Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Теорема 8. Для того чтобы функции распределения сумм (1) при и -+ оо сходились к каков-нибудь предельной функции распределения и их дис- персии сходилась к дисперсии предельного закона, необходимою и до- статочно, чтобы существовали такие функция С(и) и постоянное у, чао при и -! оо й„ч 1) 2 1 хзбР„й(х) ьС(и) й=! — ьэ в точках непрерывности функции С(и), й„ 2) 2 ) хз б7„й(х) -ь С(+со), й=! 3) ~ .( х баян(х) ь 7 й=! Логарифм характеристической функции предельного закона определя- ется формулой (1) б43 с только что определенными функцией С(и) и посаоянной 7.
Доказательство. Если ввести обозначения Н С„(и) = ~~! / х бР„й(х) й=! „ 264 Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 7ь — „' 1 х дячй(х), й=! то мы придем к условиям теоремы 5. Теорема зтнм доказана. Несколько видоизменив формулировку последней теоремы, мы мо- жем получить не только условия существования предельного закона, но также и условия сходимости к каждому данному предельному закону. Теорема 9. для того чтобы функции распределения сумм (1) при и -+ оо сходились к данной функции распределения Ф(х) и дисперсии сумм сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы при и -+ оо выполнялись следующие условия: гм ь 1) 2 ( хз дР„й(х) -+ С(и) й=!-ьо в точках непрерывности функции гг(н), й.
2) Е Х хз др„й(х) -+ а(со), й=! 3) г ,) х ЫР„й(х) -+ у, й=! где функции С(н) и постоянное 'у определяются формулой (! ) 943 для функции Ф(х). 947. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона Мы применим результаты предыдущего параграфа к выводу усло- вий сходимости функций распределения сумм к законам нормальному и Пуассона. Теорема 10. Пусть дана элементарная система независимых случайных величин. Для того чтобы функции распределения сумм ~ч =~в+(ьз+" +(ьй„ при и — г со сходились к закону л = — ' /-1-й" 00 необходимо и достаточно, чвобы при и -ь оо были выполнены условия 1) 2 1 х бРчй(х) -+ О, й=! 2) 2; ) хз аг'„й(х) -г О, й=!1з1>г 9 47.
Условия сходнмости к законам нормальному н Пуассона 265 ь„ 3) Е )' хзбг„ь(х)- 1, Ь=! 1ь~<г где т — любая положительная постоянная. Доказательство. Из теоремы 9 следует, что искомые условия состоят в выполнении при и — ! со соотношений Первое из них совпадает с первым условием теоремы, равносильность двух остальных второму и третьему условиям теоремы очевидна. Особенно простую форму эта теорема принимает, если злементарная система, рассматриваемая нами, нормирована заранее условиями (1(й(й„; п= 1,2,...), (2) Теорема 11.
Если элементарная система нормирована соотношениями (2), то для сходшмости функиий распределения сумм (1) к нормальному закону необходимо и достаточно, чтобы для всех т > О при и-+ ос (3) Доказательство теоремы очевидно. Требование (3) носит название условия Линдеберга, так как им в 1923 г. была доказана его достаточность лля сходимости функций распределения сумм к нормальному закону. В 1935 г. В. Феллером была доказана необходимость зтого условия. В качестве другого примера использования общих теорем предыдущего параграфа мы рассмотрим сходимость функций распределения 266 Глава 9. Теория безгранично делимык законов распределения элементарных систем к закону Пуассона Р(х) = 0 для х<О, Лк ~ ехр (-Л) — для х > О. 1с! »<»<я (4) Если С вЂ” случайная величина, распределенная по закону (4), то, как мы знаем, М4 = 04 = Л.
Мы ограничимся элементарными системами, для которых »' Ем~.» — л, »ко (5) 0$ь» -+ Л. к»н Теорема 12. Пусть дана элементарная система, подчиненная условиям (5). Функции распределения сумм »и =4.1+ба+" +сь». тогда и только тогда сходятся к закону (4), когда при любом т > 0 / х АР~»(х+ М(~к) -» оо (и -» со). 1к — ! 1>г Доказательство этой теоремы мы предоставляем читателю. В б 13 нами была доказана теорема Пуассона. Легко убедиться, что при пр„= Л она является частным случаем только что доказанного предложения. Действительно, пусть (ь» (1 < и < и) есть случайная величина, принимаюшая значения 0 или 1 в зависимости от того, появится или не появится при и-м испытании п-й серии наблюдаемое нами событие А.
При этом Л Л Р(6,» = !) = — и РЯ„» = О) = 1 — —. и и Очевидно, что сумма рь = (м + сьг + " + ь представляет собой число появлений события А в и-й серии испытаний. Согласно теореме Пуассона, функции распределения величин р„при и -» оо сходятся к закону Пуассона (4). Этот результат следует из только что сформулированной теоремы, так как все ее требования в данном случае выполнены. Обшие теоремы о сближении функций распределения сумм (1) с некоторыми безгранично делимыми функциями распределения, доказанные в более широких, чем у нас, предположениях, позволяют также получить необходимое и достаточное условие для закона больших чисел (в случае независимых слагаемых).
См. об этом уже упоминавшуюся монографию Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова. 848. Суммирование в случайном числе 267 548. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе В разнообразных задачах практики приходится сталкиваться с задачей суммирования случайных величин не в заранее заданном, а в случайном числе. Приведем примеры.
Пример 1. Для начала рассмотрим следующую задачу: счетчик Гейгера (см. задачу 4, 88) начинает свою работу в момент времени О. Найти время его работы до первого пропуска частицы. Мы сейчас несколько обобщим условия задачи по сравнению с тем, как она была поставлена в гл. 1. Предположим, что промежутки времени с» между поступлениями последовательных частиц в счетчик независимы и имеют одно и то же распределение.
Длительность разряда, вызываемого зарегистрированной частицей, является случайной величиной »1», независимой от (». Обозначим через ь длительность искомого промежутка времени. Легко подсчитать, что (' = (~ + Сз+... + С„, где и — случайная величина, распределенная геометрически.
Пример 2 Возвратимся к задаче, рассмотренной в 8 38. Там речь шла о длительности безотказной работы дублированной системы с восстановлением. Внимательно разберемся в структуре величины ( — длительности безотказной работы резервированной системы. Заметим, что в зависимости от случая ~ может принимать различные значения, а именно: ° если гв > (з (восстановление основного элемента продолжалось дольше, чем проработал резервный элемент), то ь = с1 + сз', ° если гь < (з, но »1» > 8з, т.е. восстановленный основной элемент проработал меньше, чем длился ремонт резервного элемента, то ь (! +с2+сз ° вообще при п>2 будет ~ = (~+~»+...
+(„с вероятностью а" з(1-а) (первые и — 2 раз элемент восстанавливался прежде, чем работающий элемент отказывал, в последний же раз ремонт занял больше времени, чем проработал вступивший в работу элемент). Мы вновь видим, что длительность безотказной работы дублированной системы с восстановлением представляет собой сумму независимых случайных величин в случайном числе. Число слагаемых распределено по геометрическому закону. В этих двух примерах число слагаемых в сумме и сами слагаемые не являются независимыми случайными величинами.
Однако можно привести большое число примеров, где число слагаемых стохастически не зависит от суммируемых случайных величин. Упомянем некоторые из них. Пример 3. За день в магазин приходит случайное число покупателей, и сумма, на которую каждый из них делает покупки, также случайна. Выручка магазина за день является суммой случайного числа случайных слагаемых. Заметим, что число покупателей и суммы, которые они оставляют в магазине, представляют собой независимые случайные величины.
268 Глава 9. Теория безгранично депнмык законов распределения Пример 4. Предположим, что мы наблюдаем за работой некоторой ремонтной мастерской. В течение дня в эту мастерскую обращается и клиентов, число которых зависит от случая. Пусть (; — объем работы, которую необходимо выполнить для удовлетворения заявки клиента, пришедшего з-м по порядку. Тогда общий объем работ, который должна выполнить мастерская в течение дня, равен Ь = (~ +... + С„. Пример 5.
Число космических частиц, попадающих на определенную плошадку на поверхности космического корабля за единицу времени, случайно. Обозначим его и. Энергию, которая выделяется при ударе об обшивку корабля з-й частицы, обозначим сп Ясно, что суммарная энергия, полученная обшивкой корабля, равна е = с~ +... + е„. Как мы видели выше, в первых двух примерах распределение рассматриваемых характеристик (время до пропуска первой частицы счетчиком Гейгера и длительность безотказной работы дублированной системы с восстановлением) при определенных условиях сходилось к показательному.
Теперь мы можем заметить, что соответвуюшие утверждения должны нами восприниматься как реальные теоремы о сходимости функций распределения последовательных сумм случайного числа случайных слагаемых. Приведем формулировку простейшего варианта такой предельной теоремы для сумм случайного числа независимых слагаемых, в которых число слагаемых является случайной величиной с геометрическим распределением, не зависящей от слагаемых.
Теорема. Пусть случайные величины (,, (з ... независимы и одинаково распределены, причем МС; = о > О. Пусть, далее, (иь) — последовательность целочисленных случайных величин, причем и„имеет геометрическое распределение с параметром аь: Р(и„= й) = (1 — он)а» ', й = 1,2,.... Предполозким, что при каждом и случайная величина и„независима от последовательности ~п Сз, .... Положим Ья = 5 + ... + С„„. Обозначим Сь(х) = Р((1 — ач)а 'Ьч < х). Если а„-ь 1, то функции распределения 6„(х) сгодятся к показательному распределению равномерно по х: 1цп зцр10„(х) — (1 — ехр (-х))! = О.
я-кь Рассмотрим теперь более общую ситуацию. Пусть Яч») — последовательность независимых и одинаково при каждом и распределенных случайных величин. Введем обозначения Р„(х) = Р(с» < х), з„(1) = / ехр (Ых) др„(х). о Рассмотрим далее неограниченно возрастающую последовательность целых положительных чисел (й„) и последовательность (и„) целочисленных положительных случайных величин, которые обладают тем свойством, что при каждом и величины и„независимы от („», 1 < к < оо.
548. Суммирование в случайном числе 269 Наша цель состоит в выяснении условий, при которых сходимость (при и †> оо) функций распределения сумм ан,н„= ~~» Слл влечет за собой сходимость (при и -~ оо) функций распределения сумм Ет и„— Л~~ сны Предложение, которое сейчас будет доказано, носит название теоремы с переноса. Символом -+ мы будем обозначать сходимость функций распределения в основном (см. 934).
Теорема переноса. Если существуют такие функции распределения Ф(х) и А(х), что А(+0) = 0 и при и -+ оо (1) Р(Я„ль < х) -+ Ф(х) и (2) Р( — < х -+А(х), б йн то (3) Р(Я„ач < х) -г Ф(х). Функция распределения Ф(х) определяется через свою характеристическую функцию ф(1): ф® 1 ~о'(С) юг(Ц, о где ю(8) — характеристическая функция для Ф(х). Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
