Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Предположим теперь, что при некотором 1» -,Е О ~У(1»)~ = 1 О 41. Локальная предельная теорема н докажем, что при этом С' имеет решетчатое распределение. Последнее равенство означает, что при некотором д /(1~) = ехр ((е). Таким образом, ехр(11~х) ИР(х) = ехр(1е) и, следовательно, ехр (1(1~х — е)) оР(х) = 1. Отсюда вытекает, что соя(1~х — д) г(Р(е) = 1. Для того чтобы это равенство было возможно, необходимо, чтобы функция Р(е) могла расти только при тех значениях х, при которых соз(1~я — О) = 1.
Это означает, что возможные значения С должны быть вида В 2я я= — +Ь вЂ”, 1, что и требовалось доказать. Число Ь мы будем называть шагом расаределения. Шаг распределения Ь максимален, если ни при каких Ь ( — оо < Ь < со) и Ь~ > Ь нельзя представить все возможные значения С в виде Ь+ ЬЬн Для иллюстрации различия между понятиями шага распределения и максимального шага распределения рассмотрим такой пример. Пусть с может принимать в качестве своих значений все нечетные числа. Очевидно, что все значения С могут быть записаны в виде а+ ЬЬ, где а = О, Ь = 1.
Шаг Ь, однако, не будет максимальным, так как все возможные значения С можем записать также в виде Ь+ ИЬы где Ь = 1, Ь~ = 2. Условия максимальности шага распределения можно выразить и в других терминах. Во-первых, шаг распределения будет максимальным тогда и только тогда, когда общий наибольший делитель попарных разностей возможных значений величины с, поделенных на И, равен единице. Во-вторых„шаг распределения Ь максимален тогда и только тогда, когда модуль характеристической функции в промежутке О < ф < ?я/И меньше единицы и при 1 = 2я/Ь равен единице. Последнее утверждение немедленно вытекает из только что доказанной леммы.
В самом деле, если при О < 1~ < 2я/Ь ~/(1~)~ = 1, то согласно доказанному величина 2я/1~ должна быть шагом распределения, а так как Ь < 2я/1ы то шаг Ь не может быть максимальным. 244 Глава 8. Классическая предельная теорема Отсюда мы можем сделать такой вывод: если Ь вЂ” максимальный шаг распределения, то для каждого с > О найдется такое число сь > О, что при всех г в интервале г < Щ < 2я/Ь вЂ” с имеет место неравенство ~Я)~ < ехр ( — сь). Пусть теперь случайные величины С!, См..., $„,... взаимно независимы, решетчато распределены и имеют одну и ту же функцию распределения Р(«).
Рассмотрим сумму Ь вЂ” с! +с!+ +с Очевидно, что она также является решетчатой случайной величиной и возможные ее значения могут быть записаны в виде па+ ЬЬ. Обозначим через Р„(Ь) вероятность равенства ~„= па+ ЬЬ в частности, Р!(Ь) = Р(с! = а+ ЬЬ) = рь. Обозначим далее ап+ ЬЬ вЂ” А„ В ч где А„= М~ч, Вчг = О(ь = пОС'!. Мы можем теперь доказать следующее предложение, очевидным образом обобщающее локальную теорему Муавра.
Теорема. Пусть нгзависииые решетчатые случайные величины (!,6,",1л имеют одну и ау лес функцию распределения Р(«) и их математические оэкидания и дисперсии конечны. Тогда для того, чтобы равномерно относительно й (-оо < й < оо) при и -+ оо имело место соотношение Вя 1 ! «чь 1 — Р„(Ь) — — ехр ~ — — "~ -ь О, Ь " с/2~ ( 2 1 необходимо и достаточно, чтобы шаг распределения Ь был максимальным. Доказательство. Необходимость условия теоремы почти очевидна, Действительно, если шаг Ь не максимален, то возможные значения я СУММЫ Ьч = 2 СЬ будут СОдЕржатЬ СИСтЕМатИЧЕСКИЕ ПрОПуСКИ: раЗНОСтЬ ь=! между ближайшими возможными значениями суммы не может быть меньше ЫЬ, где б есть общий наибольший делитель разностей возможных значений Ья, деленных на Ь. Если Ь вЂ” не максимальный шаг, то б > ! при всех значениях и.
Доказательство достаточности условия теоремы требует несколько более сложных рассуждений. 24б 5 41. Локальная предельная теорема Характеристическая функция величины Сь (й = 1, 2,...) равна /(С)= ~~~ рьехр(СаС+ССЬЦ=ехр((аС) ~~У рьехр(ССЬЦ, а характеристическая функция суммы ~„есть С~(С) = ехр (СапС) ~~> Р„(Ь) ехр (ССЬЦ. Умножив последнее равенство на ехр ( — СапС вЂ” СС/гЦ и проинтегрировав его в пределах от — х/Ь до я/Ь, находим, что х/ь 2а — Р„(Ь) = / ~"(С) ехр(-СапС вЂ” ССЙЬ) АС. Ь -т/И Заметив, что Ьй = В„аяь + А„— ап (вместо аьь мы будем дальше писать л), можем написать 2я — Р„(Ь) = / 2""(С)ехр( — ССаВ„) гСС, Ь -т/ь где обозначено ССА„1 7'(С) = ехр ~ — — "~Я).
Положив, наконец, х = СВ„, находим окончательно: в„/л — Р„(Ь) = / ехр(-Сах)/ ~~ — ) г(х. Ь Вя — в„/ь Легко подсчитать, что — '- (-'-')=-'/-(-- --")" Представим разность В„= 2я — Рь(Ь) — — ехр в виде суммы четырех интегралов Вп — '/! + '/2 + '/3 + '/4 ~ 246 Глава 8.
Классическая предельная теорема где х2 1 / ( 1 2) 1х)>А .Тз = / ехр ( — гав*" ( — ) 41х, з,В„у ха„< 1х14 ххзх ,74 = / ехР( — гхх)2 ( — 1 ггх, ,в„~ А<1х1<хВ„ где А ) Π— достаточно большое, а с > Π— достаточно малое постоянные числа, более точные значения которых будут выбраны нами позднее.
В силу следствия из теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, в любом конечном интервале значений 1 равномерно относительно 1 выполняется соотношением — -+ ехр — — (и -+ со). Но отсюда следует, что каково бы ни было постоянное А, ,72 -4 О (и -+ со). Интеграл 22 оценивается посредством неравенства Выбрав достаточно большое А, мы можем сделать Х2 сколь угодно малым. Согласно неравенству (1) имеем ,у'х~" 2' зг х,х / г'( — ) й*х рг- пх,( — — ).
х еа„<)х)((ха„)ГЛ Отсюда ясно, что прн и -+ оо Уз-ФО Для оценки интеграла .74 мы заметим, что существование дисперсии влечет за собой существование второй произволной у функции 2 "(4). Мы можем, следовательно, в окрестности точки 1 = О воспользоваться согласно (3) 5 32 разложением о212 У*(1) — 1 + 0(12) 2 248 Глава 8.
Классическая предельная теопвын 3. Доказать, что при и -> со и" ! ехр(-и) ~~ «=о Указание. Применить теорему Ляпунова к сумме независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметром л = й 4. Вероятность появления события А в з-м испытании равна р!, Р— число появлений события А в и независимых испытаниях. Доказать, что И- ЕР» е ~I2к1 ( 2) ~Е Реть 00 Ф=! тогда и только тогда, когда 2 рпбь = оо.
1=! 5. Доказать, что в условиях предылуп!ей задачи требование 2 р!я! = со 1=! достаточно не только для интегральной, но и для локальной теоремы. Глава 9 Теория безгранично делимых законов распределения Долгое время центральной задачей теории вероятностей считали отыскание наиболее общих условий, при выполнении которых функции распределения сумм независимых случайных величин сходятся к нормальному закону. Весьма общие условия, достаточные для этой сходимости, были найдены, как мы говорили об этом в главе 8, А. М. Ляпуновым. Попытки расширить условия Ляпунова увенчались успехом лишь в тридцатые годы, когда были найдены условия, являющиеся не только достаточными, но и, при весьма естественных ограничениях, необходимыми.
Параллельно с завершением классической проблематики возникло и развилось новое направление в теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин, тесно связанное с возникновением и развитием теории стохастических (случайных) процессов. В первую очередь возник вопрос о том, какие законы, помимо нормального закона, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин. Оказалось, что класс предельных законов далеко не исчерпывается нормальным законом.
Затем возник вопрос об определении условий, которые следует наложить на слагаемые, чтобы функции распределения сумм сходились к тому илн иному предельному закону. В настоящей главе мы ставим своей целью изложение некоторых исследований, посвященных предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. При этом мы ограничиваемся случаем, когда слагаемые имеют конечные дисперсии. Рассмотрение задачи без этого ограничения требует более громоздких вычислений; для ознакомления с ее решением мы отсылаем читателя к упоминавшейся монографии Гнеденко и Колмогорова. В качестве простого следствия излагаемых нами общих теорем мы получим упомянутое нами необходимое и достаточное условие сходимости функций распределения сумм к нормальному закону.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
