Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Теория, которая будет здесь изложена, может быть распространена и на тот случай, когда Л„и и„зависят также и от Е Случайный процесс, о котором только что шла речь, носит название процесса гибели и размножения. Если под Е„понимать событие, состоящее в том, что численность популяции равна и, то переход Е„-+ Е„~, означает, что численность популяции увеличивается на единицу. Точно так же на переход Е„о Е„, следует смотреть как на гибель одного члена популяции. Если при любом и > ! имеет место равенство и„ = О, т.е.
если возможны только переходы Е„ -о Е„ или Е„ -к Е„ч.~ в момент изменения состояния, то процесс называется процессом размножения (иногда говорят о процессе чистого размналггния; именно таким является процесс Пуассона). Если же все Л„=О, то говорят, что имеет место лрацесс гибели. Обозначим через рк(1) вероятность того, что изучаемая нами система в момент ! находится в состоянии Ек. Рассуждениями, подобными тем, которые мы провели в предыдущем параграфе, мы придем к системе уравнений, управляющей процессом гибели и размножения ро(1) = -Лоро(!) + и,р,(1) и при Й>1 рк(1) = — (Лк+ик)рк(!)+Лк-ук-~(!)+ик+ьркк1(!) (2) Наши обозначения несколько неполны, поскольку мы не указываем, из какого состояния Е начала изменяться система.
Исчерпывающим было бы такое обозначение: рб(!) — вероятность того, что система окажется в момент $ в состоянии Е, если в момент О она находилась в состоянии Е;. В задаче о процессе Пуассона мы предположили, что в начальный момент О система находилась в состоянии Ео. Уравнения (1) и (2) принимают особенно простой вид для процес- сов чистой гибели и чистого размножения.
Во втором случае, проведя последовательное интегрирование, получим (формулы написаны в пред- положении, что все Л„ различны) ро(1) = ехр( — Ло1), л р~(Ф) = г(ехр (-Ло1) — ехр ( — Л~!Я, л, — л, лл г рз(!) = ~ (ехр (-Ло1) — ехр (-ЛгЦ) + л,-л,~л,-л, ! + (ехр ( — Л~1) — ехр ( — Лг!)) Лг — Л~ Мы предположили при этом, что при ! = О система находится в со- стоянии Ео. Без труда можно выписать и общее решение, убедившись при этом, что функции рк($) неотрицательны при всех !о и Е Однако, 284 Глава 1О. Теория стохастических процессов если Лк растут слишком быстро при возрастании 7о, может случиться, что Ярк(!) <1 к=о Теорема В.
Феллера. Для того чтобы при всех значенши ! решения рк(!) уравнений чистого размножения удовлетворяли соотношению ~~', Рк(!) = 1. к=о (3) необходимо и достаточно росходимости ряда ~" л„-.'. я=о (4) Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда (3) з~(!) — Ро(!) + Р~(1) + ° + Ро(!) Из уравнений размножения вытекает, что з'„(!) = — Л„ря(!). Отсюда находим, что (5) 1 — з„(С) = Л„ / р„(С) б! о (6) (если вместо начального условия ро(0) =! взятьдругое, а именно р;(О) = 1, то равенство (6) имеет место при и > з). Так как все члены суммы (5) неотрипательны, то при каждом фиксированном значении ! сумма з„(!) с возрастанием и не убывает.
Следовательно, сушествует предел 1ип [1 — з.(!)1 = р(!). 8 силу (6) мы заключаем, что Л„( р„(!) б! > р(!). Отсюда ясно, что о /1 1 1Л / з„(з) бз >,и(!)~ — + — +... + — ). Так как при любых ! и и имеет о " Ло Л~ Ля место неравенство зо(1) < 1, то г'1 1 1Т ! > Р(!) ~ — + — +... + — ) . (,Ло Л, '" Л„)' Если ряд (4) расходится, то из последнего неравенства вытекает, что при всех ! должно быть р(!) = О. Из (7) теперь следует, что расходимость ряда (4) приводит к (3). О 51. Процессы гибели н размножения гВВ 1 Из (б) ясно, что Л„ / ри(!) б! < 1 и, следовательно, ] зи(з) бз < — + О О ЛО ! 1 ОО + — +...+ —.
В пределе при и-» оо получаем ] ]1 — р(з)]ба< г л„'. Л Ли О =О Если р(!) = 0 при всех 1, то левая часть неравенства равна 1, а поскольку ! произвольно, ряд, стоящий в правой части, расходится. Теорема доказана. В предыдущем параграфе мы имели Ли = Л. Следовательно, ряд (4) расходится и при всех ! имеет место равенство г , 'ри(!) = 1. О=О На сумму г ри(!) можно смотреть, как на вероятность того, что и=О за время ! произойдет лишь конечное число изменений состояний систе- МЫ. ТаКИМ ОбраЗОМ, раЗНОСтЬ 1 — г ри(!) СЛЕдуЕт ИитЕрирстирОВатЬ КаК и=О вероятность бесконечного числа изменений состояний системы за вре- мя !. В явлениях радиоактивного распада такая возможность означает лавинный распад.
Пример 1. Резервирование бвз восстановления. Представим себе тех- ническую систему, состоящую из одного основного элемента и и таких же резервных. Основной прибор за промежуток времени (1, !+ Ь) отказывает с вероятностью ЛЬ+ о(И), а каждый из резервных приборов — с вероят- ностью Л'Ь+ о(Ь). На смену отказавшему прибору немелленно ставится прибор из резерва, отказавший же прибор дальнейшего участия в рабо- те системы не принимает. Система в целом отказывает в момент, когда все элементы — основной и резервные — окажутся в состоянии отказа. Найти вероятность того, что в момент ! в системе имеется Ь отказавших элементов (событие 8»).
Мы имеем дело со случаем чистого размножения. При этом Л» =Л+(и — Ь)Л' при 0<И<и, Ли+» - О, при Ь) 1. Несложные вычисления приводят к равенствам л,л, ...Л», »» р»(!) =,,» ехр( — Л»!)(1 — ехр( — Л'8)), 0 < И < и, и ЛОЛ! ... Л„!Л !' и р„»»(!) =,,„у ехр( — Лз)(1 — ехр( — Л з)) г(з. О В частности, если Л' = 0 (резерв называется ненагрулсенным или холодным; элементы в таком резерве не отказывают), то имеют место равенства Л»!» (Л1)» р»(!) = —, ехр ( — Л!) (О < 1О < и), ри+,(!) = 1 — ~~» —, ехр (-Л!). Ь! » — О 286 Глава 1О.
Теория стокастическик процессов При Л' = Л (нагруженный или горячий резерв; в таком резерве все элементы находятся в том же состоянии, что и основной) р»(1) = С„+, ехр( — (и+ 1 — й)Л1)(! — ехр( — Л1)) . Обозначим через (» ллнтельность жизни й-го элемента в период работы. Для ненагруженного резервирования длительность жизни системы равна 4»+4~ +...
+(~. Так как срелний срок службы одного прибора 00 равен 2 ехр ( — Л1) е! = —, то средний срок службы системы при холод- О и+1 ном резервировании равен —, т.е. пропорционален обшему числу Л элементов системы. Среднюю продолжительность безотказной работы резервированной системы при нагруженном резервировании вычислим следуюшнм способом: отметим моменты последовательных отказов элементов — 1о 1»,... ..., Ф„+1 н введем обозначения т, = 1ы тз = 1» — 1м тз = 1з — 1» т„+, — — 1„» ~ — 1„. Поскольку в первом отрезке вреМени работают все приборы, вероятность того, что за время 1 не откажет ни один из них, равна ехр ( — (и+ 1)ЛЮ); вероятность того, что во втором интервале не откажет ни один из работоспособных элементов, равна ехр (-Лп1).
Наконец, вероятность того, что за время 1 не будет отказов в последнем интервале, равна ехр ( — Л1). Теперь легко подсчитать, что время работы резервированной системы до отказа равно 1/ 1 1з Мт» = — ~1+ -+... +-). Л~, 2 и) Если и велико, то 1 1 1+ — +... + — 1пя+ с, 2 и где с — постоянная Эйлера, с = 0,577215.... Пример 2. Системе обслуживания с потерями. Мы рассмотрим теперь одну из задач новой прикладной математической дисциплины, получившей название теории массового обслуживания.
Первые ее задачи были рассмотрены датским ученым Эрлангом — долголетним сотрудником лаборатории Копенгагенской телефонной компании. Предположим, что на телефонную станцию поступают вызовы от абонентов. Если в момент поступления вызова аппарат вызываемого абонента свободен, то происходит мгновенное соединение и начинается разговор, который продолжается столько, сколько необходимо для его завершения. Если же вызываемый абонент занят, то вызываюший абонент получает отказ. Нам важно подчеркнуть две особенности, с которыми необходимо считаться при рассмотрении возникаюших здесь вопросов. Во-первых, вызовы на станцию поступают в случайные моменты времени, и предсказать б 51. Процессы гибели и размножения 287 при 1<Ь<п рк(С) = — (Л+ Ьи)рк(С) + Лр» ~(С) + (Ь+ 1)ирк»>(С) и при Ь = и (9) р'(С) = Лр.
— (С) — ро(С) К этим уравнениям мы должны добавить еше одно (10) о Рк(С) = ! к=о смысл которого прост: в любой момент времени возможны только события Ео,Еп ",Ео. Обычно интересуются изучением установившегося процесса„т.е. рассматривают решение при С вЂ” » ао. Как мы увидим позднее, в условиях нашей задачи существуют пределы р» = !пп рк(С) к->оо и эти предельные вероятности удовлетворяют следующей системе алгеб- раических уравнений, получающихся из (8) — (10) путем замены функ- ций рк(С) на постоянные рк, а производных рк(С) иа нули: -Лро + ир~ — — О, Лрк ~ — (Л+ Ьи)рк + (Ь + 1)ирко ~ — — О, ! < Рс < и, Лр„~ — пир„= О, о Я Рк=!. (11) к=о Обозначением хк = Лр» ~ — Ьирк мы приводим систему наших алгебраических уравнениИ к следующей: я~=О, зк — гк ~=0 при 1<Ь<п, г„=О, зараиее, когда поступит очередной вызов, иет возможности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
