Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рассмотрим событие А", состоящее нз тех элементарных событий ы, которые принадлежат бесконечному числу событий А„. Событие А* называется верхним пределом последовательности А„и часто обозначается 1нпапр А„. л-мь Ясно, что А'=П 0Аь. н=!ь=ь Теорема 1.
Если ~; Р(А„) < оо, то Р(А*„) =О. и=! Действительно ь:! ОЭ Р(А*) <!!гл Р( Ц Аь) <!пп ~> Р(Ак) = О, ь=н Для последовательности взаимно независимых событий эта теорема может быть существенно усилена. Теорема 2. (У1емма Бороне-Кантелли). Если события А!, Аз,... взаимно нвзависилгы, то вероятность события 1пп апр А„равна О или 1 н-ню в зависимости от того, сходится ряд ~ Р(А„) или расходится.
л=! В силу теоремы 1 нам нужно доказать лишь следу!ощее: если р!щ ~ Р(А„) расходится, то и=! Р(11щ апр А„) = 1. ь-~ьь Ясно, что ь!'1А' = Ц С„, и=! где С„= П (й '1 А„). Очевидно, что С! С Сз С Сз С ... 364 Дополнение 2 Рассмотрим события Ср = я1, Рк=Ск !Ск-! (я=! 2 "). Ясно, что события Рк несовместимы и Ц С„= Ц Р„.
Отсюда следует, — к=! что (ОС„) = (йР„) =Ь(Р.)=.!'„„Е (Р.)= к=! и=! !к = 1пп ~~! (Р(С„) — Р(С„!)) = 1пп Р(С ). к=! Поэтому Р(й~А') = Р( () С„) = 1нп Р(С ) = 1пп Р( П (й~Ак)), что (в силу независимости событий Ак и расходимости ряда 2,' Р(Ак)) к=! равно 1!щ ПР(П~Ак) = 1!щ П(1-Р(Ак)) =О. к=!к к=к! Отсюда следует, что Р(А*) = 1. Используем лемму Бореля — Кантелли для доказательства необходимости условий теоремы в 30 (с. 188). Пусть с!, ~н... — независимые одинаково распределенные случайные величины и Як =с!+"'+ск.
Покажем, что если имеет место 8к Р~ — — ! а = 1 (а — некоторое число), то у случайных величин С! существует математическое ожидание М5 = а. Действительно, для тех ы, где 8.(ы) -к о, и имеем Ыы) К,Ф) и — 1 8п-!(ы) и и и и — 1 Событие, состоящее из тех ьг, для которых (!) не выполнено, имеет вероятность нуль и для каждого такого ы существует е > 0 такое, что Лемма Бореля — !кангелли и ее применение 365 для бесконечно многих и. Поэтому событие, состояпгее из тех ы, для кось (к!) торых — ~ > 1 для бесконечно многих и, также имеет нулевую вероятность. Это событие можно представить в виде !!пзоорА„, где А„= ы: — > ! си (!") ь-ио и Так как события А„иезависимы, то по лемме Бередя — Каителли Р(Ак) < оо.
н=! Сумма последнего ряда Р(А„) = ~~! Р(~~„! > и) = ~~! Р(!(!! > и) в силу одинаковой распределенности с!. Таким образом Р(!С! ! > а) < оо, и=! а это условие влечет конечность МС„т. к. / СО СЮ )"!Ы(в) = ~ / У.УЦг(я) <,'> (й+ !)Р(й < !(~ < й+ !) = к=о к=о = !+ ~~ „И (й < ~~~ < й+ !) = !+ ~' РЩ > Ц, к=! Как мы видели в э 30, для взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин С! с конечным математическим ожиданием Р~ — -~ М6 Бл поэтому а = МС!. Дополнение 3 Очерк по истории теории вероятностей Глава 1 Предыстория понятия вероятности и случайного события 5 1. Первые данные Сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о количественном измерении возможности появления случайного события. Ясно одно, что мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей.
В течение долгого времени они ограничивались рассмотрением разного рода игр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет обходиться простыми и прозрачными математическими моделями. Однако следует заметить, что многие из них отлично понимали то, что позднее было прекрасно сформулировано Христианом Гюйгенсом: «...я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории», На первом этапе изучения случайных явлений внимание ученых было сосредоточено на трех задачах: 1) подсчет числа различных возможных исходов при бросании нескольких костей; 2) раздел ставки между игроками, когда игра прекращается на каком-то этапе; 3) определение числа бросаний двух или нескольких костей, при котором число случаев, благоприятствующих выпадению на всех костях олинаковых граней (например, «шестерок») хотя бы при одном бросании было большим, чем число случаев, когда это событие не появится ни разу.
Число различных исходов при бросании трех игральных костей было определено в 960 г. епископом Виболдом из города Камбрэ. Он считал, что таких исходов 56 (он не принимал во внимание то обстоятельство, что данное число очков может появиться на любой из трех костей). Бросанию трех костей Виболд придал религиозную трактовку — с появлением 0«ерх по истории теории вероятностей 367 каждого набора трех чисел он связал одну из 56 добродетелей. Описание правильных подсчетов было дано в Х1 веке летописцем Балдерикусом, а появилось оно в печати лишь в 1615 г.
Попытка подсчитать число исходов при бросании трех игральных костей, включая и перестановки, имеется в поэме Ричарда де Форниваль (1200-1250) «13е Чеш!а», написанной в промежутке от 1220 до 1250 гг. В части поэмы„посвященной играм и спорту, имеются следующие рассуждения: «Одинаковое число очков на трех костях можно получить шестью способами. Если число очков на двух костях совпадает, а на третьей от него отлично, то мы имеем 30 способов, поскольку одна пара может быть выбрана 6 способами, а третье число лишь пятью. Если очки на всех костях различны, то мы имеем 20 способов, потому что 30 раз по 4 равно 120, но каждая возможность появляется 6 способами.
Таким образом, существует всего 56 возможностей. Одинаковые числа очков на всех костях можно получить только единственным способом; одинаковые числа очков на двух костях, а третье, отличное от них — тремя способами». Хотя в тексте явно указано лишь число случаев по Виболду (56), но фактически Ричард де Форниваль полностью подготовил подсчет общего числа равновероятных случаев при бросании трех костей, а именно 6 1+ 30 3+ 20 6= 216. Далее Форниваль привел таблицу, в которой вычислены числа способов, которыми может быть получена данная сумма очков на всех трех костях.
Мы приведем табл. 18 в укороченном виде. В первых двух столбцах приведены суммы очков на трех костях, а в третьем столбце — число различных случаев, при которых реализуется зта сумма. Все подсчеты выполнены без ошибок, да и рассуждения, проведенные автором, вполне логичны и даже, можно сказать, современны в нашем смысле слова. Это обстоятельство заслуживает быть отмеченным, поскольку эти же самые подсчеты через двести с лишним лет были выполнены неправильно. Таблица 18 А именно, в 1477 г.
Бенвенуто Д'Имола издал в Венеции «Божественную комедию» Данте, снабдив ее комментариями. В комментарии к Ч1 части «Чистилища», в которой говорится об игроке в кости, Д'Имола произвел полсчеты шансов. Согласно его рассуждениям, сумма очков при бросании трех костей, равная 3, 4, 17 и 18, может получаться одним единственным способом.
Ошибка Б. Д'Имола очевидна и ее нет нужды комментировать. Заслуживает специального упоминания одна из первых математических книг начала эпохи итальянского Возрождения, написанная Лукой зев Дополнение 3 Пачоли (ок. 1445 — ок. 15!4) и носившая наименование «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности». Написана эта книга была в!487 г., но издана лишь через семь лет в Венеции.
Поскольку задачи Луки Пачоли сыграли определенную роль в формировании интереса к теории вероятностей, мы приведем их формулировку. В разделе «необычных задач» в упомянутой книге были помещены две следуюшие. 1. Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми обстоятельствами игра прекращена до ее окончания, причем одна сторона в этот момент имеет 50, другая — 30 очков. Спрашивается, какую часть обшей ставки должна получить каждая сторона? 2. Трое соревнуются в стрельбе из арбалета.
Кто первым достигнет 6 попаданий, тот выигрывает. Ставка 1О дукатов. Когда первый получил 4 лучших попадания, второй 3, а третий 2, они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо. Спрашивается, какой должна быть доля каждого? Пачоли предложил решение, которое позднее многократно оспаривалось, поскольку оно было признано ошибочным. А именно, он предложил делить ставку пропорционально числу выигранных партий. Таким образом в первой задаче решение таково: первый должен получить 5/8 ставки, т. е. 13,75 дуката, а второй 3/8 ставки, т.е. 8,25 дуката.
Во второй же задаче, согласно Пачоли, первый должен получить 4 и 4/9 дуката, второй 3 и 3/9 дуката и третий 2 и 2/9 дуката. 0 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья Несомненно, что существенное продвижение в решении первичных задач теории вероятностей связано с именами итальянских ученых Дж. Кардано (1501 — 1575) и Н. Тарталья (ок. 1499-1557).
В рукописи «Книга об игре в кости», датированной самим Кардано 1526 г., но изданной лишь в 1563 г., были решены многие задачи, связанные с бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. Он правильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при бросании двух и трех костей. Словесные формулировки при этом достаточно сложны.
Вот два примера того, что он писал в главе Х! «О бросании лвух костейм «При бросании двух костей возможны 6 случаев по два одинаковых числа и 15 случаев выпадения разного числа очков, т.е., считая и двойные, 30. Следовательно, всего выпадает 36 случаев». Под лвойным выпадением он понимает выпадение на двух костях очков, получаемых перестановкой. Например, двойным к случаю выпадения на первой кости 2 очков, а на второй 5 будет выпадение 5 очков на первой кости и 2 на второй. Кардано указал палее число возможных случаев появления хотя бы на одной кости определенного числа очков. Таких случаев оказалось !!.
Заслуживают упоминания слова Кардано: «...число это меньше, чем число случаев отсутствия данного числа очков. По отношению к общему числу случаев прн бросании двух костей оно составляет больше одной шестой Очерк по истории теории вероятностей 369 и меньше одной четверти», Здесь у Карлано ошибка: нужно было сказатьв меньше одной трети, поскольку 11/36 не меньше, а больше 1/4. Это место заслуживает пристального внимания, поскольку Кардано дважды предложил рассматривать отношение, которое теперь мы называем классическим определением вероятности. А именно, 1/6 — зто вероятность появления заданного числа при бросании одной кости, а 11/36— вероятность получить хотя бы на одной из двух костей грань с заданным числом очков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
