме Хелли з 1-ен >лФ;,'тм=) чн >ее'"тм Таким образом т), т<т) =/ чн >лен~в при всех целочисленных з (з = О, ж1, ж2,...). з) Заметим, что попутно нами показана слелуюнмя теорема Гвртлопза. Если лоследоеателииосте чисел си (п = О,т),...) обладает тем свойствам, что кри любом отборе каиклексимк чисел 6 (т» ° (и и лроизеаликан и л и са Щ ) О, асо тем 220 Глава 7.
Характеристические функции Рассмотрим теперь последовательность характеристических функций ~„(1), определенных посредством равенства У„(1) = / ехр (1(х) Ы'„(х), где р( ) фп) Легко проверить, что при всех целочисленных )г (3) Но каково бы ни было 1, мы можем подобрать такую последовательность й = /с(п, 1) з), что й 1 0 < 1 — — < —. гь и Из непрерывности функций 7(1) следует, что (4) Если мы докажем, что при всех вещественных 1 (5) то доказательство теоремы будет завершено, так как 7" (1) — непрерывная функция и поэтому, в силу обратной предельной теоремы для характеристичеких функций, будет характеристической функцией. С этой целью заметим, что из (3) и (4) следует равенспю (6) то последовательность св малют бить эанисана в форме в св т / скр (ьпх) да(х), еде а(х) — неубывающая функция с аэраниченной вариацией.
и Всюлу дальше под й мы понимаем числа й(п,(). 221 536. Положительно определенные функции Д(3) — 7„~-~ ~ = ~ ! ехр ! ( — х г(ехр((Вх) — !)пР„(е) < -пю кл 1 ехр (тра) — 1! ВР„(4 (7) -ки Воспользовавшись неравенством Буняковского, находим, что ~ ехр (!Ве) — 1~ ИР„(е) < = ~/1/~ — ~ет,еь, (н~ где символ Л7„(В) означает вещественную часть Д„(В).
Так как сова < < соа ал при 0 < а < ! и — к < а < я, то Я1п(В) = / (1 — созрх) гзРи(х) -ии =~[~-. к. яиц >к~а — *~ик А так как Р„( ) = Р!"!( ), то 1 — Ву„(В) < / (1 — сов х) НР!"!(д) = 1 — Я / ехр 1!а) дР!"!(х). Отсюда в силу (3) находим, что /1~ ! — лу„(в) < ! — яу ( - ). Собрав вместе неравенства (7),(8) и (9), находим, что Ь(1) — ӄ— < 2 1 — Л7' (9) !т 1 Обозначим В = ! — —. Согласно выбору величин й имеем 0 < В < —.
й й По определению функции ~„(!) 222 Глава 7. Характеристические функции Из непрерывности функции 7(г) отсюда следует, что 1нп А(!) — Аи — = 0 Соотношение (5), как это видно теперь из (б), доказано. 5 37. Характеристические функции многомерных случайных величин В настоящем параграфе мы излагаем без доказательств основные сведения о характеристических функциях многомерных случайных величин. Хараклгерислгической функцией и-мерной случайной величины ((ь Сз,..., С„) называется математическое ожидание величины ехр (з(1~(~ + + 12сз +... + 8иба) ), тле 8н 82,... „Йи — вещественные переменные: и Га,,ч,...,ет=м г('2 ча).
к=! Если Р(кнкз,...,х„) есть функция распределения величины (5,(2,... ...,б„), то, как мы знаем из предыдущего 4>, и Гана.....х~=~...~(*~ 2;Ч*)ггон .*.Г О) ь=~ Подобно тому как и в одномерном случае, характеристическая функция и-мерной случайной величины равномерно непрерывна во всем пространстве ( — оо < ! < +со, 1 < у < и) и удовлетворяет следующим соотношениям: 7(0, О,..., О) = 1, !У(1ь 12,..., 1а)! ( 1 ( — оо < !а < +со, 14 = 1, 2,...), У( — 8 ы — 12, ", — 1и) = М, 12, ", 1и). По характеристической функции 7(!н 12,..., 1„) случайной величины (СП С2,..., Са) ЛЕГКО НайтИ ХараКтЕрИСтИЧЕСКуЮ фуНКцИЮ ЛЮбОй !Е-Мсрипй (й < и) величины (Суд,С.„...,Сй), компонентами котоРой ЯвлЯютсЯ величины Са (1 < з < и). Для этого в формуле (2) нужно положить равным нулю все аргументы 1, при з уа у„(1 < т < !4). Так, например, характеристическая функция величины (~ равна У,(1,) = У(1,,0,...,0).
из определения вытекает, что если компоненты величины (бн б2,... ..., б„) являются независимыми случайными величинами, то ее характеристическая функция равна произведению характеристических функций И См. теорему а 24 и замечание о многомерных интегралах Стилтьееа а 5 23. 5 37. Многомерные характеристические функции 223 компонент ~(1н гг,",Гя) = Л(1~) 'Уг(гг)" Б(гя).
Так же как и в одномерном случае, многомерные характеристические функции позволяют легко находить моменты различных порядков. Так, например, мг', г," ...г.'" = 11 ... 1' *', *т ... ч лечь *,,..., *л = , ЬЛ Он+я'~'"+я т, 8г, °, 8„) дгг'Йг' ° ° ° Йяь г =г~=...=г.=о Для вычисления характеристических функций полезно знать следующую теорему, доказа.тельство которой без труда проведет читатель.
Теорема 1. Если характеристическая функция величины (6,Ь,... ..., Ся) равна т(гн гг,..., Гя), то характеристическая функция величины (аД + ам агсг + аг,..., аяея + а„), где ат и гтт (1 < г' < и)— веигественные постоянные, равна я < ~;1.) тГ,~,.;ч. '-. л.1. яьа Пример 1. Вычислим характеристическую функцию двумерной случайной величины, распределенной по нормальному закону: я*,и=, Р<-, ['-1 ю~Е1) (1) По формуле (2) те,.чг=//-~г~м*+чргги..сыч.
Заменой переменных мы можем привести Ян 1г) к виду 1 У(гнгг)=ехР~ — -<1, +2ггА+Гг)У вЂ” // ехР~ — -<ц +о ) 21 ггндо= ( 2 ) 2гг,/./ ( 2 = ехр ~ — — <8, + 2т 8ггг + гг) т. г ( 2 Пример 2. Применяя теорему 1, мы найдем характеристическую фУнкцию величины (тгн тгг), РаспРеделенной по ноРмальномУ законУ: 1 р(х,р) = х 2тг гт ~ гтг(1 — т') 1 ~ (х — а)г (х — а)(у — Ь) (у — Ь)г1 1 < х ехр — ~ — 2г + ~ ). (4) 2(1 — г') ~ гг,' аг 224 Глава 7. Характеристические функции Если мы положим т)( — — а(с(+ а, т1» = азсз+ Ь, то величина (с(,сз) будет распределена по закону (3).
Согласно теореме 1 характеристическая фУнкциЯ величины (»1(, т1») Равна т(ь,ь/= *Р ( Й +ы — — (,8,~2 Йь.~,ь(1. 1 2 2 2 Из определения характеристической функции вытекает следующая Теорема 2. Если Г(1(,1», ...,1„) есть характеристическая функция величины (С(, Сз,..., Сь) то характеристическая функция суммы 6+6+ .. +~„равна Г(1) = Г(1, 1„ ..., 1) Примечание. Заметим, что Г(1) = У(11н11»,...,11„) есть характеристическая функция суммы 1(с( + 1»сз +... + Ь„с„. Пример 3.
Применим теорему 2 к определению функции распреде- лениЯ сУммы (1( + »1», если (»1(, »1») РаспРеделена по законУ (4). Согласно теоРеме 2 хаРактеРистическаЯ фУнкциЯ сУммы »1( + т1» Равна 2 т(»= Р(ь(~Ы вЂ” ( +2 ФГ (1. 2 2 Мы знаем (пример 1 4 32), что зто — характеристическая функция нормального закона с математическим ожиданием, равным а+ Ь, и диспеРсией, Равной и', + 2та(от+ аз. Этот РезУльтат был нами полУчен Ранее непосредственно (421, пример 2). Важно заметить, что в многомерном случае сохраняется следуюгдая теорема. Теорема 3.
Функция распределения Р(х(, хз,..., х„) однозначно определяется своей характеристической функцией. Доказательство этого предложения основывается на формуле обращения. Теорема 4. Если Г(1(, 1»,..., 1„) — характеристическая функция, а Р(х(, хз,...,хь) — функция распределения случайной величины (6,(з,".,~ь), то Р(а»<4» <Ь», Ььь1,2,...,п) = т т „ = - —.~'- ~'и 1 Г Г " ехр(»1»а») — ехр(»2»Ь») *-(2.) l "l 11» -т -т "'=' где а» и Ь» — любые вещественные числа, удовлетворяющие единственному требованию: вероятность попадания на поверхность параллелепипеда а» < Ь» < Ь» (Ь = 1, 2,..., и) равна нулю. Точно так же, как и в одномерном случае, имеют место прямая и обратная предельные теоремы для характеристических функций. Мы не будем на атом останавливаться. Ь 37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
