Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Мы имеем дело с двумя неза- Очерк по истории теории вероятностей ВВТ висимыми событиями. Если же мы вынимаем две карты из одной кучки и спрашиваем о вероятности того, что при первом вынимании извлечем туза, а при втором — лвойку, то здесь вероятность первого события равна !/13, а второго 1/12. Таким образом, вероятность интересующего нас события равна уже 1/13 ° 1/12 = 1/156. Нам особенно важно привести сейчас следующую формулировку Муавра: «...вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из них на вероятность того, что другое должно появиться, если первое из них уже появилось. Это правило может быть обобшено на случай нескольких событий». Мы видим, таким образом, что формулировку теоремы умножения вероятностей и введение понятия условной вероятности удалось осуществить только Муавру. Это им было сделано уже в 1718 г, в первом издании его «Доктрины шансов», О вероятности совместного наступления нескольких событий Муавр писал следующее: «...надо обозначить одно нз них как первое, другое как второе и т.д.
Тогда вероятность появления первого должна рассматриваться как независимая от остальных; второго — в предположении, что первое произошло, третьего — в предположении наступления первого и второго и т.д. Следовательно, вероятность наступления всех событий равна произведению всех только что указанных вероятностей».
Далее Муавр отметил, что разыскание условных вероятностей, как правило, представляет собой сложное занятие. Общее положение Муавр продемонстрировал на решении ряда задач. Вот олна из них. Пусть события А, В и С независимы в совокупности и х, р, х означают вероятности их наступления. Тогда хуз есть вероятность наступления всех трех событий, а 1 — (1 — х) (1 — 1г) . (1 — з) — вероятность наступления хотя бы одного из событий А, В, С. В упомянутой ранее работе Байеса в качестве предложения 3 приведена теорема умножения вероятностей, формулировка которой почти дословно повторяет то, что за 45 лет до него впервые было четко высказано Муавром. Книга Муавра была широко известна, поэтому несомненно, что формулировку теоремы умножения Байес заимствовал у своего великого предшественника.
Единственно, в чем Байес пошел дальше Муавра — это в формулировке следствия о вычислении вероятности Р(В!А) по вероятностям Р(АВ) и Р(А). Это предложение дало основание приписывать Байесу формулы, носящие его имя. В действительности этих формул у него нет, да, собственно, и не могло быть, поскольку ему еше не была известна формула полной вероятности. Результат, приписываемый Байесу, по-видимому, впервые получил современную формулировку у Лапласа в его «Опыте философии теории вероятностей». В главе «Общие принципы теории вероятностей» он сформулировал принцип Ч1, который относится к вероятности гипотез или, как писал Лаплас, вероятности причин.
Пусть некоторое событие А может произойти с одним из и несовместимых событий Вп Вп..., В„ и только с ними; эти события Лаплас называет причинами. Спрашивается, если известно, что событие наступило, чему равна вероятность того, 398 Дополнение 3 что осуществилась и причина В;? Вот формулировка ответа, данного Лапласом: «...вероятность существования какой-либо из этих причин равна, следовательно, дроби, числитель которой есть вероятность события, вытекающая из этой причины, а знаменатель есть сумма подобных вероятностей, относящихся ко всем причинам: если эти различные причины, рассматриваемые а рпоп', не одинаково вероятны, то вместо вероятности события, вытекающей из каждой причины, следует взять произведение этой вероятности на вероятность самой причины», Легко понять, что Лаплас словесно сформулировал известное «правило Байеса» Р(В;(А) = Р(Вг) ' Р(А/ВД Р(В:) Р(А~В:) В сущности формула полной вероятности уже содержится в этом выражении.
Однако Лаплас этим не удовлетворился и в ЧП принципе дал формулировку собственно формулы полной вероятности, также лишь словесную. Вообще следует сказать, что Лаплас в этой книге строго выдерживал правило: в философской книге не выписывать математические формулы, в случае же необходимости ограничиваться их словесными формулировками. Приведем данную Лапласом формулировку полностью. «Уйпринцип.
Вероятность будущего события есть сумма произведений вероятности каждой причины, выведенной из наблюдаемого события, на вероятность того, что при существовании этой причины будущее событие будет иметь место», После формулировки принципа Лаплас привел пример для его иллюстрации, который был использован одновременно и для иллюстрации принципа Ч1. Вот этот первый пример: в урне два шара, каждый из которых может быть только черным или белым.
Вынимают один из этих шаров и затем возвращают в урну, чтобы приступить к следующему тиражу. В первых двух тиражах появились белые шары. Какова при этом условии вероятность того, что белый шар появится и при третьем извлечении? Далее Лаплас рассмотрел следующий свой знаменитый пример; «Если отнести древнейшую историческую эпоху за пять тысяч лет, или за 1 82б 213 дней, назад и принять во внимание, что солнце постоянно восходило за этот промежуток времени при каждой смене суток, то будет 1 826 214 шансов против одного за то, что оно взойдет и завтра...
Бюффон в своей политической арифметике исчисляет по-другому предыдущую вероятность... Но верный способ перехода от прошедших событий к вероятности причин и будущих событий был не известен этому знаменитому писателю» (там же). Мне хотелось бы обратить внимание на последние слова, приведенные в этом высказывании. Они убеждают нас в том, что сам Лаплас изобретение этих формул относил не к Байесу, а к себе. Следует заметить, что основные принципы теории вероятностей вычленялись постепенно, на протяжении всего ХЧ1П столетия.
Их многократно использовали при решении отдельных задач, и использовали Очерк по истории теории вероятностей 399 правильно, не отдавая себе отчета, что имеют дело с основными принципами науки. Почти целое столетие потребовалось на то, чтобы после введения в науку понятия вероятности сформулировать для этого понятия систему правил действий с ним.
Как постоянно происходит в науке, такие правила широко использовали в частных случаях, но не ощущали важности их строгой формулировки. И только многократное успешное их применение показало необходимость их вычленения и формулировки как основных принципов науки. Конечно, при этом не обходилось и без введения оказавшихся необходимыми новых понятий. В нашем случае речь идет о понятиях несовместимости и независимости случайных событий. й 10. Задача о разорении игрока Несомненно, что задача о разорении игрока в развитии теории вероятностей играла серьезную роль — она позволяла «оттачивать» методы решения сложных вопросов и в какой-то мере является исходным пунктом лля развития теории случайных процессов. Действительно, именно в втой задаче впервые начали изучать состояние системы в зависимости от времени.
Точнее — положение игроков после заданного числа партий. Задача о разорении игрока была впервые сформулирована Гюйгенсом в книге «О расчетах в азартных играх» (см. з 5 первой главы настоящего очерка, задача 5). Этой задачей занимались многие выдающиеся математики прошлого — Я. Бернулли, Н. Бернулли, Муавр, Лаплас и др. Интересно отметить, что Я. Бернулли критиковал Гюйгенса за то, что тот решал и предлагал трудные задачи, но не в буквенной форме, а в числовом виде и тем самым ограничивал возможности выявления общих закономерностей. Первые подходы к решению задачи о разорении игрока почти одновременно были предложены тремя математиками — П.Монмором, А.Муавром и Н. Бернулли.
Их результаты относились к 1710-1711 гг. Задача Пойгенса в их формулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид: игроки А и В имеют соответственно а и Ь франков и при каждой партии некоторой игры один из них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока А для каждой партии равна р, для игрока В вероятность выигрыша равна е = ! — р. Спрашивается, чему равны вероятности р, и рь того, что игрок А (соответственно игрок В) выиграет игру (т. е, игрок А выиграег все деньги В раньше, чем В выиграет их у А). Муавр опубликовал свои результаты в журнале «РЛ!!озер!ы1са! Тгапзасгюпз» за 1711 г. Он нашел, что в случае р ~ !! (,гр)«! (у)ь (, у)«-ьь ! Рь ( г,)«.ьь и математическое ожидание числа партий, необходимых для завершения игры, равно Ь,— Р Ч 400 Дополнение 3 Ему же удалось найти вероятности р, „ и рь „ того, что игрок А выиграет игру за и партий (соответственно выиграет игру за и партий игрок В).
Вдобавок им был подробно рассмотрен случай, когда в = оо. В 1710 г. формулы для р, „, рь „в случае р = д нашел Монмор. Свои соображения он переслал Иоганну Бернулли (1667-1748), который передал письмо своему племяннику Николаю. Ответное письмо Николая Бернулли от 26 февраля 1711 г. содержало решение и для случая р ~ д. Это письмо Монмор опубликовал в 1713 г. в трактате «Опыт анализа азартных игр» (Р Моптоп, Езза1 д'апа!ум )ецх ваагн). Я.
Бернулли также рассматривал задачу о разорении игрока, как в частном случае (для а = Ь = 2), так и в общем случае. При ее решении он следовал методу Гюйгенса и получил довольно далеко идущие результаты (для вероятностей р, и рь). Рассмотрение решений, предложенных Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмором и Муавром, ясно показывает, что все они в совершенстве владели приемами подсчета вероятностей сложных событий. Практически они безукоризненно точно использовали теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полной вероятности, хотя в ту пору никто эти предложения еще не формулировал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
