Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Репьи (!921-1970) и А. Н. Колмогоровым были предложены новые подходы к обоснованию и!Эта монография была впервые издана в !933 году на немецком языке. В 3936 году книга вышла в русском переводе. 4ОВ Дополнение 3 теории вероятностей с позиций понятий информации, сложности и т.д. Это представляет значительный интерес, поскольку новые исходные понятия позволяют увидеть объект исследования с непривычных позиций, а тем самым проникнуть глубже в сушество предмета поиска.
Кроме того, значительная группа математиков и естествоиспытателей стремится расширить поле действия теории вероятностей и рассматривать некоммугативные вероятности, отрицательные вероятности и т.д. В последние годы ряд исследователей стремится возродить понятие субъективной вероятности и пользоваться им в условиях неопределенности.
Все эти представления еше недостаточно установились, имеют различную объективную научную ценность, требуют пристального критического внимания к себе и времени для правильной оценки их научной значимости. Пока же ясно одно: понятие случайного требует, так же как и понятие вероятности, дальнейшей научной разработки и глубокого проникновения в вопросы логического, математического, философского и естественно-научного характера. Глава 3 К истории формирования понятия случайной величины В 14. Развитие теории ошибок наблюдений Мы уже упоминали в первой главе о том, что Галилео Галилей заложил основы теории ошибок измерений и ввел в рассмотрение ряд важных понятий, которые сохранили значение и в наши дни.
Позднее под влиянием в первую очередь астрономических и геодезических наблюдений интерес к ошибкам измерений заметно возрос. Знаменитый астроном-наблюдатель Тихо Браге (1546-1601) обратил внимание на то, что каждое отдельное измерение несет в себе возможную ошибку и точность измерений значительно повышается, если произвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое. Впрочем рекомендация пользоваться средним арифметическим для уточнения размеров была дана задолго до Тихо Браге. Так, согласно литературным данным, в одном древнеиндийском математическом трактате рекомендовалось при подсчете объема земляных работ делать измерения в нескольких местах и затем оперировать со средними арифметическими (см.
Майсглров П. Е. Развитие понятия вероятности, с. 74). Казалось бы, от И. Кеплера (1571-1630), сделавшего так много для формирования законов движения планет, следовало ожидать повышенного внимания к методам обработки результатов наблюдений. Но зти вопросы фактически остались в стороне от его интересов, и он заметил Очерк по истории теории вероятностей только то, что хороший наблюдатель производит измерения с ошибками ограниченной величины. В этом плане интересны его слова, относящиеся к Тихо Браге; «Благость божья дала нам в лице Тихо столь точного наблюдателя, что ошибка в восемь минут невозможна, поблагодарим бога и воспользуемся этой выгодой.
Эти восемь минут, которыми пренебречь нельзя, дадут средство преобразовать всю астрономию», Первые попытки построить математическую теорию ошибок измерений принадлежат Р Котсу (1682-1716), Т. Симпсону (1710 — 1761) и Д. Бернулли (1700-1782). Предположения, которые были высказаны указанными авторами о закономерностях распределения ошибок измерения, были весьма различны. Котс считал, что ошибки равномерно распределены в некотором отрезке ( — а, а). Симпсон исходил из предположения, что малые ошибки допускаются чаще, чем большие, и также ограничены по абсолютной величине некоторым числом а.
Симпсон считал, что ошибки подчинены треугольному распределению, плотность которого равна 0 в отрезках от — ао до -а и от а до +ос; в отрезке (-а, 0) ее уравнение будет к — 2езу = -а и, наконец, в отрезке (О, а) она имеет уравнение к + 2озу = а. Следует заметить, что как Котс, так и Симпсон не рассматривали в сущности плотности распределения, поскольку они считали, что ошибки укладываются в арифметическую прогрессию с очень малой разностью и неопределенным числом возможных значений. Симпсон для избранного им распределения доказал, что среднее арифметическое дает лучшую точность, чем каждое отдельное измерение.
Этому результату он придавал большое значение и опубликовал его в работе «О преимушестве выбора среднего из некоторого числа наблюдений в практической астрономии» (РЫ1озор1з1са1 Ттапзасг1опз, 1755). Значительный интерес представляет работа Д. Бернулли «Наиболее вероятное определение по нескольким расходящимся между собой наблюдениям и устанавливаемое отсюда наиболее правдоподобное заключение», опубликованная в 1778 г. в изданиях Петербургской Академии наук. Эта работа интересна тем, что в ней впервые был высказан и использован для оценки неизвестного параметра принцип максимального правдоподобия. Д. Бернулли начал свой мемуар с сомнений в целесообразности применения общепринятого принципа среднего арифметического.
В качестве плотности распределения он принял функцию, определенную равенством »= я (* «т, » «Ря ««б определено по результатам наблюдений. Заслуживает внимания то, что Д. Бернулли не обратил внимания на следующее обстоятельство: интеграл от принятой им плотности распределения равен (я/2)зхз и, следовательно, только при одном значении В может быть плотностью распределения вероятностей.
К этой работе Д. Бернулли был написан комментарий Л. Эйлером (1707-1783), в котором, во-первых, критиковался метод максимального правдоподобия (конечно, тогда этого термина еще не было и в помине) и, во-вторых, предлагалось отбрасывать наблюдения, далекие от истинного значения параметра, поскольку они мало вероятны. 410 Дополнение 3 Следует отметить работы И.Ламберта (1728-1777), который в статьях 1760 и 1765 гг. изложил цели теории ошибок измерений (кстати, ему принадлежит и сам этот термин), свойства ошибок, оценку точности наблюдений и правила подбора кривых по наблюденным точкам, содержащим случайные ошибки. Позднее появилась работа Ж. Лагранжа (1736-1813), посвященная выяснению роли среднего арифметического при оценке истинного значения измеряемой величины.
Для П.Лапласатеория вероятностей быланестолькоматематической, сколько естественно-научной дисциплиной. В связи с его занятиями астрономией, он неизбежно должен был прийти к вопросам теории ошибок наблюдений и вместе с тем заинтересоваться теорией вероятностей.
Лаплас получил ряд важных результатов в теории ошибок наблюдений, которые вошли в практику обработки данных наблюдений. Мы не станем здесь вдаваться в подробности его исследований, поскольку для нас описание теории ошибок измерений не является самоцелью. Нас интересуют ее связи с развитием теории вероятностей. В этом плане особый интерес представляют две идеи П. Лапласа. Первая из них вызвала к жизни значительное увеличение интереса к предельным теоремам для сумм независимых случайных величин.
Именно, согласно Лапласу, наблюденные ошибки измерений являются результатом суммирования очень большого числа элементарных ошибок. Если эти ошибки равномерно малы, то Лаплас предположил, что распределение их суммы должно быть близко к нормальному. Вторая идея касается оценки измеряемой величины по результатам кпхм...,в» измерений. В качестве оценки неизвестного значения а измеряемой величины Лаплас предложил брать то значения » а = а(хн..., х„), пРи котоРом обРашаетсЯ в минимУм сУмма 2 !кь — а).
к=~ Оказывается, что а при этом равняется эмпирической медиане, т.е. тому значению х, слева и справа от которого расположено одинаковое число наблюденных значений. Этот прием не получил в ту пору распространения, поскольку вскоре был предложен другой метод, приводящий к более простым результатам. Разработка этого нового метода связана с именами К. Гаусса (!777 — 1855), А.Лежандра (1752-!833) и американского математика Р Эдрейна (! 775-1843). Их работы составили в теории ошибок наблюдений настоящую эпоху. Гауссом и Лежандром был предложен и разработан метод наименьших квадратов.
Гаусс предложил его во второй книге большого трактата «Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям» (1809). Лежандр же изложил свои идеи в работе «Новые методы для определения орбит комет» (1806), к которой было сделано специальное дополнение «О методе наименьших квадратов». Сам Гаусс неоднократно писал, что он пользовался этим методом, начиная с 1795 г. Гауссом и Эдрейном было показано„что при некоторых весьма широких условиях плотность ошибок измерений имеет вид !я(Ь) = — ехр ( — )г Ь ) . «/к Необходимо сказать, что влияние Гаусса, Лежандра и Эдрейна на развитие науки оказалось весьма различным. Статья Эдрейна, опубликован- Очерк по истории теории вероятностей 411 ная в мало распространенном американском журнале, прошла практически незамеченной. Работы же Гаусса и Лежандра почти мгновенно стали известны научному миру. Ученые восприняли предложенный ими метод и начали систематически использовать его в своей практической работе.
Большой вклад в дальнейшее развитие этой теории внес С. Пуассон (1781-1840). В частности, Пуассон задался вопросом: всегда ли среднее арифметическое дает лучший результат по сравнению с отдельным наблюдением? Ответ оказался отрицательным. Именно: ему удалось указать распределение, для которого это правило ошибочно. Плотность этого распределения равна 1 р(х) = я(1+ х') -оо < х < оо. Пуассон обнаружил, что сумма двух независимых случайных величин с только что указанной плотностью распределения имеет с точностью до масштаба такое же распределение.
Далее он обнаружил, что среднее арифметическое из независимых наблюдений над такой случайной величиной имеет в точности такое же распределение. Через двадцать лет (в 1853 г.) О. Коши (1789-1857) повторил эти результаты, после чего указанное распределение получило наименование распределения Коши. Пуассон же, первооткрыватель этих результатов, был забыт. Позднее теория ошибок измерений привлекала внимание практически всех видных специалистов в области теории вероятностей. П.Л. Чебышев (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922) и многие другие уделяли внимание как методу наименьших квадратов, так и другим вопросам теории ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
