Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Означает ли это, что Кардано решил рассматривать вместо чисел благоприятствующих шансов вероятности случайных событий, т.е. ввел в рассмотрение классическое определение вероятности? Судя по всему, это было озарение только для данного примера. По-видимому, Кардано хотел выяснить, что чаще происходит — при бросании одной кости выпадение заданного числа или же при бросании двух костей выпадение этого числа очков хотя бы на одной кости? Ответ был найден и на этом Кардано успокоился.
Единичное наблюдение он не сделал основой дли обшею заключения. В результате он не заметил, что стоял на пороге введения понятия, важного для всего дальнейшего развития большой главы математики, да и всего количественного естествознания. Этот вывод подкрепляется тем, что в следующей главе, в которой рассматривается бросание трех костей, Кардано уже не обращается к отношению числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных. Все усилия Кардано затратил на подсчет числа возможных случаев. В тринадцатой главе «О сложных числах, как до шести, так и свыше и как для двух, так и для трех костей», Кардано вновь возвратился к рассмотрению отношений числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев.
Однако и здесь Кардано не заметил, что он находится на грани введения важного для науки понятия. Вот его подлинные слова: «Десять очков (в сумме. — Б. Г.) может получиться из двух пятерок и из шестерки и четверки. Последнее сочетание возможно при этом в двух видах. Таким же образом девять очков может получиться из пятерки и четверки, шестерки и тройки, так что это составляет 1/9 всей серии '1 и две девятых ее половины. Восемь же очков получается из двух четверок, из 3 и 5 и из 6 и 2. Всего же 5 возможных случаев составляет приблизительно 1/7 часть из всей серии... 7 очков составляется из 6 и 1, из 5 и 2, из 4 и 3. Всего, стало быть, имеется 6 возможных случаев, составляющих 1/6 всей серии.
А 6 получается по такому же расчету, как и 8; 5 — как 9; 4 — как 10; 3 — как 11 и 2 — как 12*. Вновь Кардано оперирует фактически классическим понятием вероятности, но не замечает его значения для изучаемых им задач. Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события при испытании. В главе Х1 имеется одно предложение, которое рядом авторов трактуется весьма широко, хотя, как мы сейчас увидим, его формулировка доста- и Под серией Кврдено донимал все возможные исходы, т. е. 36 ири бросании двух костей и 2! 6 при бросвнии трех костей. ЗУО Дополнение 3 точно неопределенная. Вот эти слова Кардано: «Целая серия игр не дает отклонения, хотя в одной игре это может случиться...
при большом числе игр оказывается, что действительность весьма приближается к этому предположению». Ссылаясь на это место, В. В. Бобынин з! сделал далеко идущий вывод; «... этот закон (больших чисел. — Б. Г ) уже с достаточной ясностью был выражен в ХУ! столетии Карданом в его статье „Ое 1пс1о А1еае«». Позднее О.
Оре з! в книге, посвященной Кардано, писал, что этот последний формулировал и использовал закон больших чисел в рудиментарной форме. Вполне возможно, что мнение Оре имеет некоторые основания, но следует заметить, что формулировка Кардано весьма неопределенна. В той же книге Кардано приблизился к определению безобидной игры, что видно из следующего предложения, заимствованного из этой книги: «Итак, имеется одно общее правило для расчета; необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений, приблизительно в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок лля того, чтобы игра шла на равных условиях».
Однако мнение ряда авторов относительно того, что в этом месте Кардано приблизился к классическому определению понятия вероятности, мне представляется ошибочным. Задача Пачоли о разделе ставки до окончания игры интересовала также и Кардано. В книге «Практика обшей арифметики», изданной в 1539 г., Кардано привел рзщ критических замечаний в связи с решением Пачоли. Он указал на то, что Пачоли, предлагая делить ставку пропорционально числу уже выигранных партий, никак не учитывает, как много партий еше нужно выиграть каждому из игроков. Согласно мнению Кардано, если г — число партий, которое следует выиграть, а р и д — числа фактически выигранных партий первым и вторым игроками, то ставка должна делиться между игроками в отношении [1+ 2+ ... + (г — з!)]: [1+ 2+...
+ (в — р)[. Как мы увидим позднее, решение, предложенное Карданом, в общем случае ошибочно и лишь в некоторых весьма частных случаях оно приводит к правильному результату. К задаче о разделе ставки вновь вернулся Н. Тарталья в книге «Общий трактат о мере и числе», которая была опубликована в 1556 году. Его подход изложен в э 20 книги, озаглавленном «Ошибка брата Луки из Борго». Критические замечания Тарталья верны и имеют под собой серьезный здравый смысл. Вот его слова: «Это его правило мне не кажется ни красивым, ни хорошим, потому что если бы одна из этих сторон имела 10, а другая вообще не имела никакого очка, то действуя по такому правилу, получилось бы, что одна сторона, имеющая указанные ! 0 очков, должна была бы взять все, а другая не получила бы ничего, что было бы совершенно лишено смысла», т! Гюбннив В В Яков ! Бернулли и теорип аероятностеа // Мат образование. !9 !4, Ьа 4.
! Ом О. Слизано. Тае аапзмзпа зсаозес — Рппсезоп, !953. 371 Очерк гю истории теории вероятностей Мы увидим, что решение первой задачи Пачоли (с измененным условием), предложенное Тарталья, также ошибочно. Но следует согласиться с тем, что трудно было бы требовать от него самого и его предшественников правильного решения, поскольку в науке для этого еще не было выработано необходимых понятий — понятия вероятности и математического ожидания. Следующее замечание Тарталья убедительно показывает, что он и сам не доверял своему решению.
Вот эти слова: «Разрешение такого вопроса является скорее делом юриспруденции, чем разума, так что при любом способе решения этой задачи найдугся поводы для споров, но тем не менее наименее спорным, как мне кажется, будет следующее...», Далее он предложил делить ставку по такому правилу: отклонение выигрыша от половины ставки должно быть пропорционально разности выигранных партий. В только что приведенном примере, в котором игра шла до шестидесяти очков и ставка равнялась 22 дукатам, первый игрок выиграл 1О партий, а второй — О, доли игроков согласно предложению Тарталья таковы: 2 10 — 0 0 — 1О 1 14 и — = 11+22. и 11+22 = 7 и 3 60 60 3 В 1558 г.
была опубликована книга Г Ф. Певероне «Два коротких и легких трактата по началам арифметики и основам геометрии», В этой книге без указания предшественников была рассмотрена задача о разделе ставки. Формулировка задачи такова: два лица А и В играют в мяч до выигрыша одним из них 1О партий. В тот момент, когда игрок А выиграл 7 партий, а игрок  — 9, они решили прекратить игру. Как следует раэделить ставку между игроками? Певероне предложил разделить ставку в отношении ! к 6, т.
е. игроку А отдать 1/7 ставки, а игроку  — 6/7 ставки. Это решение неправильно. Легко подсчитать, что А должен получить 1/8, а игрок В— 7/8 ставки. В то же время он дал правильное решение в двух случаях, когда игроки А и В выиграли по 9 партий, а также в случае, когда игрок А выиграл 8 партий, а игрок  — 9 партий. 03. Исследования Галилео Галилея Мы видим, что уже в ХЧ! веке возникли задачи чисто вероятностного характера и упорно разыскивались подходы к их решению. Это неизбежно приводило к необходимости развития, с одной стороны, комбинаторных методов, а с другой стороны — к поиску тех понятий, в терминах которых было бы можно описывать возникающие ситуации.
Ошибки, допущенные одними исследователями, подмечались другими. Эти другие предлагали свои способы решения, которые в свою очередь подвергались критическому анализу. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и, во всяком случае, позволяли решать отдельные задачи. Заслуживает внимания вклад в этот прогресс известного естествоиспытателя, ученого широких интересов и взглядов — Галилео Галилея Зуг Дополнение 3 (1564 †16). Его работа «О выходе очков при игре в кости», увидевшая свет только в 1718 г., была посвящена подсчету числа возможных случаев при бросании трех костей. Число всех возможных случаев Галилей подсчитал самым простым и естественным путем — он возвел 6 (число различных возможностей при бросании одной кости) в третью степень и получил бз = 216, что неоднократно непосредственным подсчетом получалось и ранее.
Далее Галилей подсчитал число различных способов, которыми может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костях очков. Ясно, что зта сумма может принимать любое значение от 3 до 18. При подсчете Галилей пользовался полезной идеей — кости нумеровались (первая, вторая, третья) и возможные исходы описывались в виде трех чисел, причем на соответствующем месте стояло число очков, выпавшее на кости с данным номером. Эта простая мысль для своего времени была весьма полезной. Приведем теперь подлинные слова Галилея: «...хотя 9 и 12 получаются в результате стольких же комбинаций, как 10 и 11, и вследствие этого должны были бы признаваться равноценными, мы видим, тем не менее, что в результате продолжительных наблюдений игроки все же считают более выигрышными 10 и 11, чем 9 и 12.
Совершенно очевидно, что 9 и 1О (мы говорим о них, имея в виду также 12 и 11) получаются из того же числа комбинаций: 9 из 1,2,6 — 1,3,5 — 1,4,4 — 2,2,5 — 2,3,4 — 3,3,3, т. е. из шести троек, а 1О из 1,3,6 — 1,4,5 — 2,2,6 — 2,3,5 — 2,4,4 — 3,3,4 и ни при каких других сочетаниях, кроме этих шести» (С». Са!!1е1, Орега, !.Х1У, р. 293, Е1огепг!па, 1855). Возникает естественный вопрос, почему же все-таки сумма 1О оказывается более предпочтительной, чем 9? Ответ заключается в следующем: «1. Тройки, или другими словами, числа, получающиеся при выпадении трех костей с тремя одинаковыми очками, не могут получиться иначе, как одним способом; 2. Тройки, образующиеся из двух одинаковых и третьего, отличного от них, могут получаться тремя способами; 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
