Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В вычислениях Галлея можно заметить использование им принципов, лежащих в основе теорем сложения и умножения вероятностей, а также рассуждения, близкие к формулировке закона больших чисел. Работы Галлея имели очень большое значение для развития науки и применений статистических исследований о народонаселении к вопросам страхования.
Глава 2 Период формирования основ теории вероятностей 5 7. Возникновение классического определения вероятности Образование основных математических понятий представляет важный этап в процессе математическою развития.Мы видели, что до конца ХЧП века наука так и не подошла к введению классического определения вероятности, а продолжала оперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному интересуюшему исследователей событию. Отдельные попытки брать отношение числа благоприятствуюших событий ко всем возможным, которые нами были отмечены у Кардано, не привели к ясному пониманию значения этого нововведения. Однако в тридцатых годах ХЧГП столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребительным, и никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числа благоприятствующих событию шансов.
Кто же ввел это понятие и настолько ясно показал его необходимость, что в дальнейшем уже не возникало сомнения в его целесообразности для науки? Мы должны заметить, что введение классического определения вероятности произошло не в результате однократного действия, а заняло длительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывное совершенствование формулировки, переход от частных задач к общему случаю.
Очерк по истории теории вероятностей 367 Внимательное изучение показывает, что еше в книге Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (1657) нет понятия вероятности как числа, заключенного между 0 и 1 и равного отношению числа благоприятствующих событию шансов к числу всех возможных. А в трактате Я. Бернулли «Искусство предположений» а1 (1713) понятие это введено, хотя и в далеко несовершенной форме, но, что особенно важно, широко используется. Что же произошло за те полстолетия, которые прошли между публикациями этих книг? Что заставило Я.
Бернулли (1б54-1705) ввести в научный обиход классическое понятие вероятности? Несомненно, что формулировка закона больших чисел, осуществленная Я. Бернулли, сама по себе является достаточным для этого основанием. Однако имеется и другое соображение, которое, несомненно, оказало сильное влияние на ход мыслей ряда исследователей, в том числе и Я. Бернулли. Речь идет о работах Граунта и Пепи, о которых было сказано в предьгдушем параграфе. Эти произведения решающим образом воздействовали на лучшие умы того времени и не было ни одного мало-мальски крупного математика, который не изучал бы их и не находился под их воздействием. Этого влияния не избежал и Я.
Бернулли. Произведения Граунта и Петти убедительно показали преимушества понятия частоты перед понятием численности. Именно понятие частоты, т.е. отношение числа наблюдений, в которых появляется определенное свойство, к числу всех наблюдений, позволяет получить серьезные практические выводы, тогда как рассмотрение численностей оставляет исследователя в состоянии неопределенности. Отсюда оставался лишь один шаг до введения понятия классической вероятности.
Заметим, что выводы Граунта и Петти относительно устойчивости частоты некоторых событий подготовили почву и к формулировке закона больших чисел. В весьма несовершенной форме классическое определение вероятности у Я. Бернулли появилось в первой главе четвертой части «Искусства предположений». Там он сказал следующие слова: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее, как часть от целого». Далее было пояснение сказанного на примере, который отчетливо показывает„что Я. Бернулли в данную им формулировку фактически вкладывает тот же самый смысл, какой мы вкладываем в классическое определение вероятности. Вот это пояснение: «Именно: если полная и безусловная достоверность, обозначаемая нами буквой а или единицей 1, будет, для примера, предположена состоящей из пяти вероятностей, как бы частей, из которых три благоприятствуют существованию или осуществлению какого-либо события, остальные же не благоприятствуют, то будет сказано, что это событие имеет (3/5)гу или 3/5 достоверности».
При формулировке главного предложения в пятой главе четвертой части Я. Бернулли вновь писал об отношении числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных. Но при этом он не оговаривал, »1 Часть четвертая этой книги переведена на русский язык и с содержательными комментариями издана: Бернулли Я. О законе бодыяих чисел т' Под ред. Ю. В. Прохорова. Мс Наука, 1986. 388 Дополнение 3 а предполагал само собой разумеюшимся, что эти случаи должны быть равновероятными. Наряду с этим отношением, которое вошло в науку, Бернулли предлагал и другое — число благоприятствующих к числу неблагоприятствуюших.
Последнее не прижилось в науке, быть может по той причине, что оно изменяется от 0 до бесконечности. Интересны рассуждения четвертой главы четвертой части сочинения Я. Бернулли. Он задал вопрос: как определить вероятность случайного события, если у нас нет возможности посчитать числа всех возможных и благоприятствуюших ему шансов? Ответ им был сформулирован следующим образом: «Но здесь нам открывается другая дорога для достижения искомого.
И то, что не дано вывести а рпоп, то, по крайней мере, можно получить а роз!епоп, т.е. из многократного наблюдения результатов в подобных примерах... Ибо, если, например, при наблюденивх, сделанных некогда над тремя сотнями людей того же возраста и сложения, в каких находится теперь Тит, было замечено, что из них двести до истечения десяти лет умерли, а остальные остались в живых и дальше, то можно заключить с достаточным основанием, что имеется вдвое больше случаев Титу умереть в течение ближайшего десятилетия, чем остаться в живых по истечении этого срока...
Этот опытный способ определения числа случаев по наблюдениям не нов и не необычен», Нам важно теперь подчеркнуть, что в высказанных отрывках достаточно четко прослеживается мысль о статистическом определении вероятности. Наверняка при этом Я. Бернулли основывался и на работах Граунта и Петти. Таким образом, в трактате Я. Бернулли присутствуют обе концепции вероятности — классическая и статистическая.
Обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрение и использованы. Этим был сделан принципиальный шаг в науке о случае — введено в рассмотрение понятие вероятности случайного события как числа, заключенного между 0 и 1. Достоверному событию при этом приписывается максимально возможное значение вероятности единица, а невозможному — минимальное — ноль. Кроме того, было ясно сказано, что это число может быть определено двумя различными способами: путем подсчета числа равновозможных случаев, которые благоприятствуют событию, и всех возможных случаев и вычисления их отношения или же путем проведения большого числа независимых испытаний и вычисления частоты события.
Можно считать, что теория вероятностей с этого момента начала свою историю. До этого же была предыстория, которая подготовляла почву для формирования основных понятий и задач теории вероятностей. Я. Бернулли обдумывал свое «Искусство предположений» долгие годы, по его словам, по меньшей мере двадцать лет. Но свет оно увидело лишь в 1713 г., спустя восемь лет после смерти автора. Однако содержание этого произведения многие годы до его публикации уже было известно научной общественности по рукописи, которая стала доступна многим. Об этом говорится, в частности, в публикациях Б. Фонтенеля (1657-! 757) 389 Очврк по истории теории вероятностей и Ж.
Сорена (1659 — 1737), посвященных заслугам покойного и вышедших в свет соответственно в 1705 и 1706 гг. На эти публикации позднее ссылался П. Монмор (1687-1719) в своей книге «Опыт анализа азартных игр» (1-е изд. — 1706 гб 2-е изд. — 1713 г.). Он также сделал подробный анализ содержания «Искусства предположений». Таким образом, трактат Я. Бернулли оказывал влияние на развитие теории вероятностей задолго до его опубликования. Монмор в упомянутой книге использовал понятие вероятности по Я. Бернулли и применил его к решению достаточно сложных задач. В частности, Монмор рассмотрел и правильно решил задачу: имеется и предметов, пронумерованных числами от ! до и.
Спрашивается, чему равна вероятность тою, что при последовательном вынимании этих предметов наудачу (без возвращения) хотя бы один предмет будет вынут так, что номер вынимания совпадет с присвоенным ему номером. Эта ( 1)я-! вероятность оказалась равной ! — — + — — ... + . Мы знаем, что 2! 3! и! этой задаче теперь придаются различные формулировки. В основополагающем трактате А. Муавра (1667-1754) «Доктрина шансов» (1718) с самою начала вводится определение вероятности по Я.
Бернулли, и это делается им почти так же, как теперь делаем мы, приступая к изложению сведений по теории вероятностей. Он писал; «Следовательно мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель — число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь булет выражать действительную вероятность его появления», После этого определения Муавр привел в точности пример, о котором мы упоминали при рассказе о вкладе Бернулли, а именно: «...если какое-то событие имеет 3 благоприятствующих шанса, 2 неблагоприятствуюших, дробное выражение 3/5 будет точно говорить о вероятности его появления и может рассматриваться как ее мера».
Обратим внимание на то, что Муавр, как и Я. Бернулли, не оттенял то обстоятельство, что шансы должны быть равновероятными. Это замечание впервые было введено в определение классической вероятности лишь П.Лапласом (1749-1827) в его «Аналитической теории вероятностей» (1812)'1. Ж. Лагранж (1736 — 1813) об этом еше не задумывался и давал определение вероятности в точности по Муавру. По-видимому, на Лапласа повлияла дискуссия, начатая Д'Аламбером, который при решении задачи о вероятности выпадения (при бросании двух монет) герба на одной из монет и решки на друпуй, определил ее равной 1/3. Это он мотивировал тем, что имеются лишь три возможности: 1) на обеих монетах выпадает герб! 2) на обеих монетах выпадает решка; 3) на одной монете выпадает герб, а на другой — решка. Определение классической вероятности, данное Лапласом, дошло без изменений до наших дней. г) гпри жизни Лапласа Анализа««окая теория вероягносзся» издавалась сиге лва раза: в 1814 г., котла книге было предпослано популярное введение Опыт философии теории вероятностей», и в 1820 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
