Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если через р„обозначить число появлений события А в и последовательных испытаниях, то при любом в > 0 имеет место соотношение: при п -+ оо р» Р1 +Рг+ ° ° +Р» Р < в) -» 1. По поводу этой теоремы Пуассона в небольшой заметке 1843 г. Чебышев писал: «...как ни остроумен способ, употребленный знаменитым геометром, он не доставляет предела погрешности, которую допускает этот приближенный анализ, и вследствие такой неизвестности величины погрешности доказательство не имеет надлежащей строгости» ( Чебышев П.П. Собр. соч.
АН СССР 1947. Т. П. С. 14). Оценку числа и, для которого при заданных в и и имеет место неравенство р Р» Р! +Рз+ +Р» Чебышев указал в этой заметке. Как ни интересны зти результаты, они не внесли в теорию вероятностей существенного прогресса, поскольку в идейном плане они не выходили за пределы концепции Я. Бернулли. Существенный сдвиг в этом направлении связан с работой П.Л. Чебышева «О средних величинах» (1867), опубликованной одновременно на русском и французском языках. В этой работе он перешел от рассмотрения случайных событий к случайным величинам и тем самым перенес центр тяжести интерЕсов теории вероятностей к изучению случайных величин. Нужно заметить, что Чебышев не упоминал, что он интересуется только независимыми случайными величинами, а, согласно традициям того времени, считал, что других величин не рассматривают.
Теорема Чебышева теперь излагается во всех учебниках теории вероятностей. Она неоднократно позднее служила источником обобщений. В 1909 г. Э. Борель для р = 0,5 показал, что в случае схемы Бернулли имеет более сильное предложение, чем закон больших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г.
это предложение на произвольное Р распространил итальянский математик Ф. Кантелли (1875 — 1966), что Р 1пп — =Р = 1. Это предложение получило наименование усиленного закона больших чисел. Широкое обобщение усиленного закона больших чисел было лано А. Н. Колмогоровым в работе 1930 г.
и в монографии «Основные понятия теории вероятностей», 416 Дополнение 3 Необходимые и достаточные условия для усиленного закона больших чисел были найдены в ряде работ Ю. В. Прохорова 1958-1959 гг. (см. «Об усиленном законе больших чисел», Изв. АН СССР сер. матем. 14, б. 1958; «Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел», Теория вероятностей и ее применения, т. 1Ч, вып. 2, 215-220, 1959). В 1935 г. А.Я. Хинчин (1894-1959) ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, которое должно было дать максимально общую форму закона больших чисел лля положительных случайных величин.
Пусть ('н см... — последовательность неотрицательных случайных величин. Про суммы Я„= ~~ + Сз +... + С«говорят, что они относительно устойчивы, если можно найти такие положительные константы А„> О, что при любом е > 0 и п -+ оо выполняется соотношение Р— — 1 >е -«О.
В случае одинаково распределенных величин С» Хннчину удалось найти необходимое и достаточное условие для относительной устойчивости сумм Я„. Ученик А. Я. Хинчина А.А. Бобров (1912 — 1988) распространил этот результат на случай разнораспределенных слагаемых.
Закон больших чисел вплоть до 1939 г. считался особой предельной теоремой и рассматривался обособленно от остальных предельных теорем для сумм независимых случайных величин. В работе Б. В. Гнеденко, о которой речь пойдет в э 5, закон больших чисел был включен в общую теорию предельных теорем, когда предельное распределение имеет единственную точку роста в нуле. Точно также теоремы об относительной устойчивости сумм являются предельными для того случая, когда предельное распределение имеет единственную точку роста при х = ! . Существенное расширение проблематики, связанной с законом больших.
чисел, было осуществлено В. И. Гливенко в работах, относяшихся к 1929-1933 гг., когда он начал рассматривать предельные теоремы для случайных величин со значениями в функциональных пространствах. Пожалуй, вершиной его результатов является замечательная теорема о сходи- мости эмпирических распределений к истинной функции распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема Гливенко, сразу же после ее опубликования, была названа Кантелли основной теоремой математической статистики.
Теорема Гливенко неоднократно обобщалась. В этом направлении работало большое число исследователей, среди которых отметим лишь французских ученых Р. Форте (! 912 — 1998) и Э. Мурье. а ЪЧ. Центральная предельная теорема Локальная теорема Муавра долгое время служила образцом лля последуюших обобщений. Пожалуй, первое обобщение принадлежит Лапласу и уже формулируется как предельная теорема лля сумм независимых случайных величин (ю каждая из которых равномерно распределена на отрезке ( — Ь, Ь). Это было сделано в работе «Мегпо!ге ацг 1ез арргохппайоп Очерк по истории теории вероятностей 417 41ев Гоппц1ев г!ц! воп! Гопсйопв 4!е !гев 8гапг!в потЬгев е! вш 1ецг арр1!са!юп ацх ргоЬаЬВ!!ев» (1809). Лаплас в нем рассматривал дискретные случайные величины с увеличивающимся числом возможных значений.
Этим самым давалась аппроксимация непрерывного распределения дискретным. Лаплас доказал, что лля каждого в имеет место такой результат: где и д2 8. = ~» , '6к, е' = — . 3' й=! Заслуживает внимания тот факт, что Лаплас при доказательстве этого результата использовал метод характеристических функций, который, естественно, так тогда еще не назывался. Существенное продвижение исследований по предельной теореме связано с именем Пуассона. В знаменитом мемуаре 1837 г.
«Весйегсйев вцг 1а ргоЬаЬ!!!!е 4!ев )ц)емец!в...* он рассмотрел схему последовательности независимых испытаний с разными вероятностями появления события А в каждом из испытаний. Пусть вероятность наступления А при 74-м испытании равна рк. Пуассон доказал лля этого случая локальную теорему: если ряд 2 рк(1 — рк) расходится, то вероятность того, что в и й=! испытаниях событие появится пк раз равна Р(т = пр — дст/й) = — ехр (-д ) — (3 + 2д ) ехр (-д ), ! Ьд 2 стЯЮ 2с«пз(я где и и 4 р = — ~~у ры с' = 2 ~~у, рк(1 — рк), Ь = — ~~у, (2рк — 1)рк(1 — рк).
и ' ' Зп к=! й=! й=! В той же книге Пуассон дал ошибочное обобщение этой теоремы на суммы произвольных независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, при условии их центрирования суммами математических ожиданий и нормирования корнем квадратным из суммы дисперсий слагаемых. Справедливости ради следует сказать, что в частном случае одинаковой распределенности слагаемых эта теорема верна, однако строгое ее доказательство пришло значительно позднее и связано с именами наших современников — Я. Линдеберга (1876-1932), В. Феллера (1906 — 1970) и Хинчина. Заметим, что как работы Лапласа, так и работы Пуассона и всех последующих исследователей, занимавшихся центральной предельной теоремой, были непосредственно связаны с теорией ошибок измерений.
И во всех работах говорилось не о сложении абстрактных случайных у4 Курс тсории ссуоятносссй 418 Дополнение 3 величин, а о сложении ошибок. По-видимому, впервые от этой традиции отошел Чебышев. Интерес к нормальному распределению в начале Х1Х века возрос в связи с появлением знаменитых исследований Лежандра и Гаусса по формулировке и обоснованию метода наименьших квадратов. Ф. В. Бессель (1784-!846) еще в 1818 г. в работе «Рппг!ашеп!а Аз!гопопнае рго аппо 1755 г!ес!цс!а ех оЬзегтабоп1Ьцз Ип 1псошропаЫ1!а Уашез Вигйеу 1п зреси!а Огепочсепгй рго апп1з 1750-1762!пзншйз» заметил, что наблюдения гринвичского астронома Брэдли прекрасно укладываются в схему нормального распределения. Объяснение, которое он предложил этому факту, совпадает с идеей, которую перед этим в течение тридцати лет вынашивал Лаплас: результирующая большого числа случайных воздействий, каждое из которых оказывается малым по сравнению с суммой остальных, подчиняется общему закону и этот общий закон должен быть нормальным.
Эту мысль в совершенно отчетливой форме повторил Бессель в работе ! 838 г. (13псепюсЬипвеп 0Ьег сйе ЪаЬгзсЬе!и!1сЬЬе!г оег ВеоЬасйгипватеЫег // Аз!г. Ь!асйг. 1838. Р 231). Справедливости ради следует сказать, что Бессель обратил внимание на то, что это правило не является всеобщим и могут у ошибок наблюдений встречаться другие, отличные от нормального, распределения, Так, если при измерении углов один источник ошибок превалирует над всеми остальными, то плотность распределения 1 результирующей ошибки может быть /(х) = кто' — х' Та же концепция обоснования нормального закона как закона распределения ошибок дважды встречается в известном учебнике А. Пуанкаре «Са!сц! г!ез ргоЬаЬ!1!!ез» (Рапз, 19!2).
Первый раз в конце 8 140 он писал, что «ошибка, связанная с инструментом, есть результирующая очень большого числа независимых одна от другой ошибок, таких, что каждая их них приносит лишь слабую долю в результат; результирующая ошибка следует закону Гаусса». Затем в самом начале в 144 был подведен следующий итог: «Резюмируя, предположим, что окончательная ошибка будет результирующей очень большого числа частных погрешностей, независимых друг от друга, и что нет ошибок систематических; предположим, что эти ошибки будут иметь приблизительно один и тот же порядок величины, внося каждая в общий результат лишь незначительную долю.
В этом случае результирующая ошибка следует приблизительно закону Гаусса. Такой, мне кажется, лучший довод, который можно дать в пользу закона !Ьусса». Следует сказать, что все зти идеи носят лишь качественный характер и нуждаются в математическом оформлении и последующем доказательстве строгих теорем.
Второй толчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теории вероятностей, дала статистическая физика, начала которой были построены в середине Х1Х века. Первый общий результат в этом направлении был сформулирован в 1887 г. в работе П.Л. Чебышева «О двух теоремах относительно вероятностей». Сформулированная им теорема звучит следующим образом: 420 Дополнение 3 Сначала Ляпунов показал, что если величины имеют конечные ценя о тральные третьи моменты ск = М)~к — ак!3, С„= 2; ск, В2 = 2 г3(к кки к=! и соотношение С„/Вз при и -к сю стремится к нулю, то имеет место сходимость функций распределения центрированных и нормированных сумм случайных величин (к к нормальному распределению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
