Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Теория ошибок оказала серьезное влияние на постановки задач и разработку методов математической статистики. Теперь теория ошибок включается в качестве естественной части в математическую статистику. й 16. Формирование понятия случайной величины Мы неоднократно говорили о том, что формирование научных понятий проходит длительный и сложный путь, прежде чем войти во всеобшее употребление. Как правило, необходимое понятие еще не введено в научный обиход, а фактически им уже пользуются как при решении практических задач, так и при выводе обшетеоретических закономерностей. Этот путь характерен и для случайной величины — основного понятия теории вероятностей и современного естествознания.
Введение этою понятия связано с именами многих ученых, которые хотя и не использовали этого термина, но фактически исследовали отдельные ею свойства. Действительно, мы уже знаем, что в ХУ1П веке, начиная с Котса, Симпсона и Д. Бернулли, начала развиваться теория ошибок наблюдений, возникшая, в первую очередь, под влиянием астрономии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения.
Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ только что упомянутых ученых. Он же ввел в обиход термин «случайная» и «систематическая 412 Дополнение 3 ошибка» измерения. Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдений. Первая же зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению, от измерения к измерению.
Теперь мы ясно видим, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей. Но с понятием случайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел число появлений интересуюшего его события А в и независимых испытаниях. Для нас теперь это — случайная величина, способная принимать значения О, 1, 2,..., п с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор н Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной — числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше — он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей.
Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия — случайной величины. Первый из них оставался на уровне схемы последовательности случайных событий, остальные же ограничились той частной задачей, которая перед ними стояла. Для Муавра нормальное распределение было лишь аппроксимирующей функцией, дающей хорошее приближение к точному значению искомых вероятностей. Мы говорили, что первоначально считалось, что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разностью.
Затем постепенно от этого предположения отказались и стали представлять себе, что возможные значения, принимаемые ошибками наблюдений, заполняют целый отрезок, вероятности возможных значений определялись посредством плотности распределения. И если Д. Бернулли в отношении плотности распределения вероятностей допускал еще определенные вольности, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра с плотностью распределения было уже все в порядке. Это была неотрицательная функция, интеграл от которой по всей прямой равен единице, а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялся интегралу от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже была известна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределения слагаемых.
В знаменитой книге «Аналитическая теория вероятностей» Лаплас умело оперирует с плотностями распределения, ставит и решает ряд интересных задач, но нигде не вводит понятия случайной величины. Он либо использует язык теории ошибок измерений, либо язык математического анализа и не ощущает потребности в новом понятии теории вероятностей. Первая половина Х1Х века принесла новые задачи, которые нуждаются в понятии случайной величины. Прежде всего — это исследования бельгийского естествоиспытателя А. Кетле (1796 — 1874), заметившего, что размеры органов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению. Изучение уклонений снаряда от цели явилось Очерк по истории теории вероятностей 413 предметом исследования многих ученых; они также привели к выводу о нормальном распределении этой величины.
С середины Х<Х века начались замечательные работы Д. К. Максвелла (1831-1879) и ряда других ученых по математической теории молекулярной физики газов. И здесь снова нормальное распределение завоевало почетное место. Заслуживает внимания постановка еше одной задачи Гауссом. Он сформулировал ее 25 октября 1800 г. (именно за этот день в его дневнике под <Ч» 113 сделана соответствующая запись). Через двенадцать лет он сформулировал ее в письме к Лапласу от 30 января 1812 г. Эта задача относится к интересному, начавшему развиваться лишь в ХХ веке разделу математики — метрической теории чисел; одновременно она имеет самое непосредственное отношение к изучению равномерно распределенных случайных величин.
В постановке задачи предоставим слово самому Гауссу. В упомянутом письме к Лапласу он писал; «...я вспоминаю любопытную задачу, которой я занимался уже 12 лет назад, но для которой я не нашел тогда удовлетворяющего меня решения. Быть может, Вы соблаговолите заняться ею несколько минут; в этом случае, я убежден, Вы найдете более полное решение.
Вот она. Пусть М— неизвестная величина, заключенная между 0 и 1, лля которой все значения или одинаково вероятны или же более или менее следуют данному закону; предположено, что она разложена в непрерывную дробь М = 1/(а<'1+ 1/(а<О +...)). Чему равна вероятность того, что, отбросив в разложении конечное число членов до а<"1, следующая дробь 1/(а<"1+ 1/(а<"+ >+...)) будет заключена в пределах от 0 до х? Я обозначаю ее через Р(п, х) и предполагаю, что для М все значения одинаково вероятны: Р(О„х) = х». Гипотеза Гаусса состояла в том, что <п(1+ х) 1<я Р(п, х) = »» ' 1п2 Он писал далее, что при решении этой задачи «усилня, которые я делал,... оказались бесплодными».
Решение этой задачи появилось лишь в 1928 г., его дал Р О. Кузьмин (1891-1949). Через год П. Леви (1886-1971) дал для этой задачи чисто вероятностное решение, получив для быстроты сходимости к пределу лучшую, чем у Кузьмина, оценку. Позднее было доказано, что результат сохраняется для любой случайной величины М, для которой Р(0, х) имеет ограниченную производную. Это замечание делает более ясными неопределенные слова Гаусса о том, что для величины М «все значения или одинаково вероятны или же более или менее следуют данному закону», Заслуживает упоминания то обстоятельство, что функция Р(0, х), так же как и Р(п, х), представляет собой функцию распределения.
Мы видим, что многочисленные исследования многих крупных математиков подготовили почву лля введения понятия случайной величины. По-видимому, первый шаг был сделан Пуассоном в мемуаре 1832 г. «О вероятности средних результатов наблюдений». Этот факт мне сообщил О. Б. Шейнин. Термина случайная величина у Пуассона еще нет, но он пишет о «некоторой вещи», которая способна принять значения 414 Дополнение 3 ам ам..., ах соответственно с вероятностями рн рм..., рю Он рассмотрел также непрерывные случайные величины и их плотности распределения.
Итак, Пуассоном был сделан важный шаг в науке — он ввел в научный обиход новое понятие — случайную величину. Его первоначальный термин «вещь» не привился и скоро перестал употребляться. Чебышев в своих мемуарах по теории вероятностей уже использует термин «величина» и автоматически считает все случайные величины, с которыми имеет дело, независимыми. В работах же А. М.
Ляпунова (1857 — 1918) по теории вероятностей систематически используется термин «случайная величина» и всюду, где это необходимо, оговаривается, что автор имеет дело с независимыми случайными величинами. Отметим еше одно обстоятельство. В самом начале э 4 работы «Об одном предположении теории вероятностей» Ляпунов определил функцию распределения точно так же, как мы делаем это теперь. Он привел в этой работе широко используемую формулу Р(а < ( < Ь) = Р(Ь) — Р(а). Полезно заметить, что в трактатах по теории вероятностей А.
Пуанкаре (!854-1912) «Исчисление вероятностей», Ж. Бертрана Исчисление вероятностей», Э. Чубера (1851-1925) «Теория вероятностей и математическая статистика» (книги, изданные до 1912 г.) понятие функции распределения не вводилось. Оно стало употребляться после 19!2 г. Определение случайной величины, данное Пуассоном, теперь уже не может считаться математическим. Это скорее описание реального объекта изучения, обращение к интуиции, полученной в результате житейского и научного опыта. Это описание широко используется и в наши дни на начальных ступенях педагогического процесса, связанного с изложением основ теории вероятностей.
Даже несложный логический анализ этого определения показывает, что из него совсем не следует правила для действий над случайными величинами — сложения, вычитания, умножения и пр. Для того, чтобы случайная величина приобрела статус полноценного математического понятия, ей необходимо дать строго формализованное определение. Это было сделано в конце двадцатых годов ХХ столетия А. Н. Колмогоровым в небольшой статье, посвященной аксиоматике теории вероятностей, а затем в подробностях изложено в его знаменитой книге «Основные понятия теории вероятностей».
Подход Колмогорова стал теперь общепринятым, поскольку он полноценно включил теорию вероятностей в общий стиль современного изложения, принятый в математике. й 16. Закон больших чисел Знаменитая теорема Я. Бернулли о сближении вероятности события А с частотой его появления прн увеличении числа наблюдений получила обобщение лишь в 1837 г. в работе С. Пуассона «Исследования о веро- Очерк по истории теории вероятностей 4!5 ятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских», Именно в этом мемуаре он ввел сам термин «закон больших чисел». Пуассон рассмотрел последовательность и независимых испытаний, в каждом их которых может появиться событие А, но с вероятностью рк, зависящей от номера испытания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
