Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Те же, которые получаются из трех различных очков, могут получаться шестью способами. Из этих положений мы легко выводим, какими способами или, лучше сказать, при каких выходах трех костей могут получаться все числа» (там же, с. 295). В завершающей части работы Галилей привел следующую таблицу. Очерк по истории теории вероятностей 373 В верхней строке указаны значения суммы чисел выпавших очков. Первые три цифры в каждой клетке указывают, как может получиться сумма в соответствующем столбце, четвертая цифра — число возможных различных случаев. Например, против тройки 6,3,1 указано 6 случаев; вот они: 6,3,1 — 1,3,6 — 3,1,6 — 6,1,3 — 1,6,3 — 3,6,1.
Комбинация 3,6,1, для примера, означает, что на первой кости выпали 3 очка, на второй — 6, на третьей — 1. В таблице приведены результаты лишь лля половины всех возможных сумм. Вторая половина вычисляется в точности таким же образом. В результате оказывается, что сумме 11 благоприятствует 27 различных возможностей, 12 — 25, 13 — 21, !4 — 15, 15 — 10, 16 — 6, 17 — 3 и 18 — 1. С учетом этого сумма всех возможных вариантов выпадения трех костей равна 2 ° (1 + 3 + 6+ 10+ 15 + 21+ 25+ 27) = 216. Заметим, что 1Ълилей, в сущности, повторил результаты, полученные значительно раньше рядом предшественников — епископом Виболдом, Ричардом де Форни валем и рядом других.
Однако зта, теперь такая простая для студента второго курса университета задача, в ту пору была серьезным испытанием и для мыслителя столь высокого ранга как Галилей. Вот что он сам писал по этому поводу: «Чтобы выполнить данное мне поручение, стоившее мне таких трудов, изложу мои соображения в надежде не только разрешить указанное недоразумение, но и указать путь к точнейшему изложению основания, которые позволят осветить все особенности игры» (там же, с. 293). Заметим, что и у 1алилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся не над вероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые им благоприятствуют.
Для теории вероятностей и математической статистики большее значение, чем только что рассмотренная работа, имеют его соображения по поводу теории ошибок наблюдений. До него никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал на эту тему, ново для его времени и важно даже в наши дни. Свои мысли и выводы он достаточно подробно изложил в одном из основных своих произведений «Диалог о двух главнейших системах мира птоломеевой и коперниковой» (М.— Л., 1948).
Согласно Галилею, ошибки наблюдений являются неизбежными спутниками каждого измерения, каждого экспериментального исследования. «В каждой комбинации наблюдений будет какая-нибудь ошибка; я думаю, что это неизбежно.„» («Диалог...», с. 214).
При этом ошибки могут быть двух типов: систематические, связанные прочно со способом измерений и с используемыми инструментами, и случайные, которые меняются непредсказуемым образом от одного измерения к другому. Эта классификация сохранилась до нашего времени и широко используется во всех руководствах по теории ошибок измерений.
Случайные ошибки измерений обладают некоторыми характерными особенностями. Их Галилей старательно выделил и проанализировал. Вопервых, малые ошибки встречаются чаше, чем большие, поэтому, как правило, в результаты измерений следует вносить лишь небольшие поправки. Далее, положительные ошибки встречаются так же часто, как и отри- 374 Дополнение 3 цательные. «Можно одинаково легко ошибаться как тем, так и другим образом» (там же, с.
125). Далее !адилей отметил, что около истинного результата должно группироваться наибольшее число измерений, «Среди возможных мест истинное местонахождение, надо думать, будет то, вокруг которого группируется наибольшее число расстояний» (там же, с. 216). Эти исследования Галилея имеют принципиальное значение, поскольку они положили начало новой научной дисциплине — теории ошибок наблюдений. Эта теория, несомненно, сыграла важную роль в формировании теории вероятностей, но еше большее значение она имела для развития математической статистики. Это тем более так, что теория случайных ошибок наблюдений в настоящее время рассматривается в качестве естественной задачи математической статистики.
й 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей Обычно считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых — Б. Паскаля (1623-1662) и П. Ферма (1601-!665). От этой переписки сохранилось лишь три письма Паскаля (от 29 июля, 24 августа и 27 октября 1654 г.) и четыре письма П. Ферма (одно письмо без даты и письма от 9 августа, 29 августа, 25 сентября 1654 г.) Самое первое письмо Б. Паскаля утрачено и о его содержании можно судить лишь по ответу Ферма. В 1950 — 1951 гг., в связи с приближавшимся тогда 150-летним юбилеем М.
В. Остроградского (1801 — 1862), мне было поручено изучить архив этого ученого, хранящийся в Государственной публичной библиотеке УССР Среди рукописей нашелся фрагмент (лист 904), явно относившийся к вводной лекции по теории вероятностей. Из литературных источников известно, что в 1858 г. Остроградский прочитал в Михайловском артиллерийском училище двадцать лекций по теории вероятностей с целью развития кругозора слушателей и их научной инициативы. Более того, три из них даже были изданы. Однако ни одной из них мне не удалось найти.
Тем интереснее было познакомиться с обнаруженным фрагментом, который я считаю полезным привести здесь полностью. «Теорию вероятностей должно отнести к наукам нового времени, ибо настоящее ее начало не восходит дальше половины ХЧ!! столетия. Правда, некоторые предметы, относящиеся к этой науке, были известны во времена весьма отдаленные и постоянно делались расчеты, основанные на продолжительности средней жизни, известны были морские страхования, знали число случайностей в азартных играх, но только в самых простых, найдены были величины ставок или закладов, безобидных для игроков, но подобные выводы не были подчинены никаким правилам. Однако же теорию вероятностей считают наукой нового времени и ее начало относят к первой половине ХУ!! столетия, ибо прежде этой эпохи вопросы о вероятностях не были подчинены математическому анализу и не имелось никаких точных общих правил для решения их.
Очерк по истории теории вероятностей 375 Паскаль, а за ним Ферма, геометры ХУП столетия, по справедливости считаются основателями науки о вероятностях. Первый вопрос, относящийся к этой науке, и довольно сложный, решен Паскалем. Вопрос, о котором говорим, был предложен Паскалю кавалером де Мере и состоял в следующем условии. Два игрока начали игру, состоящую из данного числа партий, положим 30-ти, розыгрыш каждой партии непременно выигрывается одним из игроков, и тот из них, кто выиграл бы прежде другого тридцать партий, считался окончательно выигравшим и взял бы обе ставки, внесенные вначале игры. Но игроки согласились прекратить игру, не окончив ее, т.
е. одному не хватало до выигрыша тридцати партиИ некоторого числа, например, трех партий, а другому, положим, пятнадцати партий. Внесенные ставки для безобидности, конечно, должны быть разделены между игроками так, чтобы тот, кому недостает до выигрыша большего числа партий, получил бы меньшую сумму, а противник его большую, именно безобидный раздел требует, чтобы каждый игрок получил часть внесенной суммы, пропорциональную вероятности своего выигрыша. Итак, нужно найти эту вероятность. Паскаль нашел ее, а потом вопрос де Мере предложил Ферма.
Последний немедленно нашел решение и даже для случая более сложного, когда игра происходит не между двумя только, а между произвольным числом игроков. Замечательно, что имя кавалера де Мере, человека светского и не имевшего никакого преуспевания на поприще математических наук, остается навсегда в истории этих наук». Мы видим теперь, что оценка, данная роли Паскаля и Ферма Остроградским, несколько завышена. Впрочем, такой же точки зрения придерживаются многочисленные историки науки. Однако в переписке Паскаля с Ферма еще отсутствует понятие вероятности, и оба они ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов.
Конечно, у этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая, как мы знаем, отняла много усилий у исследователей в течение ллительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном, как мы теперь сказали бы, вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и в весьма несовершенной форме— теорем о сложении и умножении вероятностей. Точнее сказать, не вероятностей, а шансов, благоприятствующих тому или иному событию. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
