Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Первое слагаемое правой части в силу (1) имеет своим пределом О. Второе слагаемое, согласно (2), дЬ' в пределе равно а(1, х) —. Наконец, третье слагаемое может отличаться дх дно от -Ь(1, х) — только на слагаемое, стремящееся к нулю при Ь -б О. 2 ' д' Но так как левая часть последнего равенства от 6 не зависит и только что указанные предельные значения от б не зависят, то предел правой части существует и равен дР(1, х; т, р) 1 дзбт(1, х; т, р) а(С, х) + -Ь(1, х) дх 2 ' дхз Отсюда мы заключаем о существовании предела: Р(1-Гб,х;т, )-г(б,х;т,р) дК(б,х;т,р) аб-чО 1пп бзб дС Равенство (5) приводит нас к уравнению (4). Если предположить, что существует плотность распределения д Т(1, х; т, р) = — Ь'(1, х; т, р), др то простое дифференцирование (4) показывает, что плотность Г(1, х; т, р) удовлетворяет уравнению дЯ, х; т, р) дЯ, х; т, р) 1 дзГ($, х; т, р) дб +а(б,х) ' ' ' + -Ь(1,х) ',' ' =О.
(4') дб 2 ' дх' Мы перейдем теперь к выводу второго уравнения Колмогорова. Прн этом мы не станем стремиться к наибольшей возможной общности и сделаем допущения, не вызываемые существом дела. Помимо уже сделанных предположений, мы наложим на функцию е (1, х; т, р) еше такие ограничения: 3) существует плотность распределения вероятностей дР($, х; т, р) Г(1,х;т,р) = др 554.
Непрерывный случайный процесс 4) существуют непрерывные производные дУ(1,х; т,у) д дз — [а(т, у)У(1, х; т, у)], — [Ь(т, у)7(1, х; т, у)]. дт ' ду ' ' ' ' ' дуг Вгсрое уравнение >4олмогоровв 4>. Если выполнены условия 1) — 4), то для непрерывного случайного процесса без последействия плотность г ($, х; т, у) удовлетворяет уравнению Ц(1,х;т,у) д 1 д' = — — [а(т, у)7(1, х; т, у)] + — — [Ь(т, у) у(1, х; т, у)]. (6) дт ду ' ' ' ' 2дуз Доказательство. Пусть а и Ь (а < Ь) — некоторые числа и Я(у)— неотрицательная непрерывная функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка включительно.
Кроме того, мы потребуем, чтобы Я(у)=0 при у<а и у>Ь. Из условия непрерывности функции Я(у) и ее производных заключаем, что Я(а) = Я(Ь) = Я'(а) = Я'(Ь) = Яв(а) = Ял(Ь) = О. (7) Заметим прежде всего, что ь ь Я(у)дузе — ! у(Ь,х;т,у)Я(у)дузв ду(1,х;т,у) д Г дт дт,/ е е = 1!гп Я(у) ду. дт- о ")" 7 (1, х; т + >лт, у) — 7' (1, х; т, у) 4'.!т Согласно обобщенному уравнению Маркова 7(1,х;т+тзт,у) = / у(1,х;т,я)7(т,я;т+!зт,у) дл, поэтому ь дУ(1, х; т, у) дт е 1 = !пп — /~ у(1,х;т,я)7(т,я;т+Ьт,у)Я(у) дяду— д -шит Л 4> Второе уравнение колмогорова было получено раньше физиками Фоккером н планком в связи с развитием теории диффузии.
304 Глава 1О. Теория стохестических Пбоцессое 1. Т(б,х;т,у) >0 при всех 1,х,т,у. 2. 1 Т(1, *; ~, у) г(у = 3. 1пп Т"(б,х;т,у) НУ = О при любом д > О. т-чб ~а-х1>б (10) Мы не будем останавливаться на выяснении тех условий, которые нужно наложить на функции а(1, х) и Ь(1, х), чтобы существовало решение уравнение Колмогорова, удовлетворяющее перечисленным требованиям, и было бы при этом единственным. Мы несколько усилим требование непрерывности с тем, чтобы выяснить физический смысл коэффициентов а(1,х) и Ь(1,х). Именно, предположим вместо (1), что при любом б > 0 имеет место соотношение 1'пп — у (у — х) бббР(1 — 2!гб, х; 1, у) = О.
1 з (!') ш- а 2!1,/ 1б — я1>б Легко видеть, что из (1') следует (1). Требования 2 и 3 могут быть теперь записаны иначе, а именно, 1 Т 1пп — / (У вЂ” х) б!уР(1 — бз1, х; 1, у) = о(1, х) (2') аб- а Тзб,/ йт — у (у — х) б(кР(1 — ба!,х;1,У) =Ь(1,х). (3') 2 лб а баб,/ Остальные требования, а также окончательные выводы от замены (1) на (1') не изменяются. Так как (у — х) ЙбР(1 — баб, х; 1, у) = М[С (1) — С (1 — бГ1) [ является математическим ожиданием изменения с(1) за время бз1, а (у — х)2 д Р(1 — Т31, х;1, у) = М[68) — 4(1 — !31)[з части равенства (9), должен быть отличен от нуля.
Мы пришли к противоречию. Таким образом, сделанное нами предположение ошибочно и, следовательно, из (9) вытекает (6). Естественно, что основная задача, которую приходится решать, состоит не в проверке того, что данная функция Т(1, х;т, у) удовлетворяет уравнениям Колмогорова, а в разыскании неизвестной функции Т (1, х; т, у) по этим уравнениям, в которых коэффициенты а(1, х) и Ь(1, х) предполагаются неизвестными. При этом, конечно„разыскивается не какое-нибудь решение уравнений Колмогорова, а лишь те из них, которые удовлетворяют следующим требованиям: 305 0 54.
Непрерывный случайный процесс есть математическое ожидание квадрата изменения С(С) и, следовательно, пропорционально кинетической энергии (в предположении, что ((С) есть координата движущейся под влиянием случайных воздействий точки), то из (2') и (3') ясно, что а(С, х) есть средняя скорость изменения ((С), а Ь(С, х) пропорционально средней кинетической энергии изучаемой нами системы. Мы заключим этот параграф рассмотрением частного случая уравнений Колмогорова, когда функция ~(С,х; т,у) зависит от С, т и у — х, но не от самих х и у. Физически это означает, что процесс протекает однородно в пространстве: вероятность получить приращение гз = у — х не зависит от того, в каком положении х находилась система в момент времени С.
Очевидно, что в этом случае функции а(С, х) и Ь(С, х) не зависят от х, а являются функциями только одного аргумента С: а(С) = а(С,х); Ь(С) = Ь(С,х). Уравнения Колмогорова в рассматриваемом нами случае переписываются т вне: в аком д дС дС 1 д 2 — = -а(С) — — -Ь(С) —,, дС дх 2 дхг' Ю дУ 1 дг1 — = -а(т) — + -Ь(т) —,.
дт ду 2 ду' ' Рассмотрим сначала частный случай, когда а(С) = 0 и Ь(С) = 1. Уравнения (11) при этом превращаются в уравнение теплопроводности дгг 1 ~гУ дт 2 дуг (12) и ему сопряженное д,г" 1 дгу дС 2дхг' Из обшей теории уравнения теплопроводности известно, что единственное решение этих уравнений, удовлетворяющее условиям (10), дается функцией 1 (у — х)г ) л'*'в-„— р ~ ч Заменой переменных г в в х =х — з~а(в)г(в, у =у — ~Ь(в)гСв, С =г~Ь(а)йв, т =г~Ь(в)гС» ч в а а уравнения (11) свалятся к уравнениям (12). Это дает возможность искомое решение уравнений (11) записать в виде 1 ~ (у- — А)г) С(С, х; г, у) = ехр ~— ог/2я к( 2ег Зоб Глава 10. Теория стокастическик троцессов где обозначено 555.
Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова-Феллера В современном естествознании большую роль играют процессы, в которых изменение системы происходит не непрерывно, а скачками. Примеры такого рода задач приведены во вводном к настояшей главе параграфе. Мы будем говорить, что случайный процесс С(С) чисто разрывен, если в течение любого промежутка времени (С, С + ЬС) величина С(С) остается неизменной и равной х с вероятностью 1 — р(С, х)ЬС+ о(ЬС) и лишь с вероятностью р(С, х)ЬС + о(С.'гС) может претерпеть изменение (прн этом мы считаем, что вероятность более чем одного изменения с(С) за промежуток времени ЬС есть о(Ы)).
Естественно, что поскольку мы ограничиваемся рассмотрением процессов без последействия, функция распределения дальнейших после скачка изменений с(С) уже не зависит от того, какое значение имело с(С) в моменты, предшествующие скачку. Обозначим через Р(С, х, у) условную функцию распределения с(С) при условии, что в момент С произошел скачок и непосредственно до скачка с(С) было равно х (т.е. с(С вЂ” 0) = х).
Функция распределения Р(С,х;т,у) легко может быть выражена через функции р(С, х) н Р(С, х, у), а именно Р(С, х; т, у) = [1 — р(С, х)(т — С)[Е(х, у) + (т — С)р(С, х)Р(С, х, у) + о(т — С). (1) По смыслу определения функций р(С, х) и Р(С, х, у) они неотрицательны, причем для Р(С, х, у), как для функции распределения, выполнены равенства Р(С,х,— оо) = О, Р(С,х,+со) = 1.
Кроме того, мы предположим, что р(С,х) ограничена, обе функции р(С, х) и Р(С, х, у) непрерывны относительно С и х (достаточно, на самом деле, предположить, что они измеримы по Борелю относительно х). В отношении функции Р(С,х;т,у) мы не станем делать никаких предположений и лишь сохраним ее определение при С = т: (О при у<х, 11ш Р(С,х;т,у) = 1пп Р(С,х;т,у) = Е(х,у) = т-иго ' ' ' г-~т-О ' ' 1 1 при у>х. Одна из задач настояшего параграфа состоит в доказательстве следующей теоремы. 5 55.
Чисто разрывный процесс Теорема. Функция распределения Р(1, х; т, у) чисто разрывного процесса без паследействия удовлетворяет двум следующим интегродифференциальным уравнениям: =ге )[гР,*: .й — 7' г))*:,р)ге)), )~,)2) й = — / р(1, х) д, Р(1, х; т, х) + дт + / р(т, «)Р(т, х, у) )1,Р($, х; т, х). (3) Уравнение (2) было получено А. Н. Колмогоровым в 1931 г:, в сделанных нами предположениях оба уравнения (2) и (3) были получены В. Феллером в 1937 г. Это обстоятельство приводит нас к естественному наименованию уравнений (2) и (3) уравнениями Колмогорова-Феллера. Доказательство. В силу обобщенного уравнения Маркова Р(С, х; т, у) = Р(! + гМ„«; т, у) г(гР(С, х; С + гХ1, х). Подставив сюда значение Р(8, х; ! + гз1, х) по формуле (!), находим, что Р(1, х; т, у) — / Р(С + И, х; т, у) д, ( [1 — р(1, х) гз! + о(гзг)]Е(х, «) ) + + /Р(!+г!1,х;т,у)д,Цр(1,х)гь!+о(~!)[Р(1,х,х)).
Так как Р(! + )2)1, х; т, у) д, Е(х, х) = Р(! + )М, х; т, у), Р(1,х;т,у) = [1 — р(1,х)с)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
