Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 75
Текст из файла (страница 75)
На следующий год Ляпунов же обнаружил, что для справедливости такого результата не обязательно требовать существования третьих моментов слагаемых. Достаточно, если существуют моменты некоторого порядка 2+ б, где 6 > О, потребовать, чтобы е ~2«-К В~+ я-«со — + О. ккн я Ляпунов сделал несколько большее: он оценил скорость сходимости к предельному распределению.
Порядок этой оценки оказался равным и «'2пп. Точно так же в упомянутой статье Чебышева, помимо предложения о сходимости к нормальному распределению, было дано асимптотическое разложение по степеням тlп '. Общность результатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников. По-видимому, именно в ту пору и появился термин «центральная предельная теорема» для обозначения условий сходимости функций распределения сумм, центрированных математическими ожиданиями и нормированных корнем квадратным из сумм дисперсий слагаемых, к нормальному распределению.
Марков подошел к результатам Ляпунова с иных позиций. В связи с этим полезно привести подлинные слова Маркова: «Общность выводов в последней работе Ляпунова далеко превзошла ту, которая была достигнута методом математических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов методом математических ожиданий казалось даже невозможным, ибо он основан на рассмотрении таких математических ожиданий в неограниченном числе, существование которых в случаях Ляпунова не предполагается. Для восстановления поколебленного таким образом значения метода математических ожиданий необходимо было выяснить, что вышеупомянутыми работами он не исчерпан до конца» '«>, Марков в !908 г.
выступил с замечательной идеей — урезания случайных величин. Этот прием дал возможность доказать предельную теорему в условиях Ляпунова методом моментов или, как говорил Марков, методом математических ожиданий. Идея урезания прочно вошла в жизнь теории вероятностей.
Дальнейшая судьба центральной предельной теоремы такова: в !922 г. финскому математику Линдебергу удалось пойти дальше Ляпунова и отказаться от предположения существования даже каких-либо моментов, ~ ! Маркою А. Д Исчисление вероятностей. Спб, 19! 3. С. 332. Очерк ло истории теории вероятностей 421 кроме вторых.
А именно, он доказал, что если при любом т > 0 имеет место соотношение к 11гп — ~~~ / (х — ак)' аек(х) = О, В2 " кья — 1*-м1>тя. то функции распределения сумм, центрированных математическими ожиданиями и нормированных корнем квадратным из сумм дисперсий слагаемых, сходятся к стандартному нормальному распределению. Через 12 лет В. Феллер показал, что условие Линдеберга является и необходимым в предположении, что слагаемые равномерно малы. Ясно, что из теоремы Линдеберга в качестве следствия получается давно ожидавшийся результат: если случайные величины независимы, одинаково распределены н имеют конечную дисперсию, отличную от О, то к суммам таких величин применима центральная предельная теорема теории вероятностей.
В работе 1927 г. С. Н. Бернштейн рассмотрел несколько более общую задачу: имеется последовательность независимых случайных величин (н(з,...,(„,..., относительно которых не предполагается ни сушествования дисперсий, ни существования математических ожиданий. Спрашивается: когда можно подыскать такие постоянные В„> 0 и А„, что функции распределения сумм („— А„)/В„сходятся к нормальному распределению? Достаточные условия для этой задачи были найдены Бернштейном в той же работе 1927 г.; через восемь лет Феллер показал, что эти условия не только достаточны, но и необходимы в предположении, что слагаемые равномерно малы в смысле теории вероятностей.
В том же 1935 г. независимо один от другого А.Я. Хинчин и П. Леви в постановке С. Н. Бернштейна нашли необходимое и достаточное условие сходимости к нормальному распределению функций распределения сумм независимых, одинаково распределенных случайных величин. Еше в 1926 г. в специальном курсе по предельным теоремам А.Я. Хинчин задал следующий вопрос: имеется ли связь между законом больших чисел и центральной предельной теоремой? Ответ был найдет Д.А.
Райковым (1905-1981) и А.А. Бобровым, которые доказали следуюшую теорему: чтобы функции распределения сумм 6+" +ск — Ал Вк при наллежашем выборе действительных постоянных В„> 0 и А„сходились к нормальному распределению, необходимо и достаточно чтобы суммы ((, — а,)' + (6 — а,)' + ... + (8„ — а„)' т были относительно устойчивы, а„= 1 х АР„(х), е > 0 — произвольно. -Е 422 Дополнение 3 Изучение вопросов сходимости функций распределения к нормальному закону не окончились и в наши дни, но теперь исследуются другие вопросы: быстрота сходимости к предельному распределению, сходимость случайного числа случайных слагаемых, суммирование неравномерно малых случайных величин.
й 1В. Общие предельные распределения для сумм Естественный вопрос о том, какие распределения вообще возможны в качестве предельных для сумм независимых случайных величин при условии, что они примерно одинаковы по величине, возник только в двадцатые — тридцатые годы ХХ столетия.
Раньше во всей общности этот вопрос не возникал, хотя частные результаты по этому поводу и появлялись. В этом отношении заслуживает упоминания мемуар С. Пуассона «О вероятности средних результатов наблюдений», в котором, пользуясь аппаратом характеристических функций, он вывел распределение суммы большого числа независимых ошибок наблюдений и рассмотрел распределение, которое получило впоследствии название распределения Коши.
Для этого распределения Пуассон нашел плотность 1 я(1+ хз) и доказал, что оно обладает двумя следующими свойствами: 1) среднее арифметическое ошибок наблюдений, распределенных по закону у(х), имеет то же распределение, что и каждое слагаемое; 2) для этого распределения точность не повышается от того, что берется среднее арифметическое результатов нескольких наблюдений.
Этот мемуар был опубликован в 1832 г. На двадцать лет позднее, в 1853 г. в мемуаре «О средних результатах наблюдений той же природы и о результатах наиболее вероятных* О. Коши получил характеристическую функцию для всех тех распределений, для которых функция распределения суммы только на множитель при аргументе (коэффициент растяжения) отличается от распределения отдельных слагаемых. Коши нашел, что все такие функции имеют вид у(1) = ехр (-111в), где д — положительное число. Позднее выяснилось, что у(1) тогда и только тогда является характеристической функцией, когда 0 ( и < 2.
П.Леви в книге «Са1си! дез ргоЬаЬййе» (1925) в главе Я «Экспоненциальные распределения» построил первую теорию устойчивых распределений. Эта теория естественно продолжала исследования О. Коши, уйдя от них далеко вперед. Пусть Р(х) — функция распределения и у(1) — ее характеристическая функция. Распределение Р(в) называется услгойчивым, если при любых положительных постоянных а~ и аз найдется такое положительное постоянное а, что выполняется равенство У(011) ° У(а21) = У(а1). Очерк по истории теории вероятностей 423 В терминах случайных величин рассмотренный класс распределений облалает следующим характеристическим свойством: если (~ и Сз независимые случайные величины с одним и тем же распределением вероятностей, а1 и аз — произвольные положительные числа, то для каждой пары а1 и аз найдется такое положительное число а, что сумма аф + азСз имеет такое же распределение как а~гы П.Леви указал, что для устойчивых распределений функция у(1) 11 имеет вид ехр -с 1+ Ц вЂ” ) ~4 ~, где 0 < а < 2.
П.Леви также ввел 11!) понятие обвести иритязкения устойчивого закона: множество всех тех распределений Р(я), для которых функции распределения независимых и распределенных по этому закону случайных величин при соответствующем нормировании сходятся к данному устойчивому распределению. В 1935 г. А.
Я. Хинчин пополнил понятие устойчивого распределения, введенного П. Леви, а именно: он предложил называть устойчивмии те распределения, для которых линейная форма аф + аз(з при произвольных положительных постоянных а~ и аз имеет такое же распределение, как а(~+ Ь, где а — некоторое положительное, а Ь вЂ” вещественное постоянное. Класс устойчивых в смысле Хинчнна распределений оказывается несколько шире класса П.Леви. В 1939 г. независимо друг от друга Б. В.
Гнеденко и В.Деблин (1912- 1940) нашли области притяжения устойчивых распределений. Условия принадлежности области притяжения устойчивого закона очень просты и сводятся к поведению «хвостов» распределений — поведению исходного распределения при больших значениях аргумента. Основной результат, принадлежащий П. Леви и А.Я. Хинчину, можно сформулировать так: если ~н См...
— последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин, то нормированные суммы (~ +... + („— А„ (1) в„ при надлежащем выборе постоянных В„> 0 и вещественных А„могут сходиться только к устойчивым законам распределения. Каждый устойчивый закон является предельным для функций распределения нормированных сумм (1). В заметке 1936 г. П. Леви и А. Я. Хинчин дали окончательное представление устойчивых распределений через логарифмы характеристической функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
