Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Происходило накопление опыта и выделение тех правил, которые постоянно требуются при подсчете вероятностей сложных событий. й 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли — рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра.
Конечно, в первую очередь следует указать в этом плане на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в ХЪ1П в., так и в последующие столетия. Сам Я. Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде. Мы приведем его формулировку несколько позднее.
Сейчас же отметим, что и принятая им терминология отлична от современной и связана с демографией. Так, Я. Бернулли использовал лля обозначения испытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова «плодовитый», «фертильный», а для противоположных исходов — слово «стерильный», Теперь мы можем перейти к оригинальной формулировке теоремы Я. Бернулли„которую он ценил и вынашивал, по его словам, свыше двадцати лет. «Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближенно как г/а или же это число относится 401 Очерк по истории теории вероятностей к числу всех случаев как г/(г+а) или же как г/! у1. Последнее отношение находится, следовательно, между (г — 1)/1 и (г+1)/!.
Нужно доказать, что можно произвести столь большое число опытов, что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше, чем (г — 1)/1, и меньше, чем (г+ 1)/!». Ясно, что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь. Мы уже юворили, что книга «Искусство предположений» Я. Бернулли была широко известна многим математикам задолго до ее публикации. В частности, она была тщательно изучена его племянником Н. Бернулли, который в 1709 г. защитил диссертацию для получения ученой степени лиценциата прав под названием «О применении искусства предположений в вопросах прав», Во второй главе «О способе установления вероятности человеческой жизни», исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожить до определенного возраста. Интересно заметить, что из изучения долголетних регистраций рождений он зафиксировал тот факт, что мальчиков рождается несколько больше, чем девочек.
При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождений девочек оказывается, как он считал, равным !8: 17. Подробное изучение содержания этой главы показывает, что Н. Бернулли принимал вероятность рождения мальчика равной р„= 18: 35 рз 0,514 и соответственно вероятность рождения девочки равной р„= 17: 35 0,486. Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется !4000 рождений. Тогда, согласно формулам Я. Бернулли, имеет место равенство (р означает фактическое число рождений мальчиков) т 362 РЦР— 7 200/ < 163) = Р(7037 < Р < 7 363) = Уы СееюР'ум~ '.
»=тозе Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяет вычислять веровтность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести, сложны. Интересно, что в точности этот пример рассмотрен Лапласом в «Аналитической теории вероятностей» (1-е изд., с.
28!). В качестве искомого значения вероятности неравенства 7 037 < р < 7 363 Лаплас указал величину 0,994 303. В двух последних изданиях книги Муавра «Доктрина шансов» был помещен перевод на английский его статьи 1733 г. «Арргохнпайоп аг! зшппшгп уегпппоппп В1попш' (а+в)я 1п зепепехрапшз». Согласно словам самого автора, «Я помешаю здесь перевод моей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, но никогда не публиковавшейся» («Доктрина шансов», 1756, с. 242). В кратком введении Муавр Вя.
Бернулли счел излишним говорить, что Г = г -~- а. Заметим также, что г, е и ! не фиксированы, а могут принимать любые значения, лишь бы отношение г/! имело заланное значение. Отсюда следует, что 1/Г мажет быть сделано как уголио малым. Дополнение 3 отметил, что для решения ряда задач теории вероятностей необходиь мо подсчитывать суммы 2 Р„(гп) членов биномиального распределения т=г и что вычисления становятся громоздкими при больших значениях числа испытаний и. В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы.
Эта задача им была благополучно решена. Основная трудность, которая при этом возникла, состояла в оценке факториала гп! при больших значениях пг. Муавру удалось доказать, что имеет место асимптотическое равенство пг! а В,/т ехр ( — гп) т"', где  — постоянное. При этом оказалось, что ! ! ! 1 1пВ= ! — — + — — — + — —.. 12 360 ! 260 ! 680 Муавр нашел, что приблизительно В - 2,5074, однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику. Он обратился со своей проблемой к Д. Стирлингу (!692-1770).
Стирлинг с успехом разрешил вопрос и показал, что В = з/2~г в 2,506628.... В связи со сказанным хотелось бы отметить, что известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел следовало бы называть точнее формулой Муавра или по крайней мере — формулой Муавра — Стирлинга. Заметим дополнительно, что Муавр впервые вычислил и опубликовал таблицу функций !и и! для значений и от 10 до 900. Использовав найденную им формулу, Муавр первоначально выяснил, что в случае р = д = 0,5 средний член бинома (1/2+1/2)" асимптотически равен 1/х/2птрд, а затем доказал локальную теорему, носящую теперь его имя (чДоктрина шансов», с. 243 — 244). То, что Муавр начал со случая р = д = 0,5 вполне естественно, поскольку именно этот случай играет значительную роль в простейших задачах демографии.
Далее Муавр получил локальную теорему лля р ~ 0,5 фактически в принятом теперь виде. Имея в руках локальную теорему, Муавр без затруднений сформулировал и интегральную теорему, правда, только дяя симметричных границ. Впрочем, интегральная теорема, доказанная для симметричных границ, без труда распространяется и на общий случай. Он оценил важность выражения /йрд для теории и предложил для него специальное наименование — модуль. Использовав метод приближенного интегрирования Ньютона †Котса, Муавр вычислил для случая р = д = 0,5 вероятность (! 1 Рг! -и — ~/й < (з < -и + з/й '(г 2 Согласно его подсчетам, она оказалась равной 0,95 428. Теперь, используя таблицы, несложно проверить его расчеты и убедиться в том, что допущенная им ошибка невелика, только в четвертой значащей цифре (табличное Очерк по истории теории вероятностей значение равно 0,95 450).
Точно так же он подсчитал вероятность Г! 3 1 3 Р! -и — -з/и < р < -п+ -~/и (2 2 2 2 Его результат — 0,99 874. Табличное значение с таким же числом значащих цифр — 0,99 731. Муавр отметил, что интегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности р, т.е. для решения обратной задачи— задачи математической статистики. й 12. Статистический контроль качества продукции В связи с переходом промышленности на массовое изготовление изделий, за последние пятьдесят — шестьдесят лет резко увеличился интерес к вопросам проверки качества иэделий, входящих в принимаемую партию. Появилась глубокая по содержанию и значительная по своим практическим применениям теория статистических методов приемочного контроля, основанная на широком использовании теории вероятностей.
Первым шагом, относящимся к этому кругу идей, по-видимому, следует считать одну из задач, рассмотренных Т. Симпсоном в книге «Природа и законы случая» (1740). Вот формулировка этой задачи: имеется данное число вещей различного сорта — и, вещей первого, пз — второго,...
Наудачу берутся ги вещей. Найти вероятность того, что при этом будет взято т~ вещей первого сорта, шз вещей второго и т.д. В настоящее время эта задача не представляет труда для студентов, приступающих к изучению основ теории вероятностей. В ту пору она была предметом серьезного научного трактата. Спустя сто с небольшим лет, к этой задаче вновь вернулся М. В. Остроградский (1801-1862) в работе «Об одном вопросе, касающемся вероятностей» (1846). В математическом отношении это произведение Остроградского не представляет большого интереса, но глубокое понимание самой практической задачи заслуживает нашего внимания.
По-видимому, в этом отношении он имеет приоритет перед всеми исследователями. Во всяком случае Симпсон практических следствий из своих подсчетов не делал, а Остроградский вычислил и необходимые для практических применений таблицы. Приведем подлинные слова Остроградского. «В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно, но мы не знаем, сколько из них какого цвета. Мы извлекаем некоторое количество шаров, подсчитав, сколько из них белых и сколько черных, снова кладем в сосуд. Требуется определить вероятность того, что общее число белых не выходит из наперед заданных пределов.
Или, лучше сказать, мы ищем зависимость между этой вероятностью и пределами, о которых идет речь. Чтобы понять важность этого вопроса, представим себя на месте того, кто должен получить большое число предметов, причем должны 404 Дополнение 3 выполняться некоторые условия, и кто, чтобы проверить эти условия, должен на каждый предмет потратить некоторое время.
Перед армейскими поставшиками часто стоят такого рода задачи. Для них шары, содержашиеся в сосуде. представляют получаемые предметы, белые, например — предметы приемлемые, как удовлетворяюшие определенным условиям, а черные — неприемлемые. (...) Таким образом, если бы вопрос, который мы перед собой поставили, был решен, поставщик мог бы воспользоваться этим, чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто очень утомительную механическую работу, как, например, проверку большого количества муки или штук сукна»'о1, Общее число шаров в урне известно, но неизвестен ее состав.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
