Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 67
Текст из файла (страница 67)
390 Дополнение 3 е В. О формировании понятия геометрической вероятности Уже в первой половине ХУП! века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо какое-то естественное его расширение. Обычно считают, что таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (1707 — 1788), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение. Это утверждение требует поправки, поскольку исторически оно неверно. Дело в том, что задолго до рождения Бюффона появилась работа, в которой фактически уже был поставлен вопрос о нахождении геометрической вероятности.
Правда, в ту пору еще не было и определения вероятности. В 1692 г. в Лондоне был опубликован английский перевод книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх», выполненный Д. Арбугнотом (1667-1735). В конце первой части переводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована задача совсем иной природы, по сравнению с теми, которые были рассмотрены великим автором. Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении «для того, чтобы она была решена теми, кто считает такою рода проблемы достойными внимания», Задача, предложенная Арбугнотом, состоит в следующем: на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед с ребрами, равными а, Ь, с.
Спрашивается, как часто параллелепипед будет выпадать гранью аЬ7 Сам Арбугнот не сделал даже попытки решения придуманной им задачи. Это было осуществлено значительно позднее Т. Симпсоном (17!О- 1761) в книге «Природа и законы случая» (1740), где задача была приведена под номером ХХУ!!. Идея решения, предложенная Симпсоном, состоит в следующем: опишем около параллелепипеда сферу и спроектируем из центра на поверхность ее все ребра, боковые грани и основания. В результате поверхность сферы разобьется на шесть непересекающихся областей, соответствующих граням параллелепипеда.
Далее Симпсон написал: «Нетрудно заметить, что определенная часть сферической поверхности, ограниченная траекторией, описанной таким образом радиусом, будет находиться в таком же соотношении к обшей плошади поверхности, как вероятность появления некоторой грани к единице», В том, что было только что сказано, в полной мере заключены принципы разыскания геометрических вероятностей: вводится мера множества благоприятствующих событию случаев и берется ее отношение к мере множества всех возможных случаев. В нашем случае полная мера сводится к плошади поверхности шара. Заметим, что Симпсон ни слова не сказал о физической интерпретации решения. Ведь для того, чтобы параллелепипед упал на плоскость определенной гранью, необходимо, чтобы его центр тяжести находился над ее проекцией на плоскость падения.
Однако в решении Симпсона это требование соблюдено. Очерк по истории теории вероятностей 391 Введем для дальнейшего обозначения: Я' = а'+Ь'+с', Р,», Ры, Р вероятности выпадения на какую-то определенную грань соответственно аЬ, Ьс, са. Вероятности выпадения на какую-то из граней аЬ (соответственно Ьс и са) должны быть увеличены вдвое. Формулы, о которых идет речь, должны быть таковы: 1 аЬ 1 Ьс 1 ас Ры = — агсгд —, Р», = — агсгд —, Р = — агсгд —. я сЯ к а 22 я ЬЯ Бюффон дважды публиковал работы, посвяшенные геометрическим вероятностям. Первая его публикация на эту тему относится к 1733 г., когда он сделал в Парижской академии наук доклад, напечатанный под названием «Мемуар об игре франк-карро» (Мемуар об игре прямо в клетку). Позднее, в ! 777 г., этот мемуар был целиком включен в «Опыт нравственной арифметики», являвшейся дополнением к тому 1Ч его «Естественной истории».
Цель, которую ставил перед собой Бюффон, состояла в том, чтобы показать, что «геометрия может быть использована в качестве аналитического инструмента в области теории вероятностей», в то время как до тех пор «геометрия казалось мало пригодной для этих целей», поскольку для них использовалась только арифметика. Игра франк-карро состоит в следуюшем: пол разграфлен на одинаковые фигуры. На пол бросается монета, ее диаметр 2т меньше каждой из сторон и монета целиком укладывается внутрь фигуры.
Чему равна вероятность того, что брошенная наудачу монета пересечет одну или две стороны фигуры? Для определенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольниками со сторонами а и Ь, Ь > 2т, а > 2т. Легко подсчитать, что плошадь полосы между малым прямоугольником со сторонами, параллельными сторонам основного на расстоянии т от каждой из его сторон, и целиком расположенного внутри основного, равна 2т(а+ Ь вЂ” 2т). Легко понять, что центр монеты, попав внутрь малого прямоугольника, не только не пересечет, но даже не коснется сторон основного. Значит, вероятность того, что монета пересечет по меньшей мере одну из сторон основного а+ Ь вЂ” 2т прямоугольника равна 2т аЬ Вторая задача, сформулированная и решенная Бюффоном, состоит в следуюшем: плоскость разграфлена равноотстояшими параллельными прямыми.
На плоскость наудачу бросается игла. Один игрок утверждает, что игла пересечет одну из параллельных прямых, другой — что не пересечет. Определить вероятность выигрыша каждого из игроков. Решение этой задачи хорошо известно, и нет необходимости приводить его здесь. Менее известна задача Бюффона об игре, когда игла бросается на плоскость, разграфленную на квадраты. В решении этой задачи Бюффон допустил ошибку, позднее исправленную Лапласом. Именно: Бюффон считал, что а — т искомая вероятность равна 2т — , тогда как в действительности она яа' 2а — т равна 4т 392 Дополнение 3 После Бюффона задачи на геометрические вероятности стали систематически включаться в трактаты и учебники по теории вероятностей. Так„ в знаменитую книгу Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» были включены и подробно рассмотрены все задачи Бюффона.
Но Лаплас не счел нужным отметить, откуда они были заимствованы и кто автор этих задач. Следует отметить, что терминология Лапласа далека от совершенства. Так, для примера, он писал, что «8т равняется сумме всех случаев, в которых игла пересекает одну или другую параллельные линии» и что 2ак равно «числу всех возможных комбинаций», Здесь 2т означает длину иглы, а а — расстояние между параллельными прямыми. Во второй задаче, рассмотренной Лапласом, плоскость разграфлена двумя системами параллельных прямых, представляющих ничто иное как систему координатных линий на плоскости.
Расстояние между линиями первой системы равно а, второй системы — Ь. На плоскость бросается игла длины 2т (2т < а, 2т < Ь). Чему равна вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну линию? Решение, предложенное Лапласом, предполагает, что дело идет о системах взаимно перпендикулярных прямых. Это Лапласом не оговорено. В результате вычисления — числа благоприятствующих и «числа всех возможных случае⻠— Лаплас определил, что вероятность а+Ь вЂ” т пересечения одной из линий брошенной иглой равна 4т ка Ь В прекрасном для своего времени учебнике «Основания математической теории вероятностей» (1846) В.Я. Буняковского (1804 — 1889) имеется довольно большой раздел, посвященный геометрическим вероятностям. В него включена задача Бюффона о бросании иглы и частный случай игры франк-карро, когда плоскость разбита на равнобедренные треугольники.
С современных позиций терминология Буняковского далека от совершенства. Пример такого словоупотребления мы сейчас и приведем; «...иногда встречаются такие ситуации, в которых число благоприятствующих статочностей, а равно и всех возможных бывает бесконечное. Искомая вероятность определится тогда отношением этих двух бесконечных чисел...». Она будет «числом конечным и совершенно определенным». Серьезный шаг в развитии геометрических вероятностей связан с именами Г. Ламе (1795-1870), Ж.
Барбье (1839-1889), Д. Сильвестра (1814 — 1897), М. Крофтона (1826-1915), которые не только поставили новые задачи, но и привлекли к их решению понятие меры множества (пусть еше и на интуитивном уровне). На базе их рассмотрений позднее возникла новая ветвь геометрии, получившая наименование интегральной геометрии. В 1860 г.
Ламе на факультете наук Парижской нормальной школы прочитал курс лекций по геометрии. В этом курсе он рассмотрел задачу Бюффона о бросании иглы и применил ее к тому случаю, когда центр иглы бросается наудачу внутрь круга„эллипса или правильного многоугольника.
Среди слушателей был Барбье, обобщивший рассуждения Ламе на случай любого выпуклого контура. В сущности Барбье не внес ничего нового в сам метод. Он только заметил, что рассуждения Ламе не связаны жестко 393 Очерк по истории теории вероятностей ни с рассмотрением эллипса, ни с правильными многоугольниками, а легко обобшаются на любой выпуклый контур. Сильвестр первым после Бюффона расширил тематику задач на геометрические вероятности.
Им была предложена задача о четырех точках или задача Сильвестра. Ее формулировка такова: четыре точки взяты наудачу внутри выпуклой области. Чему равна вероятность того, что, взяв эти точки в качестве вершин, можно составить выпуклый четырехугольник? Сильвестр предложил следующее решение: обозначим через А плошадь выпуклой области. Бросим в нашу область сначала три точки и построим по этим точкам треугольник. Пусть его средняя площадь равна М. Бросим теперь наудачу четвертую точку.
Если она попадет внутрь треугольника, то по этим четырем точкам выпуклого четырехугольника составить нельзя. Но четвертую точку мы можем выбирать четырьмя различными способами, следовательно, при бросании четырех точек вероятность получить невыпуклый четырехугольник равна р = 4М/А. Отсюда заключаем, что вероятность получения при этом выпуклого четырехугольника равна 1 — 4М/А. Среднее значение М зависит от области, в которую бросают точки. Для некоторых выпуклых фигур значение М вычислено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
