Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Задача, которую мы здесь рассмотрим, ставится так: на основании некоторых соображений можно считать, что функция распределения случайной величины С' есть Р(х); спрашивается, совместимы ли наблюденные значения с гипотезой, что ~ действительно имеет распределение Р(х)? В частности, если виа функции распределения не вызывает сомнений и в проверке нуждаются только значения некоторых параметров, характеризующих это распределение, то в задаче спрашивается: не опровергают ли результаты наблюдений ту гипотезу, что параметры распределения имеют предположеииые значения? Это — задача проверки простойгипотезы. Если проверяемая гипотеза состоит в том, что параметры принимают не точно определенные значения, а какие-то из некоторых определенных множеств (например, в случае биномиального распределения, гипотеза р < ре), то гипотеза называется сложной.
В качестве второго примера статистической гипотезы приведем проверку однородности статистического материала. Частым случаем этой задачи является следующий: имеются две последовательности независимых наблюдений над случайной величиной ( с функцией распределения е1(х) хн хм..., х„ ЗЗ4 Глава 11. Элвмвнты статистики и над случайной величиной »1 с функцией распределения кз(х) ун уз " ° ущ. Функции распределения тч(х) и Рз(х) неизвестны; требуется оценить правдоподобность гипотезы Р~(х) = лз(х). 5.
Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величин ( и г1. Результаты наблюдений даны следующими парами значений: хн ун хм ум..., х„, у„. Выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между С и »1. 6. Управление процессами. Пусть имеется случайный процесс от дискретного или непрерывного времени ((1). Процесс под влиянием тех или иных причин может нарушить свое нормальное протекание и стать иным, скажем С1(1).
Это нарушение нормального течения может привести к нежелательным последствиям и нам нужно своевременно заметить момент «разладки» и оказать управляющее воздействие с целью восстановления нормального хола процесса. В качестве примера мы можем указать на действие технологической линии, которая вырабатывает определенную продукцию. Время от времени в силу различных причин процесс выходит из нормального состояния.
Этими причинами могут быть затупление инструмента, нарушение теплового или электромагнитного режима. Они приводят к ухудшению качества продукции. По наблюдениям нужно уловить момент разладки и восстановить ход процесса. Заметим, что перечисленными задачами далеко не исчерпываются основные проблемы математической статистики. Совершенно новые задачи перед математической статистикой ставит промышленная и научная практика. В частности, само планирование испытаний является одной из основных задач математической статистики. В 61.
Классический метод определения параметров распределения Классический метод определения неизвестных параметров функции распределения случайной величины 4 состоит в том, что до наблюдения эти подлежащие оценке величины считаются случайными величинами, подчиненными некоторому «априорному» (доопытному) закону распределения вероятностей.
Предполагая этот априорный закон распределения известным, можно вычислить, пользуясь теоремой Баейса, «апостериорный» (послеопытный) закон распределения параметров при условии, что результаты наблюдений над ( оказались равными хн хз,..., х„. Как мы уже говорили раньше, все последующее изложение будет относиться к определению неизвестных параметров а и а нормального закона распределения 1 ( (х — а)'1 р(х)а,«т) = ехр 1— .л-. которому подчинена наблюдаемая величина с. Ф 61. Классический метод оценки параметров 335 Плотность распределения вероятностей того, что в результате и независимых наблюдений нал величиной с будут получены значения х», хг,..., х„при условии, что неизвестные параметры имеют значения а и о, равна 1 Г в'1 у(х», хг,..., х„)а, »т) = ехр ~ — — ), (о Я~)" 1 2о' ) где в = ~~» (хь — а) .
Если ввести значения ь»» х= — ~~ хы в',= — '5 (хь-х)', к=» к=» то простой подсчет показывает, что 1 г — г ) г(х»,хг,...,х„(а, о) = ехр 1 — — '(в» + (х — а) ) ) . (1) (о ч/2х)" ~ 2ог Напомним, что в З 60 были поставлены следующие три задачи: 1) о. известно, требуется определить а; 2) а известно, требуется определить о; 3) а и о неизвестны, требуется их определить. Если предположить, что о известно и»р»(а) означает априорную плотность распределения величины а, то для условной плотности распределения вероятностей величины а при заданном о и найденных значениях х,, хг,..., х„получим такое выражение: г (х», хг,..., хо1а, в)»»г»(й) Х У(х», хг...
х„~а, о)»г»»(а) г(а' После подстановки вместо функции у ее значения по формуле (1) и последующих очевидных сокращений находим, что »р»(а~х», хг,..., х„; о)— (2) п(а — х) ех+ ', ~ р»(а)йа Во второй и третьей задачах соотвегствующие формулы имеют вид: 1(х», хг,..., х„)а, о)утг(о) 1' 1(х», хг... х„)а, о)1ог(а) Йг у(х», хг, ° ° ., хо~а, о)1ог(а, о) Ц У (х „хг,..., х„~а, о)1ог(а, о) Йа Йт ' ззе Глава 11. Элементы статистики где функции 1оз(о) и ооз(а, о) обозначают априорные плотности распределения вероятностей величины о и пары (а, а). После подстановки в эти формулы значения 7 по формуле (1) и последующих простых сокращений находим, что — л о ехр 1 — — ~ ° грз(а) ) 2оз) 1оз(о)хн хм..., х„; а)— (3) о л ехр — — ° грз(а) Йг 2аз 1 о гРз(а а1х~ хт ° хл) = ' *ь1 — 1Л-.-Ь вЂ” ° >'1) г Ь, ) 2оз (4) гр~(х) ~ О, то равномерно относительно а Ф~(а1хнхм...,х„; т)= — охре — -а у ~1+0~ — ~(!+1а1), (5) з/2н 11.
2 ) ~ ~, ь/й,) где а = — (а — х), з/и (6) а а ф(а1хн хм..., хл; о) обозначает апостериорную плотность распределения величины а. Доказательство. Действительно, из (б) находим, что ао а =х+в ь/й (7) о Полученные формулы непригодны для практического использования не только в силу их сложности, но главным образом потому, что входящие в них априорные вероятности, как правило, нам бывают неизвестны. Часто, не зная априорных плотностей, делают о них более или менее произвольные допущения и на их основе получают обозримые для практического применения формулы. Мы пойдем по иному пути: сделаем совершенно общие допущения о характере априорных распределений и из этих допущений выведем предельные закономерности (при и -г оо) для апостериорных вероятностей.
Теорема 1. Если априорная плотность распределения гр~(а) имеет ограниченную первую производную и ЗЗТ 0 61. Классический метод оценки параметров и, значит' ), ехр — — ср1 х +— — уч (а(хп хп..., х„; о)— а~ 1"Н) (" — -) ао ') ао (о1 х+ — ) =(о~(х)+ — у,(х), ,~;)= ' ао где к =х+р — и 0 < й <!.
чЯ По условию теоремы (со~ (х)( < С < +оо, поэтому ехр — — (о1 (х ) + — (о'~ (к) — вв ~ (а)хи хы..., хи; о)— Ф т/2к[(р~(х) + гп ~ где г„= — / аехр ~- — ~(о'~(к) да. ~2 / 1 2) ' Легко сообразить, что 2Со (г„! < —. тт2кп Несложные преобразования приводят нас к равенству (8) Полученное равенство вместе с (8) доказывает теорему. Теорема 2. В условиях предыдущей тпеорвмы /от т М(а(хи хп..., х„; о) = х + О ~ — ), »И -»там..,..., .; (= — Г:о( — /~. ~л) (5') ~ Заметим, что плотность распределении велнчннм о равна тЧ (о(х „ха " ., х» ', в) = — вп (и(х м ха, ", х»: о) ~/и По формуле конечных приращений 1 ( аз 1 (й~(а(хи х„..., х„; ст) = — ехр ~ — — ) и — ьУ2- ( 2) 4а а(о',(х) — — гл 1+— ч/й (р1 (х ) + ги ззв Глава 11.
Элементы статистики Доказательспю. Действительно, из (7) находим, что а М(а]В) = х+ — М(а]В) з/й о.з М'((а — х) ]В] = — 1тз (а ]В), где В означает некоторое событие. Следовательно, о М(и! хм хз, ", хя', о) = х + — ~ азд (а]хи хз, ", х„; и) да з М((а — х) ]х,,хз,...,х„; а] = — / а з/п(а]хмхз,...,х„;о)да. — 2 .
и 2 Подстановка в зти равенства вместо функции т(г1 ее значения по (5) и последующие несложные подсчеты доказывают теорему. Доказанная теорема позволяет написать следующее приближенное равенство: и ° х, средняя квадратическая ошибка которого приближенно равна о'/и. Теорема 1 позволяет получить вероятность того, что о заключается в определенных границах при условии, что величины о, хн хз,..., х„ приняли определенные значения. Действительно, Р ]и — х] < — хнхз,...,хя;о = Р(]а] < а]хнхз,...,х„;и) и, следовательно, в силу (5) Р ]а — х] < — хохз,,х„;о = — ехр — — д1+О Пренебрегая величиной 0(о/з/й) (что можно сделать, вообще говоря только тогда, когда или о мало или и достаточно велико), мы можем считать, что о Р ]и — х] < — с х~ хз " хя,и~ = — / ехр ~ — — ~г(1. з/и ' ' ' ) ~/2х ( 2 ) Теорема 3.
Если априорная плотность роспредсления Рз(о) имеет огриниченную первую производную и 1оз(в) ф О, юо ровномерно относиюельно а 5 61. Классический монга оценки параметров где гггг — апостериорная плотность распределения величины р= —,Я з 3 и в = —. т/и Доказагальсгао. Действительно, из (9) находим, что о. =з 1+— и что айаг(кхи хг,..., х„; о) = — рг 1 в ( 1 + — ) хи хг,..., х„„а уг в+— тЯ 2 1+— По формуле конечных прирашений кз г кз уг в+ д) = уг(з)+ — уг(и), где и = з + о-кнв., а О < д < 1. Чо Согласно условию теоремы Мг(и)~ <С<+со, поэтому 4г(4хнхг,...,х,;а) = с кв уг (з) + — 0(1) т/и т/и 2 1+— б 61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
