Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 68
Текст из файла (страница 68)
М. Крофтон в статье «Вероятность», опубликованной в Британской эипиклопедии (9-е издание, т. 19, с. 786, Эдинбург, 1885), привел табл. 22, сославшись на работу Вольхауза, из которой легко получить значения М для соответствующих выпуклых областей. Таблице 22 Сильвестр отчетливо понимал, что при вычислении геометрических вероятностей приходится брать отношение площадей или объемов (т. е. мер) тех областей, которые благоприятствуют событию и в которых помещаются всевозможные события. Фактически так поступали и раньше.
Но при этом произносили другие слова, которые или не имели определенного смысла или же не соответствовали производимым действиям. Сравнив результаты вычислений для различных областей, Сильвестр предложил найти те области„для которых вероятность получения выпуклого четырехугольника достигает максимума и минимума.
Первые результаты принадлежат Крофтону и опубликованы в ранее указанной статье. Он доказал, что минимум достигается для круга. Там же он высказал предположение, что минимум достигается и для эллипса. Это предложение было доказано лишь В. Бляшке (1885-1962) (чог! еаипйеп йбег сй1Тегепйа! Сеотегпе — Вег1!и, !923). Р Дельтейль (!890-1972) показал, что максимальная вероятность формирования выпуклого четырехугольника достигается лля треугольной области. 394 Дополнение 3 В учебной литературе широко известна задача о встрече. Спрашивается, когда она появилась и кто был ее автором? При изучении многочисленной литературы моей ученице М.Т.
Лориньо Перес удалось найти ответ на этот вопрос. В книге Уайтворта «Выбор и шанс» (СЬогсе апб сЬапсе — Еопс!оп, 1886, сЬар.!11, р. 242 — 243) была рассмотрена следующая задача. Лица А и В независимо один от другого отправляются на прием в парке. Лицо А прибывает на прием в наудачу выбранный момент между 3 и 5 часами пополудни, а  — между 4 и 7 часами пополудни. Каждый из них остается на приеме в течение часа. Чему равна вероятность того, что они окажутся на приеме одновременно хотя бы одно мгновение? Задача была решена Уайтвортом обычным путем, какой используется и в настоящее время.
Легко подсчитать, что искомая вероятность равна 1/3. Позднее эта задача перекочевывала из книги в книгу в качестве нллкктративного примера, а также находила применения в задачах организации производства. Несомненно, что а Х!Х веке на развитие проблематики геометрических вероятностей особое влияние оказал Крофтон. Он начал изучать пересечение случайными прямыми заданных выпуклых контуров. Мы не станем излагать его результаты поскольку они вошли в курсы интегральной геометрии и монографии по геометрическим вероятностям, а потому легко доступны.
На необходимость совершенствования понятия геометрической вероятности несомненное влияние оказала книга Ж. Бертрана (1822-1900) (Са!сц! т!е ргоЬаЬ!!Ье. — Раг!з, 1899), в которой на хорошо подобранных примерах было показано, что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики. Играя на неопределенности терминологии, казалось бы для одной и той же задачи, ему удалось получить несколько различных ответов.
В качестве основной мишени им была избрана известная задача о проведении наудачу хорды внутри круга. Само собой разумеется, что критика Бертрана привлекла внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей. В ХХ веке интерес к геометрическим вероятностям не ослабел, а вырос, поскольку помимо чисто математического интереса они приобрели и серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и пр. Этот аспект геометрических вероятностей заслуживает специального рассмотрения. 5 9. Основные теоремы теории вероятностей Мы обратимся теперь к следующему естественному вопросу: когда и кто выделил в теории вероятностей основные ее теоремы — сложения, умножения и полной вероятности? В конечном счете на этих простых результатах покоится вся теория вероятностей и ее многочисленные применения.
Именно поэтому представляет интерес выяснение процесса их формирования. В книге Л. Е. Майстровая! (1920-!982) (с. 65), угверждает- П Майоироа Л Д теория вероятностей. Исторический очерк. Мс Наука, !947. Очерк по истории теории вероятностей 395 ся, что в ХЧП веке уже «были известны теоремы сложения и умножения вероятностей, которые широко применялись при решении задач». Однако нам не удалось заметить в переписке Ферма с Паскалем и в трактате Гюйгенса ни формулировки этих теорем, ни мало-мальски осознанного их использования. Однако зачатки этих теорем можно проследить буквально с первых шагов теории вероятностей как математической науки. Так, в работах Паскаля можно усмотреть, что он отчетливо понимал, как следует подсчитывать число благоприятствующих шансов лля события А, если нам известны шансы для несовместимых событий А, составляющих событие А.
Это, конечно, еше не теорема сложения, но важный шаг на пути ее формулировки. При решении задачи о разделе ставки Паскаль рассуждал следующим образом: пусть игроку А дяя выигрыша игры недостает трех партий, а игроку  — четырех. Тогда для завершения игры достаточно шести партий. Игрок А выигрывает, если из этих шести партий он выиграет шесть, пять, четыре или три партии. Таким образом, число благоприятствующих шансов для выигрыша А игры оказывается равным С~в + С«+ С» + С« = 1 + 6+ 15+ 20 = 42. Это рассуждение Паскаль предложил и в общем случае, когда для окончания игры игроку А недостает пг партий, а игроку  — и партий. В работах Я.
Бернулли и Н. Бернулли (1687-1759) дается отчетливая формулировка правила вычисления вероятности противоположного события, если известна вероятность прямого события. При выводе формул, получивших наименование формул Бернулли, Я. Бернулли сознательно использовал правила сложения и умножения вероятностей, но самих правил он не сформулировал. Они, возможно, казались ему самоочевидными. Одно замечание Я. Бернулли показывает, что он отчетливо понимал особенности теоремы сложения для совместимых событий.
Вот это замечание: «Если два человека, достойные смертной казни, принуждаются бросить кости при условии, что тот, кто выбросит меньшее число очков, понесет свое наказание, а другой, который выбросит большее число очков, сохранит свою жизнь, и что оба сохранят жизнь, если выбросят одинаковое число очков, то мы найдем для ожидания одного 7/12 ... Но из этого нельзя заключить, что ожидание другого равно 5/12 жизни, так как очевидно, что обе участи одинаковы. Другой также будет ожидать 7/12, что дает лля обоих 7/6 жизни, т.е. больше целой жизни.
Причиной этого является то, что нет нн одного случая, в котором хотя бы один не останется живым, а имеется несколько случаев, когда они оба могут остаться в живых». Нет нужды добавлять к словам Я. Бернулли, что он находился рядом с предложением, которое мы теперь записываем в следующем виде: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ). Впрочем, если с современных позиций рассматривать работу Кардано «Книга об игре в кости», то в главе Х1Ч «О соединении очков» можно в частном примере усмотреть этот же результат, но не дяя вероятностей, а для числа шансов. Он рассматривал число случаев выпадения при 396 Дополнение 3 бросании двух костей хотя бы на одной кости одного очка. Это число равно 11, поскольку шестью различными способами может появиться 1 на первой кости: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) и столькими же на второй.
Но случай (1,1) при этом мы указываем дважды. Так что различных случаев будет 11, а не 12. Однако, как ни важны приведенные наблюдения, мы не можем приписывать ни одному из замечательных исследователей — Кардано, Паскалю, Ферма, Я. Бернулли — формулировку теоремы сложения вероятностей и выделение ее в качестве важнейшего положения теории вероятностей. Первая четкая и окончательная формулировка теоремы сложения вероятностей находится в работе Т. Байеса (1702-1761), носящей длинное название — «Опыт решения задач по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса, члена королевского общества. Сообщено мистером Прайсом в письме Джону Кентону, магистру искусств, члену королевского общества». Работа Байеса была зачитана на заседании Лондонского королевского общества 27 декабря 1763 г., спустя два года после смерти автора.
В определении 1 работы содержится определение несовместимых событий. Байес употребляет термин !псопзЬ!епг, который может быть переведен и как «несовместимый», Согласно Байесу, несколько событий несовместимы, если наступление одного из них исключает наступление других. Формулировка же теоремы сложения дается Байесом в предложении 1, которое состоит в следующем: «Если несколько событий являются несовместимыми, то вероятность того, что наступит какое-то из них, равна сумме вероятностей каждого из них». В этом предложении мы видим четкую формулировку теоремы сложения вероятностей во вполне современной форме.
Точно так же теорема умножения вероятностей длительный период формировалась на рассмотрении частных примеров и на подсчете числа шансов, благоприятствующих наступлению произведения двух или нескольких событий. Такого рола подсчеты встречаются практически у всех предшественников Я. Бернулли. Я. Бернулли широко использует эти правила при выводе своих знаменитых формул. Широко использовал правила сложения и умножения вероятностей Монмор. Однако формулировки теоремы умножения ни у кого из ннх не встречается. Четкое выделение теоремы умножения было осуществлено лишь Муавром. Во введении к «Доктрине шансов» в Э 8 он определил важное понятие независимости случайных событий. А именно, он формулирует следующее положение: «Мы скажем, что два события независимы, когда каждое из них не имеет никакого отношения к другому а появление одного из них не оказывает никакого влияния на появление другого», Еше более определенно им дано определение зависимых событий.
А именно, «два события зависимы, когда они связаны друг с другом и когда вероятность появления одного из них изменяется при появлении другого». Эти определения Муавр снабдил простеньким примером. Пусть имеются две кучки карт одной масти, в каждой кучке — от двойки до туза. Тогда вероятность того, что из каждой кучки наудачу удается вынуть по тузу, будет равна 1/13 ° 1/!3 = 1/169.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
