Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Наша ближайшая задача состоит в определении вероятностей Рь(1) того, что за промежуток времени длительности 1 произойдут Й событий. В силу сделанных предположений эти вероятности не зависят от того, где 278 Глава 10. Теория сгокастическик процессов расположен этот отрезок времени. Для этого покажем, что при малых /к! имеет место равенство Р1(М) = ЛЬ1+ о(/з1), где Л вЂ” постоянное. Действительно, рассмотрим промежуток времени длительности 1 и обозначим через р вероятность того, что за этот срок не наступит ни одного события. Разобьем наш промежуток на и равных непересекающихся частей. В силу первого и второго предположений имеет место /11)" !/л равенство р = Р»1 — ц, откуда Ро — ) = р/". Отсюда при любом ~.Л ' ~п,/ целом /о Ро — = р /".
Пусть теперь 1 — некоторое неотрицательное число. При любом и я — 1 /о можно найти такое /о, что — < ! < —. Так как вероятность Ро(1) есть и и убывающая функция времени, то Ро — > Ро(1) ) Ро Таким образом, Ро(1) удовлетворяет неравенствам р( !/» > Р (1) > к/л Пусть теперь /о и и стремятся к бесконечности так, чтобы /о 1пп — = й л-кю и Из предыдущего ясно, что при любом 1 Ро(1) =р. Так как Ро(1) как вероятность удовлетворяет неравенствам 0 <Ро(1) <1, то могут представиться три следующих случая: 1) р = О, 2) р = 1, 3) 0 < р < 1. Первые два случая малоинтересны.
В первом из них при любом ! имеет место равенство Ро(1) = 0 и, значит, вероятность за промежуток времени любой длительности произойти хотя бы одному событию равна единице. Другими словами, с вероятностью единица за промежуток времени любой длительности происходит бесконечно много событий. Во втором случае Ро(1) = 1 и, следовательно, события не наступают. Интерес представляет лишь третий случай, в котором положим р = ехр (-Л), где Л вЂ” некоторое положительное число (Л = — 1п р). Итак, из прелположений стационарности и отсутствия последействия мы вывели, что при любом М > 0 Ро(1) = ехр ( — Л!).
279 Ф 50. Процесс Г!уассона Понятно, что при любом ! имеет место равенство Ре(!) + Р~ (1) + Р> ~ (!) = 1. Из (1) вытекает, что при малых 1 Ре(!) = 1 — Л1+ о(!). Следовательно, в силу условия ординарности, Р~(!) = Л1+о(1). (2) Теперь мы можем перейти к выводу формул для веровтностей Рь(1) при В > 1. С этой целью опреаелим вероятность того, что за время Ф+ сз! событие наступит ровно к раз.
Это может осушествиться я+1 различными способами, а именно: 1) за промежуток времени длительности! произойдут все й событий, а за время Ы вЂ” ии одного; 2) за время ! произойдет я — 1 событие, а за время Ь! — одно; я+ 1) за время ! событие ие наступит ни одного раза, а за время 2И произойдет !г раз. По формуле полной вероятности л Рь(! + ~з!) = ~~„Ру(1)Р, у(~Л!) у> а (при этом принято во внимание как условие стапиоиарности, так и условие отсутствия последействия). Положим ь-г Яь = ~~~ Р'(1)Рь '(М). Очевидно, что ь — 2 л и 2!л < ~~г Рь у(Ы) = ~ Р,(Ь!) < ~~» Р,(М) = Р>~(И) = о(Ы), у=о ~=г 3=2 согласно условию ординарности. Таким образом, Рь(1+ Ь1) = Рь(8)Ра(Ь1) + Рь ~(1)Р~(ЬЮ) + о(М).
Далее, согласно (1') и (2) Рд(А() = 1 — ЛЬ| + о(гЛ1), Р~(Ы) = ЛЬ1+ о(И), гвО Глава 10. Теория стохастическик процессов поэтому Рк(С+ с5С) = (1 — ЛМ)Рр (С) + ЛСьСРк 1(С) + о(М). Отсюда (7) В частности де~(С) — = Л. гСС Последовательное решение уравнений учете начальных условий к равенствам: (ЛС)з е,(С) = ЛС, ез(С) = —, 2 (7') (7') и (7) приводит нас при (ЛС)з ез(С) =— 3! и вообще (ЛС)к ек(С) = —. /с! Таким образом, окончательно (ЛС)" Рк(С) = — ехр (-ЛС) Сг1 (8) при любом /с > О.
Задача, стоявшая перед нами, решена. Высказанные нами в начале параграфа условия с большой точностью выполняются в многочисленных естественнонаучных явлениях и технических процессах. Для примера укажем на число спонтанно распавшихся атомов радиоактивного вещества за тот или иной промежуток Рк(С + СзС) — Рк(С) о(,~И) = — ЛРь(С) + ЛРк ~(С) + Поскольку при С1С -+ 0 предел правой части равенства существует, сушествует и предел левой части.
В результате получаем уравнение гСРк(С) й = — ЛРк(С) + ЛРк-1(С) лля определения Ре(С). Начальные условия мы выберем такие: Ре(0) = 1, Рк(0) = 0 при Сг > 1. (4) Решение системы уравнений (3) проще всего осуществить посредством замены Рк(С) = ехр ( — ЛС)ея(С), (5) где еь(С) — новая искомая функция. Заметим, что, в силу (!), ве(С) = 1. Соотношения (4) приводят нас к таким начальным условиям: ьв(0) = 1 и ек(0) = 0 при /с > 1. (6) Подстановка (5) в (3) приводит нас к уравнению гСек(С) = Лвк,(С). Ф гв1 Ф 50. Процесс Пуассоне времени (котла этого вещества не слишком мало и не слишком много); на число космических частиц, попавших на определенную плошадку за промежуток времени Е Если мы имеем дело с какой-нибудь сложной радиотехнической системой, состоящей из большого числа элементов, каждый из которых лишь с малой вероятностью может отказать в работе за елиницу времени, независимо от состояния других элементов, то число элементов, отказавших за промежуток времени (О, Ц, представляет собой случайный процесс.
Этот процесс во многих случаях будет хорошо описываться только что рассмотренным процессом Пуассона. Промежуток времени между появлениями двух последовательных интересующих нас событий представляет собой случайную величину, которую мы обозначим через т. Найдем распределение вероятностей т. Так как очевидно, что событие т > 1 эквивалентно тому, что за промежуток времени длительности $ событие не появится ни разу, то Р(т > й) = ехр (-ЛЦ. Искомая функция распределения, таким образом, задается формулой Р(т < Ц = ! — ехр (-Лй).
(9) Полученный результат мы можем физически трактовать многими способами. Например, мы можем смотреть на него как на распределение времени своболного пробега молекулы или как на распределение времени, протекшее между двумя отказами элементов в сложной радиотехнической схеме. Заметим, что теория, развитая в настоящем параграфе, может быть применена не только в предположении, что параметр 1 играет роль времени. С этой целью рассмотрим дополнительный пример. Пример. В пространстве разбросаны точки с соблюдением следующих требований: 1) вероятность Й точкам оказаться в области С зависит только от объема и этой области, но не зависит ни от ее формы, ни от ее положения в пространстве; эту вероятность обозначим рь(в); 2) числа точек, попавших в неперекрывающиеся области, являются независимыми случайными величинами; 3) 2 рь(Ьв) = о(Ьв).
ь=2 Наложенные условия являются ничем иным, как условиями стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Отсюда (ав)ь () р( ) й! Если в жидкости взвешены мельчайшие частицы какого-либо вещества, то под влиянием ударов окружающих молекул эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (броуновское движение). В результате в каждый момент времени мы имеем случайное распределение частиц гбг Глава 10.
Теория сгохасгическик гроцессоа в пространстве, о чем только что была речь. Согласно теории настоящего примера следует считать, что распределение частиц, попадающих в некоторую определенную область, будет подчинено закону Пуассона. В табл. 14 сравниваются результаты опыта с частицами золота, взвешенными в воде, заимствованные нами из статьи Смолуховского, и результаты вычислений по закону Пуассона. Таблица 14 Постоянное Л = ав, которым определяется закон Пуассона, выбрано равным среднему арифметическому из наблюдающегося числа частиц, т. е. 0,112+ 1,168+ 2,130+ 3,69+ 4,32+ 5,5+ 6,1+ 7,1 518 В 51. Процессы гибели и размножения В начале текущего столетия в связи с задачами биологии и телефонной связи возникла простая, но весьма полезная схема, получившая наименование процессов гибели и размножения. В качестве весьма частного случая она включает в себя задачу предшествующего параграфа о процессе Пуассона. Несмотря на узость исходных предположений процессов гибели и размножения, они находят широкое применение в ряде прикладных задач, позволяя получить не только схематическое представление о происходящих изменениях системы, но и расчетные формулы.
Прелставим себе, что интересуюшая нас система может находиться в одном из состояний Ед, Е„Ем..., множество которых конечно или счетно. Со временем состояния системы изменяются, причем за промежуток длительности Ь система из состояния Е„переходит в состояние Е„+ ~ с вероятностью Л„И+ о(Ь) и в состояние Е„~ с вероятностью и„Ь+ о(Ь). Вероятности того, что за промежуток (1, 1+ Ь) система перейдет в состояние Е„~к с Й > 1, бесконечно малы по сравнению с Ь. Отсюда следует, что вероятность остаться в том же состоянии Е„за промежуток времени Ь равна 1-Л„Ь вЂ” и„И+о(Ь). Постоянные Л„и и„мы предполагаем зависящими 5 б1. Процессы гибели н размножения 283 от п, но не зависящими от ! и оттого, каким путем система пришла в это состояние. Последнее обстоятельство означает, что рассматриваемый процесс является марковским.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
