Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Задачи Гюйгенса заинтересовали, и он самостоятельно занялся размышлениями над подобными же вопросами. Поскольку, как он позднее писал в трактате «О расчетах в азартных играх», ни Паскаль, ни Ферма не опубликовали разработанных ими методов, ему пришлось самому искать пути решения.
Результатом явилась работа Гюйгенса, опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Ф. ван Схоутена (1615 — 1660) «Математические этюды», Схоутен настолько высоко оценил зту работу Гюйгенса, что сам перевел ее на латинский язык. Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения весьма различны по своему содержанию. Первые три являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последуюшие решения. Предложения 4 — 9 посвяшены решению задач, связанных с безобидным делением ставки.
Предложения 10 — 14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей. В конце мемуара по- мешены 5 задач без решений, которые Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений. Их решения были даны лишь в 1665 г. Несомненно, что первые три предложения составляют идейную основу всего сочинения Гюйгенса и поэтому приведем их полностью. Предложение 1. Если я имею равные шансы получить а или Ь, то это мне стоит (а+ Ь)/2. Предложение 2 Если я имею равные шансы на получение а, Ь или с, то это мне стоит столько же, как если бы я имел (а + Ь+ с)/3.
зво Дополнение 3 Предложение 3. Если число случаев, в которых получается сумма а, равно р, а число случаев, в которых получается сумма Ь, равно д, то стоимость моего ожидания равна (ар+ Ьд)/(р+ 9). Для нас ясно, что этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения. Если использовать современные представления, то в первыхдвух предложениях значения, принимаемые случайными величинами, равновероятны, а в третьем прелложении вероятность значения а равна р/(р + д) и вероятность значения Ь равна д/(р + д). У Гюйгенса еще понятие вероятности не выделено, и он все время оперирует с числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию.
Гюйгенс предпочел, так сказать, коммерческую терминологию и говорил о стоимости, за которую он готов уступить свое право на получение выигрыша. Термин «ожидание» был введен в употребление учителем Гюйгенса— Схоутеном — при переводе. Предложения 1 и 2 представляют собой ничто иное как версию задачи о разделе ставки. Мы приведем текст Гюйгенса с тем, чтобы читатели убедились насколько близки его рассуждения к рассуждениям Паскаля. «Предположим, что я играю против другого лица на то, кто первым выиграет 3 партии, и что я уже выиграл 2 партии, а он — 1. Я хочу знать, какая часть ставки причитается мне, когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки...
Нужно заметить сначала, что достаточно принять во внимание число партий, недостающих той и другой стороне. Так как верно, что если бы мы играли на то, кто выиграет 20 партий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то я имел бы такое же самое преимущество, как и в изложенном случае, где при трех партиях я выиграл две, а он только одну, а зто потому, что в обоих случаях мне недостает только одной партии, а ему двух">.
Затем, чтобы вычислить часть, причитающуюся каждому из нас, нужно обратить внимание на то, что произошло бы, если бы мы продолжали игру. Верно и то, что выиграв партию, я получил бы полностью сумму ставки, которую обозначу а. Но если первую партию выиграет мой противник, то наши шансы стануг равными, принимаю во внимание, что каждому из нас будет недоставать по одной партии; значит, каждый из нас имел бы право на в/2, что, согласно первому предложению, эквивалентно сумме половин, т.е. (3/4)а, так что моему сопернику остается (1/4)а», Разделение ставки между тремя игроками Гюйгенс рассмотрел в предложении 8, когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии, а второму н третьему — по две партии.
В предложении В он 4) !Заметим, что зто место выглядит убедительно лишь в предположении равиосилыюсти игроков. Однако если из лвух партий обе выиграл игрок А, то зто наводит на мысль о том, что он играет лучше, чем игрок В. Если же А выиграл 20 партий, а  — 18, то предсшвление об их равносильности становится более убедительным. Позднее неоднократно рассматривались многочисленные задачи с учетом неравносильности игроков. Такие задачи затем получали иитерпретапию на языке физики и инженерного дела.
Очерк ло истории теории вероятностей ЗВ1 рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками, но при произвольном состоянии игроков относительно числа выигранных партий. Обшего выражения для решения этой задачи Гюйгенс не дал, он изложил только принципы сведения обшей задачи к частным случаям, в которых решение очевидно. Формулировки предложений 10-14 следует признать недостаточно четкими. Их содержание полностью проясняется лишь при рассмотрении предложенных Гюйгенсом вопросов. Приведем некоторые из них.
Предложение 1О. Определить, при скольких бросаниях можно обязаться выбросить одной костью шесть очков? Конечно, задача сформулирована весьма неопределенно. Нам ясно, что автору нужно понятие вероятности для точной формулировки его вопроса, а этого понятия еше нет. Речь же идет о вероятности того, что при и бросаниях (и = 1, 2,...) хотя бы раз появится на кости шестерка.
Решение Гюйгенса состоит в следуюшем: при бросании имеется один шанс выкинуть 6 очков и 5 шансов получить другие грани. Если разыгрывается сумма а, то шанс получить эту сумму, согласно предложению 3, будет стоить (! а+ 5 О)/6 = а/6. «Тому, кто прелложил ему бросить кости, остается 5а/6. Значит, тот, кто играет партию в одно бросание, может ставить только 1 против 5». При двух бросаниях кости вычисления стоимости игры Гюйгенс проводит следуюшим путем, «Если 6 очков получается при первом бросании, то бросаюший получает а, но на это у него имеется один шанс, и имеется 5 шансов, что это не произойдет.
Но тогда имеется еше второе бросание, которое стоит ему, согласно предшествуюшему вычислению, а/6. Отсюда следует, что игра должна стоить играющему (1 а+ (5/6)а)/6 = ! 1а/36». Аналогичным путем Гюйгенс получает лля троекратного бросания кости стоимость игры, состояшей в том, что хотя бы раз выпадет грань с числом очков 6, равную 9!а/216. Далее он вычислил стоимость подобной игры при четырех-, пяти- и шестикратном бросании кости. Результаты получились такими: 67!а/1 296, 4 651а/7 776, 31 03! а/46 656.
В предложении 11 Гюйгенс рассматривает такую задачу: «Найти, во сколько бросаний можно обязаться выбросить две шестерки?» Для нас эта формулировка неопределенна. Она должна быть сформулирована так: если при бросании двух костей игрок выигрывает сумму а при одновременном выпадении двух шестерок, то какую ставку он должен внести для участия в игре (при безобидной игре)? Легко подсчитать, что цена игры при одном бросании двух костей равна а/36, при двух бросаниях — 71а/1296 и такдалее. Далее Пойгенс сделал такое замечание: «Я нахожу, что тот, кто играет при 24 бросаниях, имеет еше легкую невыгоду и что можно принимать с выгодою партию, играя только минимально при 25 бросаниях».
Мы приведем теперь формулировки остальных трех предложений работы Гюйгенса. Предложение 1к. Найти такое число костей, при котором можно обязательно выбросить две шестерки при первом бросании? 382 Дополнение 3 Предложение 13. Найти причитающуюся кажаому из нас часть обшей суммы при предположении, что я бросил две кости один раз с тем условием, что если выпадет 7 очков, то выигрываю я, и что выигрывает мой противник, если выпадает 10 очков.
А если выпадает другое число очков, то мы делим общую сумму поровну. !?редпожение 14. Другой игрок и я поочередно бросаем две кости при условии, что я выигрываю, как только я выброшу 7 очков, и он выигрывает, как только выбросит 6 очков, и я предоставляю ему бросить первому. Требуется найти отношение моих шансов и его. Интересно отметить, что в письме к Каркави от 6 июля 1656 г. Гюйгенс писал, что предложение 14 его трактата соответствует одной из шести задач Ферма, которые последний сообщил Каркави. Для полноты картины мы сформулируем все пять задач, предложенных Гюйгенсом читателям для самостоятельного решения. Их решение он опубликовал лишь в 1665 г.
1. А и В играют двумя костями на следующих условиях: А выигрывает, если он выбросит 6 очков, В выигрывает, если выбросит 7 очков. Первым бросает А один раз, затем В бросаетдважды, затем А бросает два раза и т.д., пока кто-нибудь не выиграет. В каком отношении шансы А относятся к шансам В? Ответ: как 10355 к 12276. 2. Трое игроков берут 12 фишек, из которых 4 белых и 8 черных, и играют на таких условиях: первый вытянувший белую фишку побеждает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
