Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 77
Текст из файла (страница 77)
я-газ а 20. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Понятие математического ожидания в самых начальных его элементах было введено в теорию вероятностей рано: впервые оно появилось в известной переписке Паскаля с Ферма. В более явной форме оно было введено Гюйгенсом. Именно, первые три предложения являются ничем иным как определением математического ожидания для случайных величин, способных принимать два или три значения. Как мы уже говорили в первой главе, сам термин ожидание был предложен Схоугеном — учителем Гюйгенса. Этот термин прижился и сохранился до нашего времени.
Но в ту пору этому термину придавался смысл ожидания той средней цены, которую можно дать за приобретение случайной величины, дающей выигрыш хг с вероятностью ры выигрыш ху с вероятностью рз, ..., выигрыш х„с вероятностью р„. Эта мысль красной строкой проходит и в книге Н. Бернулли «О применении искусства предположений в вопросах права», Он писал там, что «правило это (вычисления ожидания. — Б. Г.) тождественно с тем, с помощью которого обыкновенно отыскивают среднее арифметическое 'П Обрапгенне закона повторного логарифма для случайного блуждания // Теория вероятностей н ее применения. Г980. Т 25, вып.
2. С. 364-366. 428 Дополнение 3 нескольких ланных величин, а также и с тем правилом смешения, на которое счел уместным сослаться мой дядя». Далее он рассмотрел пример, заимствованный из рукописи книги Я. Бернулли «Искусство предположений»с «Если три кружки пива ценой по 13 смешиваются с 2 кружками ценой по 8, то после перемножения 3 на 13 и 2 на 8 получиться общая цена всех кружек — 55, что дает путем деления на число всех кружек, т.е. 5, среднюю цену одной кружки смеси, равную 11.
Такова же должна быть, согласно правилу, и оценка величины ожидания чего-либо, что будет иметь 3 случая по 13 и 2 случая по 8». Заметим, что сказанное является ничем иным как повторением правил Гюйгенса. Заслуживает внимания не только то, что Н. Бернулли рассмотрел ожидание для случайных величин, принимающих не только два или три значения, но и большее число значений, но и нечто совсем новое, а именно сравнение формулы для вычисления математического ожидания с правилом вычисления координат центра тяжести системы материальных точек.
Вот подлинные слова Н. Бернулли из той же книги. «Еше более заслуживает быть отмеченным особое и исключительное совпадение, наблюдающееся между этим правилом и тем, которое рекомендуется для нахождения центра тяжести нескольких грузов; действительно, ведь сумма моментов, т.е. сумма произведений весов на соответствующие расстояния от какой-либо данной точки, деленная на сумму весов, показывает расстояние от центра тяжести, т.
е. той точки, по отношению к которой подвешенные грузы находятся в равновесии, точно также и та средняя, которая получается согласно настоящему правилу, является, так сказать, центром тяжести всех вероятностей, который их так уравновешивает, что ни та, ни другая из них, отклоняясь в ту или другую сторону от средней, не перевешивают друг друга. В целях соблюдения такого же равновесия в сомнительных и темных делах наши юристы придерживаются обычно середины». Для ХУШ века обращение к математическому ожиданию было нехарактерным.
Все внимание привлекало понятие вероятности случайного события. В энциклопедии науки о вероятностях — знаменитой книге П. Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» вЂ” нет определения математического ожидания и тем более правил действий с ним. Возможно, это связано с тем, что Лаплас не рассматривал и понятия случайной величины, вместо этого он изучал ошибки наблюдений, плотность их распределений и даже вывел и использовал формулу для плотности суммы двух независимых ошибок. Правда, при этом он не говорил о том, что рассматривались независимые ошибки, поскольку другие и не изучались.
Казалось бы создание и развитие теории ошибок наблюдений должно было стимулировать развитие числовых характеристик случайных величин (которые в ту пору еше назывались ошибками измерений). Однако этого не случилось. Впрочем, для нормального распределения были введены понятия истинного значения и точности наблюдений; было известно, как их вычислять по плотности распределения. Таким образом, для частного случая уже была известна формула для вычисления математического ожидания и дисперсии. Очерк ло истории теории вероятностей 429 Обратим внимание на то, что в начале Х1Х века нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку с ним столкнулись в теории ошибок наблюдений и, казалось, доказали в работах Гаусса и Лежандра, что распределение ошибок наблюдений должно быль нормальным.
С ним же столкнулись в теории стрельбы. Бельгийский биолог Кетле давал многочисленные свидетельства того, что и в биологии нормальное распределение играет центральную роль. К остальным распределениям потеряли интерес, о них попросту не думали.
Несомненно, в связи с этим никто не помышлял о доказательстве теорем относительно математических ожиданий и дисперсий, поскольку для нормального распределения все уже было известно. В связи со сказанным интересно заметить, что в книге П.Л. Чебышева «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (М., 1845) понятия случайной величины, математического ожидания и дисперсии даже не упоминаются. Однако в курсе лекций по теории вероятностей, который Чебышев систематически читал в Петербургском университете, он говорит о величинах (имея в виду случайные величины), их математическом ожидании и дисперсии. Более того, в этих лекциях (записанных А. М.
Ляпуновым, переписанных у него А. Н. Крыловым (1863-1945) и изданных в 1936 г. в издательстве АН СССР) было сказано, что «оно (понятие математического ожидания) имеет большее значение на практике, чем сама вероятность, потому что на основании ее у нас составляется суждение о том, что мы можем ожидать перед появлением известного события» (с. 159). Само зто утверждение не очень понятно, но, несомненно, Чебышев имел в виду какое-то определенное замечательное свойство математического ожидания. По-видимому, свою роль сыграла и формулировка закона больших чисел в форме Чебышева. Заслуживает пристального внимания то обстоятельство, что в этих записках лекций имеется доказательство и формулировка теорем о математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин.
Там же он привел и вывод своего знаменитого неравенства. При этом он предполагал как нечто самоочевидное, что речь идет о независимых величинах. Следует отметить, что сам факт о том, что дисперсия суммы равна сумме дисперсий, имеется и использован Чебышевым в статье «О средних величинах». Там же впервые встречается и неравенство Чебышева. Следует отметить, что в распространенных учебниках (А. Пуанкаре и Ж. Бертрана) конца Х1Х и начала ХХ столетия вообше нет теорем о математическом ожидании и дисперсии. Естественно спросить себя: когда же стал известен факт, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий всегда, а не только при независимых слагаемых? Пока на это можно ответить лишь то, что в учебнике Чубера (1908) и переиздании книги А.
Пуанкаре (1912) такой теоремы нет, а в знаменитом для своего времени учебнике А.А. Маркова «Исчисление вероятностей» (1913, 1924) строго доказываются и теорема о математическом ожидании произведения и о математическом ожидании суммы со специальным упоминанием о том, что она верна не только для независимых величин. 430 Дополнение 3 В заключение мы должны сказать, что история понятий математического ожидания и дисперсии изучена совершенно недостаточно.
Мы видим, что основы понятия математического ожидания возникли одновременно с понятием вероятности, но выделены основные его свойства были очень поздно — только во второй половине Х1Х вЂ” начале ХХ столетия. Неясно, в какой мере на понятие дисперсии вливю уже существовавшее понятие момента инерции. Впрочем, заслуживает внимания и исследование истории становления и развития теории случайных величин. То, что изложено в настоящей главе, может считаться лишь первым приближением к истории этого важного раздела научных знаний.
Глава 4 К истории теории случайных процессов й 21. Общие представления Понятие случайного процесса введено в ХХ столетии и связано с именами А. Н. Колмогорова (1903-1987), А. Я. Хинчина (1894-1959), Е. Е. Слуцкого (1880 — 1948), Н. Винера (1894 — 1965). Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей„ но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи.
Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой. ХХ век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено им от прошлого. Действительно, в то время, как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е.
изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния. Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца Х!Х— начала ХХ века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки.
Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А. К. Эрланга (1878-1929) была открыта новая важная область, связанная с изучением загрузки телефонных сетей. Число абонентов изменяется во времени случайно, а длительность каждого разговора обладает большой индивидуальностью. И вот в этих-то условиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способности телефонных сетей, коммутационной аппаратуры и управляющих связью систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
