Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Но поскольку процесс прядения можно считать установившимся, постольку вероятностные характеристики качества пряжи представляют собой стационарный процесс. Понятно, что любая числовая характеристика стационарного процесса С(1) не зависит от момента 1 и, например, если С(1) имеет конечную дисперсию, то, очевидно, имеют место следующие равенства: МС($+ и) = МС($) = МС(0) = а, 0С(г + и) = 0((1) = 0С(0) = (т, М(((Е+ и)С(1)) = М(С(и)С(0)). Это обстоятельство позволяет без ограничения общности дальнейших результатов считать а = 0 и о = 1 (для этого, очевидно, достаточно с(1) — а вместо С(г) рассматривать отношение ).
Мы ограничимся здесь только изучением важнейшей числовой характеристики С(г) — ее корреляцноннон функции, т.е. коэффициента корреляции между величинами с(1) и с(г + и) Я(и)— М[С(1+ и) — МС(1+ и)][С(1) — МС(8)] (ьщ оя(ж~ ( В силу сделанного предположения о том, что а = 0 и о = 1, выражение для В(и) принимает более простой вид Я(и) = МЯ(и)((0)). Мы назовем стационарный процесс непрерывным, если 1пп Д(и) = 1. я.чо В случае непрерывного стационарного процесса Я(и) есть непрерывная функция от и.
Действительно, ]В(и+(Ъи) — В(и)] = ]МЦ(и+Ли)С(0)) — М(С(и)С(0))] = = !М(С(0)[С(и+ (зи) — С(и)]) [. 320 Глава 1О. Теория стохвсгпчоских процвссов Но в силу неравенства Коши — Буняковского (М(4(0)[1(ц+ гьц) — ((и)])( < А так как М1 (0) = 1 М[1(ц+ ьгн) — С(ц)]~ = 2(3 — В(Ьц)], то окончательно !и! ~.ь ! — л! )!л Ч'2!1-л!и Ь. Это неравенство доказывает наше утверждение. В теореме, которая сейчас будет доказана, стационарность процесса ((1) можно понимать в следующем более широком смысле: процесс 1(1) стационарен в широком смысле, если математическое ожидание и дисперсия ((1) не зависят от 1, а коэффициент корреляции между ((1!) и С(1!) является функцией только (1! — 1!(. Теорема Хинчинв.
Для того чтобы функция Л(ц) представляла корреляционную функцию некоторого непрерывного стационарного процесса, необходимо и достаточно, юпобы ее мозкно было представить в виде Я(ц) = / созцхаР(х), где Р(х) — некоторая функция распределения. Доказательство. Условие теоремы необходимо. В самом деле, если Я(ц) есть корреляционная функция непрерывного стационарного процесса, то она непрерывна и ограничена.
Докажем, кроме того, что она положительно определена. Действительно, каковы бы ни были действительные числа и!, цз,...,цл, комплексные числа и!,пз,...,бл и целое число и, имеет место следующее соотношение: л 2 Г и л л и 0 < М ~~!), дь((ць) = М ~ ~~! ~~! 0!01((ц!)((цу) ~ = ~~! ~~! Я(ц! — цу)0!01. к=! !=! 1=! 1=! г=! В силу теоремы Бохнера — Хинчина (536) отсюда следует, что В(ц) может быть представлена в виде Я(ц) = / ехр [1цх) аР(х), где Р(х) — неубывающая функция с ограниченным изменением. В силу вещественности функции Я(ц) отсюда получаем: Я(ц) = / созцх аР(х). 9 57. Стационарный процесс. Теорема Хинчине 321 Наконец, приняв во внимание условие непрерывности процесса: В(+0) = 1, находим, что Р(+со) — Р( — оо) = 1, т.е. что Р(е) есть некоторая функция распределения.
Условие достаточно. Нам дано, что В(и) есть функция вида (1). Требуется доказать, что существует стационарный процесс С(а), имеющий своей корреляционной функцией функцию В(ц). С атой целью для каждою целого и и каждой группы действительных чисел !ы!и..., 1„ рассматриваем и-мерный вектор Щ),((!з),...,Я!а), распределенный нормально и обладающий свойствами М((1<) = М((!з) = ... = М((1а) = О, О~(1,) = О((1,) =... = Ц(1„) = 1, при любых з и у коэффициент корреляции между С(К;) и С(11) равен В(й — !1), т. е. МР;)Ру) = В(!! - 11). Вид функции В(и) обеспечивает положительную определенность квадратичной формы, стоящей в показателе и-мерною нормального закона. Определенный таким образом нормальный случайный процесс стациоиареи в узком и широком смысле слова.
Доказанная теорема играет основную роль в теории стационарных процессов и в ее физических приложениях. За подробностями отсылаем к специальной литературе, для начала к литературе, приведенной в конце книги. Пример 1. Пусть С(1) = С соз ЛФ + у! в!и Л1, где С и у! — иекоррелироваииыеа1 случайные величины, для которых МС = Му! = О, 0С = Оу) = 1, а Л вЂ” постоянное. Так как В(и) = мс(1+ и)с(1) = = М[(совЛ(!+ и)+ууяп Л(!+и)~ [С созЛ!+ у!в!пЛ![ = = М [(~ сов Л! сов Л(Ф+ и) + (у1(з!и Л(1+ и) сов Л1+ соз Л(Ю+ и) яп Л!) + +у! япЛ!з!пЛ(!+и)~ = созЛ!созЛ(1+и)+з!пЛ!япЛ(!+ц) = созЛи, то процесс Щ стациоиареи в широком смысле.
Для него в формуле (1) мы должны положить 0 при а< — Л, Р(х) = 0,5 при -Л < и < Л, 1 при в>Л. УУ Случайные величины ( н В нааыааютса неаоррелнрованнымн, если Мза = МС Муг. И Кура таараа ыраатнытаа згг Глава 10. Теория сгохестических процессов Пример 2 Пусть н ч(1) = „х, Ь»ч»(1), к=! и где Ск(1) = Ск соз Л»1+ Ок з1п Л»8, Л» — постоянные, 2' ,Ьз» вЂ” — 1, случайные к=! величины С» и т1к УдовлетвоРЯют следУющим УсловиЯм: М6 = МО = О, 0( = Оп = 1 (1 < й < Я), Ми =Мсдп =О при (~у, М(!О =О при 1,у =1,2,...,п. Легко подсчитать, что корреляционная функция для С(1) равна и Я(ц) = ~! Ь„сок Л»ц к=! и что, следовательно, процесс является стационарным в широком смысле. Функция Р(х) в формуле (1) растет только в точках хЛ» и имеет в них 1 г скачки размера -Ь».
2 Случайные процессы, для которых Р(х) растет только скачками, называются процессаии с дискретным спектром. Легко видеть, что всякий процесс вида й(1) = ~ ~,'Ь»й,(1), (2) к=! где 2 Ьз~ < оо и Ск(1) сохРанЯют смысл, пРиданный им в пРимеРе 2, к=! является стационарным в широком смысле и имеет дискретный спектр. Важно отметить, что Е. Е. Слуцкий обнаружил глубокое обратное предложение: всякий стационарный процесс с дискретным спектром представим в виде (2). Обобщение этой теоремы Слуцкого на случай произвольного спектра будет сформулировано в следующем параграфе.
Параллельно с развитием теории стационарных процессов развивалась теория стационарных последовательностей. Последовательность случайный величин 4-г.ч-! чо 4! чз " называется стационарной е широком смысле, если для всех членов после- довательности математические ожидания и дисперсии являются постоян- ными числами, не зависящими от места в последовательности, ...
= Мс-г = мс ! = Мсо = мс! = Мс, = ... = о, 2 ...=Ой' к=0( !=0(»=0(!— - 0(з=...=о, а коэффициент корреляции между С, и (; является функцией только (1 — Я. згз б 58. Спектральное разложение В качестве упражнения мы предлагаем читателю 1) вывести, используя результаты В 36, общий вид корреляционной функции для стационарной последовательности; 2) доказать теорему — если для стационарной последовательности 1пп Я(з) = О, В-вав где Я(в) — коэффициент корреляции между С! и Св+„то для нее имеет место закон больших чисел„т.е. при и -+ со (-~ь-.~ ь=! каково бы ни было постоянное е ) О.
е 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов Для дальнейшего нам необходимо ввести понятие стохастического интеграла. пусть в сегменте о < 1 < ь заданы случайный процесс с(1) и числоваЯ фУнкциЯ 7(1). Разобьем сегмент [а, Ь] точками а = 1а < 1! < «... 1„= Ь и рассмотрим сумму к 7 = ~' 1(1!)((1!)(1 — 1в-!) в=! Если при шах (1! — 1; !) -+ О эта сумма стремится к некоторому пределу !<вял (представляющему собой, вообще говоря, случайную величину), то этот предел называется интегралом олв случайного процесса С'(1) и обозначается символом ь '=У '«'"' а Несобственный интеграл (при а = — оо, Ь = +оо) определяется обычным путем как предел собственных интегралов при а -+ — со, Ь -в оо.
Сходимость интегральных сумм,7„мы будем понимать в следующем смысле: существует случайная величина,7 такая, что при и -в оо М(.7„— .7)' -+ О. (1) Опираясь на известные теоремы теории функций действительного переменного лепсо доказать, что последовательность случайных величин 7„сходится к пределу .7 в смысле (! ) тогда и только тогда, когда при пни(пз,п) -в оо М(,7 —,7„) -+ О. (2) На доказательстве этою факта мы останавливаться не станем.
324 Глава 10. Теория сгохасгнчвскнх процессов Теорема 1. »»игя существования интеграла ь ,7 = у(1)с(С) ЬЫ О достаточно, чтобы существовал интеграл Ь Ь / ~ Я(2 — в)г(2)г(з)вз»(с. При этом ь 2 А = м[2' г!»»!»»»»»Д ь место соотношение (2). Имеем м(г г )2— г ч 22 п т = М ~~~>, /(2!)Я;)Ьт!)~ — 2М ~~» ~~~, У(2»Щз Щ!)((в;)Ьт»Ьз, + »=! »=! 2=! г т 22 н и + М ~~ь У(82)~(ву)Ьзг~ = 1» ~» У($!)У(ть)Я(2 — ть)ЬтьЬть— 2'=! »=! ь=! и т — 2 Е Е у(2!)У(82)Я(2! — вг)ЬтгЬзу + »=! 2=! »л т + ~~» ~~» у(зу)у(аь)Я(зг — аь)ЬвгЬаь. 2=! Ь=! Здесь численные значения 2! и тг, з и гг совпадают. В силу предположения о существовайии интеграла А, и йщ ~~» ь=! и йгл ~~» и Яь)Ят!)Я(СЬ вЂ” т!)Ь1»Ьть = г=! 1» у(1!)у(зу)Я(С! — зу)ЬС;Ьвз —— 2=! и 2(вг)~(»ть)Я(зг — аь)Ьзг Ьаь, Ь=! »=! 1! ~,' 2=! Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
